2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷28.1～28.2 阶段性复习(含答案)-

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷28.1～28.2阶段性复习(含答案)-28.1～28.2阶段性复习◆阶段性内容回顾1．如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边的比也随之确定，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记做_______，即sinA==．∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记做______．即cosA=．把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记做_________．即tanA==．2．三角函数的定义：锐角A的正弦，余弦，正切都叫做∠A的______．3．特殊角的三角函数值．sinαcosαtanα30°45°60°4．解直角三角形．在直角三角形中，由已知_____（直角除外），求未知______的过程，叫做解直角三角形．5．直角三角形的有关性质：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B为锐角，它们所对的边分别为a，b，其中除直角∠C外，其余的5个元素之间有以下关系：（1）三边之间的关系：_____________（2）锐角之间的关系：_____________（3）边角之间的关系：_____________sinA=cosB=________；cosA=sinB=________；tanA=_________．（4）如果∠A=30°，那么a=或c=2a．6．仰角和俯角．（如图1）（1）视线与水平线方向的夹角中，视线在水平线________的角叫做仰角．（2）视线在水平线_______的角叫做俯角．(1)(2)(3)7．坡度和坡角．（如图2）（1）在筑坝、开渠、挖河和修路时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度，我们把坡面的垂直高度h与水平宽度L的比叫______，用字母表示为________．（2）把坡面与水平面的夹角叫做_______，记做_______．8．方向角．（如图3）在水平面上，过观测点O作一条水平线（向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则从O点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的_______，图中的方向是_________．◆阶段性巩固练习1．∠α为锐角，且sinα=，则tanα=________．2．在tan46°，sin46°，cos46°中最小的是_______．3．如果锐角A满足2sin（A-15°）=，那么∠A=________．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=30°，a=6，则c=_______．5．在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，则S△ABC=_______．6．如图4所示，一棵树BC高为10m，一只小鸟在地面上的A处沿着倾斜角为30°的方向飞向树梢B处，则小鸟飞行的路程是_________．(4)(5)(6)7．如图5所示，B，C是河岸边的两点，A是对岸上的一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60m，则点A到岸边BC的距离是________m．8．在△ABC中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么sinA的值是（）．A．B．C．D．9．实数，sin30°，+1，2，（+1）0，│-2│中，有理数的个数是（）．A．2B．3C．4D．510．若0°<θ<90°，且│sin2θ-│+（cosθ-）2=0，则tanθ的值等于（）．A．B．C．D．11．若菱形的一个内角为60°，较短的一条对角线的长为6，则这个菱形的面积为（）．A．24B．18C．36D．3612．如图6所示，河堤的横断面为梯形，上底为4m，高为6m，斜坡AD的坡比为1：3，斜坡CB的坡角为45°，则河堤横断面的面积为（）．A．96m2B．48m2C．192m2D．84m213．已知a，b，c是△ABC的三边a，b，c满足等式（2b）2=4（c+a）（c-a），且5a-3c=0，求sinA+sinB+sinC的值．14．如图所示，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，D是AB上的一点，且DE⊥BC，垂足为E，直角边ED交直角边CA的延长线于点F，则D在AB边上的何处时，△ADF与△BDE的面积之和最小？并求出它的最小值．15．如图,数学趣闻：上世纪九十年代，国外有人传说：“从月亮上看地球，长城是肉眼唯一看得见的建筑物．”设长城的厚度为10m，人的正常视力能看清的最小物体所形成的视角为1′，且已知月、地两球之间的距离为380000km，试用学过的数学知识，对这个传说进行明确的判断．（tan0.5′=0.0001454）答案:1．sinAcosAtanA2．锐角三角函数3．依次填：14．元素元素5．（1）a2+b2=c2（勾股定理）（2）∠A+∠B=90°（3）6．（1）上方（2）下方7．（1）坡度i=（2）坡角α8．方向角北偏东30°阶段性巩固练习1．2．cos46°3．75°（提示：sin（A-15°）=，∠A-15°=60°，∠A=75°．）4．4（提示：∠A+∠B=90°，∠A-∠B=30°．∴∠A=60°，∠B=30°，sinA=，c==4．）5．46．20m7．308．A9．C10．B11．B12．A13．∵（2b）2=4（a+c）（c-a），∴4b2=4（c2-a2），∴b2=c2-a2，∴a2+b2=c2．∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°．

