专题07 指数与指数函数（考点清单+知识导图+ 15个考点清单-题型解读）（解析版）-25学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版必修一）VIP

清单07指数与指数函数（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】整数指数幂1、正整数指数幂的定义：，其中，2、正整数指数幂的运算法则：①（）②（，，）③（）④（）⑤（）【清单02】根式1、次根式定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.特别的：①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().③负数没有偶次方根；④的任何次方根都是，记作2、根式：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．在根式符号中，注意：①，②当为奇数时，对任意都有意义③当为偶数时，只有当时才有意义.3、与的区别：①当为奇数时，（）②当为偶数时，（）③当为奇数时，且，④为偶数时，且，【清单03】分式指数幂1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.【清单04】有理数指数幂①（，）②（，）③（，）知识点05：无理数指数幂①（，）②（，）③（，）【清单05】指数函数的概念1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.2、学习指数函数的定义，注意一下几点（1）定义域为：（2）规定是因为：①若，则（恒等于1）没有研究价值；②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.④只有当或时，即，可以是任意实数.（3）函数解析式形式要求：指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.【清单06】指数函数的图象与性质1、函数的图象和性质如下表：底数图象性质定义域值域定点图象过定点单调性增函数减函数函数值的变化情况当时，当时，当时，当时，当时，当时，对称性函数与的图象关于轴对称2、指数函数的底数对图象的影响函数的图象如图所示：观察图象，我们有如下结论：2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.（1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.（2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；【清单07】指数函数的定义域与值域1、定义域：（1）指数函数的定义域为（2）的定义域与函数的定义域相同（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.2、值域（1）指数函数的值域为（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.【清单08】指数函数的图象变换已知函数1、平移变换①②③④2、对称变换①②③3、翻折变换①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）【考点题型一】根式的化简求值核心方法：①当为奇数时，（）②当为偶数时，（）③当为奇数时，且，④为偶数时，且，【例1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简.【答案】4【知识点】根式的化简求值【分析】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简.【详解】因为,所以,所以,故答案为：4.【变式1-1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（

）A．－1 B．1 C． D．【答案】B【知识点】根式的化简求值【分析】根据根式的性质化简求值即可.【详解】因为，所以，故选：B【变式1-2】（多选）（24-25高一上·浙江·期中）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算【分析】根据指数幂的运算法则即可判断.【详解】对A，，故A错误；对B，，故B错误；对C，，故C正确；对D，，故D正确.故选：CD.【考点题型二】分数指数幂的化简求值核心方法：根据分数指数幂定义①（，，）②（，，）【例2】（24-25高一上·天津·期中）计算下列各式：(1)（其中a>0，结果化为幂的形式）；(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值【分析】（1）根据根式的运算与指数幂的运算法则化简即可；（2）根据根式的性质与指数幂的运算法则化简即可；（3）根据指数幂的运算法则化简即可.【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原式.【变式2-1】（24-25高一上·广东深圳·期中）计算：.【答案】3【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值【分析】利用指数幂的运算法则，结合根式与指数幂的互化即可得解.【详解】.故答案为：3.【变式2-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）计算:.【答案】【知识点】指数幂的化简、求值【分析】根据分数指数幂运算法则计算可得结果.【详解】易知原式；故答案为：【考点题型三】条件求值核心方法：完全平方公式；立方公式【例3】（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于.【答案】【知识点】指数幂的化简、求值【分析】根据，再结合时，则，即可求解.【详解】由，因为，则，故，即得.故答案为：.【变式3-1】（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）（1）已知，求下列各式的值：①；②.【答案】①7；②47【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值【分析】（1）根据分数指数幂以及根式的运算性质计算出结果；①由求解出结果；②由求解出结果.【详解】①因为，所以，即，所以；②由①知，两边平方得，.【变式3-2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值：①；②.【答案】（1）；（2）①7；②【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、指数幂的化简、求值【分析】利用平方关系求解.