函数及其图象复习课件

函数及其图象复习函数及其图象是数学中重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。本次复习课将回顾函数的概念、性质和图像，并介绍一些常见的函数类型及其应用。函数的定义与分类函数定义函数是指一个集合中每个元素到另一个集合中唯一一个元素的映射关系.函数分类一元函数和多元函数显函数和隐函数奇函数和偶函数单调函数和周期函数函数的表示方式解析式通过数学公式或表达式来表示函数的对应关系，这是最常见的函数表示方法。图像用坐标系上的点来描绘函数的对应关系，直观地展示函数的性质。表格列出函数的自变量和对应函数值，方便观察函数的对应关系。文字描述用文字语言来描述函数的对应关系，适合一些抽象或特殊的函数。函数的性质单调性函数图像在某个区间内一直上升或下降，则称该函数在这个区间内具有单调性。奇偶性函数图像关于原点对称或关于y轴对称，则称该函数具有奇偶性。周期性函数图像呈周期性变化，则称该函数具有周期性，周期指图像重复出现的最小间隔。极值函数图像在某个点附近达到最高或最低点，则称该点为极值点，函数值称为极值。函数的基本初等函数1一次函数一次函数的图像是一条直线，其表达式为y=kx+b，其中k和b分别为斜率和纵截距。2二次函数二次函数的图像为抛物线，其表达式为y=ax^2+bx+c，其中a，b和c为常数。3反比例函数反比例函数的图像为双曲线，其表达式为y=k/x，其中k为常数。4正比例函数正比例函数的图像也为直线，其表达式为y=kx，其中k为常数。指数函数与对数函数指数函数和对数函数是重要的基本初等函数。指数函数表示以常数为底，自变量为指数的函数。对数函数是指数函数的反函数，表示以常数为底，自变量为对数的函数。指数函数和对数函数在科学技术、经济管理、社会生活等领域都有广泛应用。例如，人口增长、物体的衰变、投资回报率等，都可以用指数函数或对数函数来描述。幂函数与根函数幂函数是形如y=x^a的函数，其中a为常数，称为幂函数的指数。根函数则是幂函数的特殊情况，当a为分数时，则称为根函数。幂函数和根函数在数学和物理学中都有广泛的应用，例如，在研究物体运动、力学、电磁学等方面，幂函数和根函数可以用来描述物理量的变化规律。三角函数与反三角函数三角函数是描述角度与边长的关系的函数。它们包括正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)和余割(csc)。反三角函数是三角函数的反函数，用来求角度。常见的反三角函数包括反正弦(arcsin)、反余弦(arccos)和反正切(arctan)。三角函数与反三角函数在物理、工程、几何等领域都有广泛应用。函数的增减性与单调性增减性定义函数在某区间内，如果自变量的值增大，函数值也随之增大，则称函数在这个区间内是增函数；反之，则称函数在这个区间内是减函数。单调性定义如果函数在一个区间内是增函数或减函数，则称函数在这个区间内是单调函数。判断方法可以通过函数图像的斜率来判断函数的增减性。如果图像的斜率为正，则函数在这个区间内是增函数；反之，则称函数在这个区间内是减函数。函数的极值与图像最大最小值极值图像最大最小值函数在某一点取得的局部最大值或最小值函数在定义域上的最大值或最小值可通过导数判断可通过求导和图像分析确定极值是函数在某一点的局部最大值或最小值。图像最大最小值是函数在定义域上的最大值或最小值。两者密切相关，可以通过导数和图像分析来确定。函数的周期性周期函数定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)成立，那么称函数f(x)为周期函数，T为函数的周期。周期函数的图像周期函数的图像关于x轴方向平移T个单位后，与原图像重合。周期函数的图像可以通过一个周期内的图像重复平移得到。函数的奇偶性定义函数的奇偶性是指函数图像关于原点对称或关于y轴对称的性质。奇函数满足f(-x)=-f(x)的函数称为奇函数，其图像关于原点对称。偶函数满足f(-x)=f(x)的函数称为偶函数，其图像关于y轴对称。函数的对称性11.关于y轴对称函数图像关于y轴对称时，对于定义域内任意x，都有f(x)=f(-x)，即函数为偶函数。22.关于原点对称函数图像关于原点对称时，对于定义域内任意x，都有f(x)=-f(-x)，即函数为奇函数。33.关于直线x=a对称函数图像关于直线x=a对称时，对于定义域内任意x，都有f(x)+f(2a-x)=2b，其中b为直线x=a与函数图像的交点纵坐标。44.关于直线y=b对称函数图像关于直线y=b对称时，对于定义域内任意x，都有f(x)+f(x')=2b，其中x'为x关于直线y=b的对称点横坐标。函数的复合与反函数1复合函数将一个函数作为另一个函数的自变量，得到的新函数称为复合函数。2反函数如果一个函数存在反函数，那么该函数必须满足单调性。3函数图像复合函数和反函数的图像之间存在着密切的联系。一元二次函数定义一元二次函数是指含有单个未知数，且未知数的最高次数为2的函数。