∵5a-3c=0，∴=，∴sinA=．设a=3k，b=5k，∴b==4k，∴sinB===．sinA+sinB+sinC=++1=．14．设AD=x，则DF=x，∴BD=1-x，DE=（1-x）．∴设y=S△ADF+S△DEB=AD·DF·sin45°+BD·DE·sin45°=x·x·+（1-x）·（1-x）·=（x-）2+当x=时，y取最小值．∴当AD=AB时，△ADF与△DEB的面积之和最小，最小值为．15．设∠AOB为正常视力观察长城所形成的夹角，则AB=10m，∠AOB=1′，OD′⊥A′B′．在Rt△AOD中，tan∠AOD=，∵AD=AB=5，∠AOD=∠AOB=0.5′．∴OD=≈34387.89（m）≈34.4（km）．这就是说，按照人的最小视角1′观察地球上长城的厚度，最远的距离只能是34.4km，而月球与地球之间的距离为380000km，这个数字很大，它相当于34.4km的11046倍，从这么远看长城，根本无法看见．28.2解直角三角形达标训练一、基础·巩固达标1.如图28.2－21，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45°，若点D到电线杆底部点B的距离为a，则电线杆AB的长可表示为()A.aB.2aC.D.图28.2－21图28.2－22(第3题)2.如图28.2－22，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1∶3，坝高BC为2米，则斜坡AB的长是()A.米B.米C.米D.6米3.AE、CF是锐角△ABC的两条高，如果AE∶CF=3∶2，则sinA∶sinC等于()A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶94.如图28.2－23，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.图28.2－23图28.2－245.如图28.2－24是一口直径AB为4米，深BC为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).6.如图28.2－25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C处，观察到树顶端A正好与C处在同一水平线上，小勇测得树底B的俯角为60°，并发现B点距墙脚D之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB约多少米？(结果保留1位小数)图28.2－25二、综合•应用达标7.如图28.2－26，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).图28.2－268.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2－27所示，A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60°方向，C点在B点北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长.(结果精确到0.01米)图28.2－279.如图28.2－28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域).图28.2－28三、回顾•展望达标10.如图28.2－29，某飞机于空中A处探测倒地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B的距离AB为()A.1200米B.2400米C.米D.米图28.2－29图28.2－30图28.2－3111.一人乘雪橇沿坡比1∶的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为()A.72mB.36mC.36mD.m12.如图28.2－31，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M点测量山顶P的仰角为30°，在比例尺为1∶50000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为()A.1732米B.1982米C.3000米D.3250米13.某商场门前的台阶截面积如图28.2－32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3m，高度(如BE)均为0.2m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离(精确到0.1m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).图28.2－3214.如图28.2－33，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?图28.2－3315.如图28.2－34，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD.图28.2－3416.如图28.2－35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.经测量得AB=千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°.已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.(1)求出河宽AD(结果保留根号)；(2)求出公路CD的长；(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.图28.2－3517.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.2－36，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?图28.2－36参考答案一、基础·巩固达标1.如图28.2－21，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45°，若点D到电线杆底部点B的距离为a，则电线杆AB的长可表示为()图28.2－21A.aB.2aC.D.思路解析：直接用等腰直角三角形的性质.答案：B2.如图28.2－22，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1∶3，坝高BC为2米，则斜坡AB的长是()图28.2－22A.米B.米C.米D.6米思路解析：坡度的定义，所以BC∶AC∶AB=1∶3∶.答案：B3.AE、CF是锐角△ABC的两条高，如果AE∶CF=3∶2，则sinA∶sinC等于()A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶9思路解析：画出图形，在Rt△AFC中，sinA=；在Rt△AEC中，sinC=.所以sinA∶sinC==CF∶AE=2∶3.答案：B4.如图28.2－23，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.图28.2－23思路解析：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边，Rt△ADC中，AC=10，∠DAC=60°.答案：55.如图28.2－24是一口直径AB为4米，深BC为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).图28.2－24思路解析：在Rt△OBC中，OB=OC，可以得到∠BOC=45°，所以∠COD=2∠BOC=90°.答案：90°6.如图28.2－25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C处，观察到树顶端A正好与C处在同一水平线上，小勇测得树底B的俯角为60°，并发现B点距墙脚D之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB约多少米？(结果保留1位小数)图28.2－25思路解析：在Rt△ABC中，∠A=90°,∠BCA=60°，AC=3米，用正切函数关系求出AB的长.