【详解】①因为，所以，即，所以；②因为，又因为，所以【考点题型四】指数幂的综合运算【例4】（23-24高一上·天津南开·期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】指数幂的运算【分析】根据幂的运算性质，可得答案.【详解】（1）.（2）.【变式4-1】（23-24高一上·山西太原·期中）计算下列各式的值(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值【分析】（1）根据指数运算公式直接求值；（2）根据指数运算公式化简求值.【详解】（1）；（2）.【变式4-2（23-24高一上·山东泰安·期中）（1）计算：；（2）已知，求的值.【答案】（1）108；（2）2【知识点】指数幂的运算【分析】根据指数的运算性质分别计算即可.【详解】（1）原式；（2）因为，所以，所以.【考点题型五】指数函数的定义与求值（参数）【例5】（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知指数函数在上单调递增，则的值为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【知识点】由指数（型）的单调性求参数、根据函数是指数函数求参数【分析】令系数为，解出的值，又函数在上单调递增，可得答案．【详解】解得，又函数在上单调递增，则，故选：B【变式5-1】（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为.【答案】27【知识点】求函数值、根据函数是指数函数求参数【分析】根据指数函数定义求得，进而代入求解即可.【详解】因为为指数式，则，解得或，又因为且，可得，即，所以.故答案为：27.【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）函数是指数函数，则a的取值范围是【答案】【知识点】根据函数是指数函数求参数【解析】根据指数函数的定义要满足条件得到关于的取值范围.【详解】解：函数是指数函数，且，，由解得或，.所以a的取值范围为：.故答案为：.【点睛】本题考查指数函数定义的应用，属于基础题.【考点题型六】指数函数的图象过定点核心方法：【例6】（24-25高三上·河北·阶段练习）函数的图象恒过的定点为．【答案】【知识点】指数型函数图象过定点问题【分析】根据题意结合指数函数定点分析求解即可.【详解】令，解得，且，所以函数的图象恒过的定点为.故答案为：.【变式6-1】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（

）A．4 B．1 C．2 D．【答案】C【知识点】指数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得的关系，然后由基本不等式求得最小值．【详解】由得，又，所以定点为，从而，，当且仅当时等号成立，故选：C【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）已知函数（且）的图象恒过定点，点的坐标是.【答案】【知识点】指数型函数图象过定点问题【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定的坐标．【详解】令，解得，此时，点的坐标为.故答案为：.【考点题型七】指数（型）函数图象的识别【例7】（24-25高一上·北京·期中）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【知识点】判断指数型函数的图象形状【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项.【详解】，所以，排除AC，且，排除D.故选：B【变式7-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、指数函数图像应用【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值排除即可.【详解】定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B.再取特殊值，且为正数.排除D.当时，，越大函数值越接近1，排除C.故选：A.【变式7-2】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、具体函数的定义域【分析】由奇偶性及函数值即可判断.【详解】由知：，，偶函数，AC错，，B错，故选：D【变式7-3】（多选）（24-25高一上·广东·期中）函数且的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】BC【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、指数函数图像应用【分析】结合指数函数的图象性质，分，分别研究单调性和渐近线，进而得到答案.【详解】当时，，显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，函数图象的渐近线为，而，故A，B不符合；对于C，D，因为渐近线为，故，故时，，故选项C符合，D不符合；当时，，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，函数图象的渐近线为，而，故B符合，A，C，D不符合；故选：BC.【考点题型八】画指数（型）函数图象核心方法：根据函数图象变换方法【例8】（2024高三·全国·专题练习）作出函数的图象.【答案】图象见解析【知识点】指数函数图像应用【分析】根据图象变换的知识，由的图象进行图象变换，从而画出函数的图象.【详解】设，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则图象如图示：【变式8-1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知直线与函数的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．【答案】．【知识点】画出具体函数图象、根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用【分析】依题意，作出函数的图象，要使两者有两个公共点，需使，即可求得参数范围.【详解】由，作出函数的图象如图．由图知，要使直线与该图象有两个公共点，则有，即.故实数a的取值范围为．【变式8-2】（2023高三·全国·专题练习）已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变换得到的.