其一般形式为：y=ax2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。图像一元二次函数的图像为抛物线，形状取决于系数a的符号。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。一元三次函数定义一元三次函数是指含有最高次数为3的项，且只含有一个未知数的多项式函数，一般形式为y=ax³+bx²+cx+d(a≠0)。性质一元三次函数的图像是一条对称中心为(-b/3a,-2b³/27a³+cd/3a-d)的曲线，且在x轴上最多有三个交点。应用一元三次函数在物理、化学、工程学等领域中有着广泛的应用，例如：描述物体的运动轨迹、计算流体的流量等。合理分段函数定义域划分根据自变量的不同取值范围，将函数定义域划分为多个子区间，在每个子区间上分别定义不同的函数表达式。图像拼接将各个子区间上的函数图像拼接在一起，形成完整的函数图像。实际应用分段函数在物理、经济等领域有着广泛应用，例如描述物体运动轨迹、计价方式等。函数的图像描绘函数的图像描绘是理解函数的重要工具。通过图像，我们可以直观地了解函数的性质，比如增减性、奇偶性、周期性等。图像描绘可以帮助我们更好地理解函数的定义和性质，并将其应用到实际问题中。函数图像的平移与旋转1平移将函数图像沿坐标轴方向移动2水平平移将函数图像向左或向右移动3垂直平移将函数图像向上或向下移动4旋转以坐标原点为中心，将函数图像旋转一定角度函数图像的平移和旋转是常见的图像变换，通过改变图像的位置和方向，可以更直观地观察函数的性质和变化趋势。函数图像的压缩与伸展1纵向压缩y轴方向压缩2纵向伸展y轴方向伸展3横向压缩x轴方向压缩4横向伸展x轴方向伸展函数图像的压缩与伸展是指将函数图像沿坐标轴方向进行拉伸或收缩。压缩与伸展是通过改变函数表达式来实现的。例如，将函数图像沿y轴方向压缩，则需要将函数表达式中的y值乘以一个大于1的常数；将函数图像沿x轴方向伸展，则需要将函数表达式中的x值乘以一个大于1的常数。压缩与伸展可以改变函数图像的形状和大小，但在几何意义上，它们保持了函数图像的整体结构。函数图像的反演1关于原点对称将图像关于原点对称2坐标变换(x,y)变为(-x,-y)3反演公式y=f(-x)函数图像的反演是将图像关于原点对称的一种操作。可以通过坐标变换和反演公式来实现反演。函数图像的平移与旋转综合应用分析函数确定函数的类型和基本图形。例如，y=x^2的基本图形是抛物线。平移变换利用平移公式将基本图形平移到目标位置。例如，将y=x^2向左平移2个单位，得到y=(x+2)^2。旋转变换利用旋转公式将图形旋转到指定角度。例如，将y=x^2绕原点逆时针旋转90度，得到y=-x^2。综合应用将平移和旋转变换结合起来，完成复杂函数图像的描绘。函数图像的压缩与伸展综合应用1函数图像的压缩与伸展综合应用将图像进行压缩与伸展，并结合平移和旋转变换2图像变换的综合应用将多种图像变换组合应用，实现图像的灵活操作3图像的几何变换理解图像的几何变换，掌握相应的变换公式4图像变换理解图像的压缩与伸展，掌握相应的变换公式图像的压缩与伸展变换是函数图像变换的重要组成部分。本节将介绍如何将压缩与伸展与平移、旋转等变换组合应用，以实现更复杂的图像操作。函数图像的反演综合应用1综合应用将反演与平移、旋转、压缩、伸展等变换结合起来，处理更复杂的函数图像变换问题。2步骤拆解先进行基础变换，再进行反演操作，最后将所有变换步骤综合考虑。3图形分析观察图像变化，理解各个变换步骤对图像的影响，总结规律，提高解题效率。函数图像综合描绘I函数图像综合描绘I侧重于将各种函数图像的变换技巧进行综合应用，例如平移、旋转、压缩、伸展和反演等操作。通过综合应用这些变换技巧，可以更加灵活地绘制出各种复杂的函数图像，并能更好地理解函数的性质和变化规律。函数图像综合描绘II函数图像综合描绘II部分，涵盖更复杂的函数图像描绘。例如，含有参数的函数图像，需要通过参数的变化来分析函数图像的变化趋势，从而更全面地理解函数的性质。通过对这些函数图像综合描绘的练习，可以更加熟练地掌握函数图像的绘制技巧，并加深对函数性质的理解。函数图像综合描绘III二次函数图像二次函数图像为抛物线，可通过平移、翻转、伸缩等变换得到。三角函数图像三角函数图像具有周期性，可通过平移、翻转、伸缩等变换得到。指数函数图像指数函数图像具有单调性，可通过平移、翻转、伸缩等变换得到。对数函数图像对数函数图像具有单调性，可通过平移、翻转、伸缩等变换得到。函数图像综合描绘IV本节课将继续学习函数图像综合描绘，涉及多个函数图像的叠加、组合、平移、缩放等操作。通过这些操作，我们可以更深入地理解函数性质，并能够将复杂函数的图像进行直观地描绘。学习本节内容，需要掌握前面几节课学习的函数图像变换方法，并能够灵活运用各种变换技巧，以实现对复杂函数图像的准确描绘。课堂小结函数的定义与分类函数的定义是：给定一个集合A，对于A中的每个元素x，按照某个法则f，对应唯一确定的一个集合B中的元素y，则称y