解：如图，在Rt△ABC中，AC=BD=3米，tan∠BCA=，所以AB=AC×tan∠BCA=3×tan60°=3×≈5.2(米).答：树的高度AB约为5.2米.二、综合•应用达标7.如图28.2－26，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).图28.2－26思路解析：作出气球离地面的高度，构成了直角三角形，利用直角三角形求解.解：作CD⊥AB,垂足为D.设气球离地面的高度是x米.在Rt△ACD中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x.在Rt△CBD中，∠CBD=60°，所以tan60°=，BD=.因为AB=AD－BD，所以20=x－.解得x≈47.3(米).答：气球离地面的高度约是47.3米.8.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2－27所示，A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60°方向，C点在B点北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长.(结果精确到0.01米)图28.2－27思路解析：作高构造直角三角形并寻找线段之间的关系.解：过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E、F.由题意，知AD⊥CD.因为四边形BFDE为矩形，所以BF=ED.在Rt△ABE中，AE=AB×cos∠EAB，在Rt△BCF中，BF=BC×cos∠FBC，所以AD=AE+BF=20×cos60°+40×cos45°=20×+40×=10+，即AD≈10+20×1.414=38.28(米).9.如图28.2－28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域).图28.2－28思路解析：有没有必要将此人行道封上，就要看电线杆倒下时，能不能到达人行道上，若AB＞BE，则电线杆会倒到人行道上.只要计算出AB的长，利用30°仰角这个条件，可以在点Ｃ处作CH⊥AB，在Rt△AHC中解直角三角形.解：在拆除电线杆AB时，不需要将此人行道封上.理由如下：作CH⊥AB，垂足为H.在Rt△CDF中，I=，所以DF=CF=×2=1(米).所以HC=BF=BD+DF=14+1=15(米).在Rt△AHC中，tan∠ACH=，所以AH=HC×tan∠ACH=15×tan30°=15×≈8.7(米).因此AB=AH+HB=AH+CF=8.7+2=10.7(米).因为BE=BD－DE=14－2=12(米)，10.7<12,所以电线杆不会倒到人行道上，不需要将此人行道封上.三、回顾•展望达标10.如图28.2－29，某飞机于空中A处探测倒地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B的距离AB为()图28.2－29A.1200米B.2400米C.米D.米思路解析：∠ABC=α，解直角三角形.答案：B11.一人乘雪橇沿坡比1∶的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为()图28.2－30A.72mB.36mC.36mD.m思路解析：根据公式，算出斜坡的坡长，构造斜边为s的直角三角形，用坡比的定义解答.答案：C12.如图28.2－31，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M点测量山顶P的仰角为30°，在比例尺为1∶50000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为()图28.2－31A.1732米B.1982米C.3000米D.3250米思路解析：等高线地图上，两点的图上距离是指两点的水平距离，山顶的海拔高度是指P点的竖直高度，画出视线、两点的水平距离、高度的示意图，它们可以构成直角三角形，通过解直角三角形求出.如图，在Rt△POM中，∠O=90°，∠M=30°，OM=6×500=3000(米)，因为tanM=，所以OP=OM×tan30°=3000×≈1732(米).答案：A13.某商场门前的台阶截面积如图28.2－32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3m，高度(如BE)均为0.2m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离(精确到0.1m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).图28.2－32思路解析：根据图形，构造直角三角形.解：如图，过C作CF⊥AB交AB的延长线于F.由条件，得CF=0.8m，BF=0.9m.在Rt△CAF中，∵tanA=，∴AF≈=5(m).∴AB=AF－BF=5－0.9=4.1(m).答：从斜坡起点A到台阶前点B的距离约为4.1m.14.如图28.2－33，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?图28.2－33思路解析：构造直角三角形，用方程求解点P到AB的距离，若这个距离大于3海里，表明客轮在暗礁范围外，客轮不会触礁.解：过P作PC⊥AB于C点，据题意知:AB=9×=3.∵∠PCB=90°，∠PBC=90°－45°=45°,∴PC=BC.在Rt△PAC中，∠PAB=90°－60°=30°，∴tan30°=,即.∴.∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险.15.如图28.2－34，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD.图28.2－34思路解析：题目中知道AB的长，需要把AB转化到直角三角形中，考虑∠DBE=60°，过点B分别向AC、DC作垂线，构成直角三角形.解：过点B作CD、AC的垂线，垂足分别为E、F.∵∠BAC=30°，AB=1500米,∴BF=EC=750米，AF=米.设FC=x米,∵∠DBE=60°,∴DE=米.又∵∠DAC=45°,∴AC=CD,即+x=750+米.得x=750.∴CD=(750+)米.答：山高CD为(750+)米.16.如图28.2－35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：图28.2－35方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.经测量得AB=千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°.已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.(1)求出河宽AD(结果保留根号)；(2)求出公路CD的长；(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.思路解析：这是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A作AD⊥BC于D，设E，F分别表示A市受台风影响的最初、最后时台风中心的位置，则AE=AF=160千米；当台风中心位于D处时，A市受台风影响的风力最大.