(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析(4)答案见解析【知识点】指数函数图像应用【分析】直接根据函数图像的平移和对称法则得到答案.【详解】（1）的图象是由的图象向左平移1个单位长度得到的．（2）的图象是由的图象向上平移1个单位长度得到的．（3）与的图象关于y轴对称，作的图象关于轴的对称图形便可得到的图象．（4）为偶函数，其图象关于轴对称，故保留当时，的图象，再作其关于轴的对称图形，即可得到的图象．【考点题型九】利用指数函数的单调性比较大小核心方法：根据指数函数的单调性【例9】（多选）（24-25高一上·河南洛阳·期中）下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【知识点】比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性【分析】利用指数函数和幂函数单调性来比较各选项中数的大小.【详解】对于A选项，对于指数函数，因为，指数函数单调递减.又因为，，即.所以，A选项正确.对于B选项,对于，是单调递减函数，.在单调递增，,所以，B选项错误.对于C选项,，.是单调递增函数，.所以，C选项正确.对于D选项,，.是单调递增函数，，则，其倒数关系为.所以，D选项错误.故选：AC.【变式9-1】（浙江省台州市山海协作体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题）已知，，，则下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】比较指数幂的大小【分析】根据指数函数的单调性，即可判断.【详解】，，，单调递减，，所以，即.故选：D【变式9-2】（24-25高一上·天津南开·期中）若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】比较指数幂的大小【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法求解即可.【详解】因为函数是增函数，所以，即，又，所以.故选：D.【考点题型十】利用指数函数的单调性解不等式核心方法：根据指数函数的单调性【例10】（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数为奇函数.(1)求实数的值及函数的值域；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)1，(2)【知识点】由函数奇偶性解不等式、由奇偶性求参数、根据函数的单调性解不等式、判断指数型复合函数的单调性【分析】（1）由奇函数的性质可得，即可求出m的值；由可得，即可求解；（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可求解.【详解】（1）因为的定义域为R，且为奇函数，则有，即，经检验，符合题意，所以.又，则，即，即，则，所以函数的值域为.另解：显然是R上的增函数，且，由函数单调性的性质可得在上递增，即也在上递增，故当时，，同时，由增函数性质可得，故函数的值域为.（2）由，可得，又函数为奇函数，则，所以，又是R上的单调增函数，由函数单调性的性质可得是R上的单调减函数，即是R上的单调增函数，由可化为，即，所以实数的取值范围为.【变式10-1】（23-24高一上·广东深圳·期中）设函数（，且）是定义域为的奇函数，且的图象过点．(1)求t和a的值；(2)若，求实数k的取值范围；【答案】(1)(2)【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题【分析】(1)直接利用奇函数性质可得到的值，再代回解析式看是否符合奇函数的条件，由函数过点代入求a.(2)利用奇函数的性质可得，再由函数单调性脱去“”，转化为二次不等式恒成立求解即可.【详解】（1）因为函数（，且）是定义域为的奇函数，所以，所以，所以，解得，所以，因为函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数是奇函数，故满足题意，又因为的图象过点，所以，，且，解得或（舍去），综上t和a的值分别为2，2.（2）由（1）可知函数是奇函数，所以不等式等价于，因为指数函数在上单调递增，所以由复合函数单调性可知在上单调递增，所以不等式等价于，即，不等式恒成立，当且仅当，解得，所以实数k的取值范围为.【变式10-2】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是奇函数．(1)求的值，并判断的单调性（注：无需证明的单调性）；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)，在和上都是减函数．(2)．【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式【分析】（1）由奇函数的定义求得参数，再由单调性定义证明．（2）利用奇函数性质变形不等式，再由单调性求解．【详解】（1）由题意恒成立，即，整理得，∴，，，它在和上都是减函数，设且均不为0，，若，则，，，所以，即，∴在上是减函数，同理若，则，，，所以，即，∴在上是减函数．（2），时，，时，，，是奇函数，则，，若，则，不合题意，∴且，解得．【变式10-3】（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知是定义在上的奇函数(1)判断在上的单调性，并用定义证明；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)在上单调递减，证明见解析；(2)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式【分析】（1）根据指数型复合函数单调性判断，再利用定义证明单调性的步骤，取值、作差、变形、定号、下结论即可；（2）根据奇函数和单调性原不等式等价于，即可求解.【详解】（1）解：因为，在上单调递增，所以在上单调递减，证明如下：证明：．设，则，所以，因为，所以，所以，所以在上是减函数；（2）解：因为函数是奇函数，所以成立，等价于成立，因为在上是减函数，所以，，即，解得：，所以实数的取值范围为．【考点题型十一】指数型复合函数的单调性核心方法：复合函数单调性法则【例11】（24-25高三上·四川广安·阶段练习）函数的单调递增区间是【答案】【知识点】求函数的单调区间、判断指数型复合函数的单调性【分析】利用指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性求解即得.