解：(1)如图，经过点A作AD⊥BC，垂足为D.在Rt△ABD中，AB=220，∠B=30°.所以AD=110(千米).由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.故该城市会受到这次台风的影响.(2)由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由对称性可以知道AE=AF=160千米.当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响.在Rt△ADE中，由勾股定理，得.所以EF=(千米).因为该台风中心以15千米／时的速度移动.所以这次台风影响该城市的持续时间为(小时).(3)当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为(级).17.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.2－36，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.图28.2－36(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?思路解析：本题的实质是解两个非直角三角形，一般是适当作高，运用特殊角解直角三角形.在△ABD中，过点B作AD边的高，得到一个等腰直角三角形(大三角形)和一个含30°的特殊直角三角形.同理，CD的长也可以在△BCD中作高计算得到.比较两个方案，就是计算两种方案的铺设费用大小，A→D需铺设水下电缆.解：(1)过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于F(如图)，在Rt△ABF中，AB=,∠BAF=60°，所以BF=AB×sin60°==6(千米)，AF=AB×cos60°=(千米).在Rt△BDF中，DF=BF=6(千米)，所以BD=(千米).因此，河宽AD=DF－AF=6－(千米).(2)作BH⊥CD于点H.在Rt△BDH中，BH=HD=6千米，在Rt△CBH中，(千米).因此，公路CD=CH+HD=14(千米).(3)选择方案二铺设电缆的费用低.理由如下：方案一需要的费用：8×2+(6－)×4+×2=40(万元)；方案二需要的费用：6×2＋10×2＋×2=22＋≈35.9(万元).练习9解直角三角形一、自主学习图28-31.如图28-3所示，Rt△图28-3(1)它三边之间的关系是_________.(2)它两锐角之间的关系是________.(3)它的边角之间的关系是：__________________________,_____________________________；____________________________，__________________________；___________________________，_________________________；二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+，腰长为1，则它的底角等于________.3.在离地面5m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________.4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10cm，则它另一腰长为________.5.△ABC中，BC=2，AC=3+，∠C=30°，则sinA=_________.6.在高度为93m的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.7.Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=10，则BC=________，cosB=________图28-48.△ABC中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=，则S△ABC=图28-49.如图28-4所示，△ABC中，CD⊥AB于D点，且BD=2AD，若CD=，tan∠BCD=，则高AE=____.10.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AB=8cm，AC=cm，则AD=_____________cm.11.Rt△ABC中,∠C=90°，∠A、∠B、∠c所对的边分别为a、b、c，若a=，b=，则c=________，∠A_______，∠B________.三、能力提高12.Rt△ABC斜边上的中线CD长为1，周长是2+，则它的面积是()A.B.C.1D.13.正方形ABCD的边长为5，E、F分别在边BC、CD上，若△AEF为等边三角形，则BE的长是()A.B.C.D.14.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的影长MN=m，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1m，(点M、N、C在同一直线上)，则窗户高AB为()图28-5图28-6图28-7A.mB.3mC.2mD.1.5m15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O，点M在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M的坐标是()A.()B.()C.()D.()16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB为4m，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为()A.m，2mB.2m，mC.m，1mD.1m,m17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B落到地面离其底部A的距离为m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为()A.6mB.mC.3+mD.m18.Rt△ABC中，∠C=90°，若AC的长等于斜边上的中线长的，则较大锐角的余弦值是()A.B.C.D.19.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD折起一个角，使点C恰好落在AB边，若AD=m，∠CDE=α，则折痕DE=()A.B.C.D.图28-8图28-920.已知平行四边形两邻边长分别是cm和cm，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是()A.cmB.cmC.cmD.cm21.如图28-9所示，△ABC中，D为AB的中点，∠ACB=135°，AC⊥CD，则sinA=()A.B.C.D.四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD内，他家附近又新建了一座大厦BC，已知两栋楼房间的水平距离为90m，AD楼高60m，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C的仰角为30°，求大厦BC的高.(精确到1m，如图28-10所示)图28-1023.小华所在的学校A位于某工地O的正西方向，如图28-11所示，且OA=200m.一拖拉机从工地O出发，以5m/s的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130m，问小华所在的学校A是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-1124.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，作AD⊥BC于D(如图28-12)，则sinB=，sinC=，即AD=c·sinB，AD=b·sinC，于是c·sinB=b·sinC，即，同理有，即即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c、∠B、∠C，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a、b、∠A_________∠B；第二步：由条件∠A、∠B________∠C；第三步：由条件_________________∠c(2)一货轮在C处测得灯塔A在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12图28-13参考答案一、自主学习1.如图28-3所示，Rt△ABC中(1)它三边之间的关系是_________.(2)它两锐角之间的关系是________.(3)它的边角之间的关系是：__________________________,_____________________________；____________________________，__________________________；___________________________，_________________________；图28-3答案：(1)a2+b2=c2(2)∠A+∠B=90°(3)sinA=，cosA=，tanA=cotA=，sinB=，cosB=，tanB=，cotB=二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+，腰长为1，则它的底角等于________.答案：30°3.在离地面5m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________.答案：m4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10cm，则它另一腰长为________.答案：5.△ABC中，BC=2，AC=3+，∠C=30°，则sinA=_________.答案：6.在高度为93m的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.答案：627.Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=10，则BC=________，cosB=________答案：88.△ABC中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=，则S△ABC=_________.答案：9.如图28-4所示，△ABC中，CD⊥AB于D点，且BD=2AD，若CD=，tan∠BCD=，则高AE=__________.图28-4答案：10.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AB=8cm，AC=cm，则AD=_____________cm.答案：611.Rt△ABC中,∠C=90°，∠A、∠B、∠c所对的边分别为a、b、c，若a=，b=，则c=________，∠A_______，∠B________.答案：30°60°三、能力提高12.Rt△ABC斜边上的中线CD长为1，周长是2+，则它的面积是()A.B.C.1D.答案：B13.正方形ABCD的边长为5，E、F分别在边BC、CD上，若△AEF为等边三角形，则BE的长是()A.B.C.D.答案：C14.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的影长MN=m，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1m，(点M、N、C在同一直线上)，则窗户高AB为()图28-5A.mB.3mC.2mD.1.5m答案：C15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O，点M在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M的坐标是()A.()B.()C.()D.()答案：A16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB为4m，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为()A.m，2mB.2m，mC.m，1mD.1m,m图28-6答案：A17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B落到地面离其底部A的距离为m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为()A.6mB.mC.3+mD.m图28-7答案：C18.Rt△ABC中，∠C=90°，若AC的长等于斜边上的中线长的，则较大锐角的余弦值是()A.B.C.D.答案：D19.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD折起一个角，使点C恰好落在AB边，若AD=m，∠CDE=α，则折痕DE=()图28-8A.B.C.D.答案：A20.已知平行四边形两邻边长分别是cm和cm，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是()A.cmB.cmC.cmD.cm答案：D21.如图28-9所示，△ABC中，D为AB的中点，∠ACB=135°，AC⊥CD，则sinA=()A.B.C.D.图28-9答案：B四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD内，他家附近又新建了一座大厦BC，已知两栋楼房间的水平距离为90m，AD楼高60m，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C的仰角为30°，求大厦BC的高.(精确到1m，如图28-10所示)图28-10答案：112m23.小华所在的学校A位于某工地O的正西方向，如图28-11所示，且OA=200m.一拖拉机从工地O出发，以5m/s的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130m，问小华所在的学校A是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(