【详解】函数的定义域为R，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在定义域上单调递减，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间是.故答案为：【变式11-1】（多选）（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（）A．定义域为RB．值域为C．在上单调递增D．在上单调递减【答案】ABD【知识点】求指数型复合函数的值域、判断指数型复合函数的单调性【分析】根据函数的解析式可判断A；求出的值域再利用指数函数的单调性可判断B；根据复合函数的单调性可判断CD.【详解】对于A，函数的定义域为R，故A正确；对于B，因为，所以，故函数的值域为，故B正确；对于CD，因为在R上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，所以函数在上单调递减，C错误，D正确.故选：ABD.【变式11-2】（2024高一·全国·专题练习）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】由指数（型）的单调性求参数、判断指数型复合函数的单调性【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可.【详解】易知，显然在上单调递增，在上单调递减，因为在区间1,+∞上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且，所以.故选：A【考点题型十二】与指数函数（指数型复合函数）有关的值域核心方法：换元法【例12】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，函数.(1)若，求函数的最小值；(2)若对，都存在，使得，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】求已知指数型函数的最值、函数不等式恒成立问题【分析】（1）首先利用指数运算，化简函数，再利用换元，结合对勾函数的单调性，即可求解函数的最值；（2）首先将函数和在定义域的最小值设为，由题意可知，首先求得，，确定的取值范围，再讨论去绝对值，求，然后解不等式，即可求解.【详解】（1）若，，因为，令，则，又因为在上单调递增，当，即时，函数取得最小值；（2）设在上的最小值为，在上的最小值为，由题意可知，，若，，因为，令，则，又因为在上单调递增，当，即时，函数取得最小值2，即；所以在上的最小值应该满足，；因为，解得：或，当时，且，则，可得，可得的最小值为，则，解得：，当时，且，，可得，可知，的最小值为，则，解得：，综上可知，的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求函数的最小值，根据，缩小的取值范围，再讨论去绝对值.【变式12-1】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知定义在上的函数()(1)若，求函数在上的最大值；(2)若存在，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)8(2)【知识点】求已知指数型函数的最值、函数不等式能成立（有解）问题【分析】（1）换元，令，可得，结合二次函数求最值；（2）由，换元令，整理得，结合函数单调性分析求解.【详解】（1）若，则，因为x∈0,2，令，可得的图象开口向上，对称轴为，可知：当时，取得最大值，所以函数在0,2上的最大值为8.（2）因为，即，整理得，令，当且仅当，即时，等号成立，则，，则，整理得，由题意可知：方程在内有解，因为在内单调递增，可知在内单调递增，则，可得，所以实数的取值范围为.【变式12-2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)若有最小值3，求的值.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.(2).【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据指数函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数【分析】（1）令，利用复合函数的单调性分析求解；（2）设，结合指数函数单调性可知的最小值为1，然后分和两种情况，结合二次函数最值分析求解.【详解】（1）因为，所以.设，则.因为，所以为R上的单调递增函数.又在上单调递增，在上单调递减.所以函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）设，则.因为，所以为R上的单调增函数.因为有最小值3，所以，的最小值为1.当时，，无最小值，不合题意；当时，则，解得.【考点题型十三】可化为一元二次函数型指数型复合函数值域问题核心方法：换元法【例13】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，.(1)当时，求的最小值；(2)记的最小值为，求的解析式.【答案】(1)(2)【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、求已知指数型函数的最值、复合函数的最值【分析】（1）当时代入，再结合换元法和二次函数性质即可；（2）由（1）知，令，，则原函数可化为，根据对称轴与区间位置关系分情况讨论即可求得．【详解】（1）设，因为，则，则，，当时，，，∴时，，即当时，.（2）由（1）知，，其图象的对称轴为．①当时，在上单调递增，所以；②当时，，③当时，在上单调递减，所以.综上，.【变式13-1】（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数，且，．(1)求a，b的值，并写出的解析式；(2)设，求在的最大值和最小值．【答案】(1)，，(2)最大值为，最小值为．【知识点】求已知指数型函数的最值、求解析式中的参数值【分析】（1）根据，列出方程组，解出的值，进而可得的解析式；（2）先求出，然后利用换元法，结合二次函数的知识可求出结果．【详解】（1）由，得，解得，．且．所以a，b的值分别为1，2，的解析式为．（2），令，则由得，所以变为，．对称轴为直线，，所以当，即时，；当，即时，．综上时，的最大值为，最小值为．【变式13-2】（24-25高一上·青海海东·阶段练习）已知指数函数（且）的图象过点．(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的值域和单调区间．【答案】(1)(2)值域为；单调递减区间为，单调递增区间为【知识点】求指数函数解析式、判断指数型复合函数的单调性、求已知指数型函数的最值【分析】（1）由可求出的值，可得出函数的解析式；（2）令，，利用复合函数的单调性可得出函数在上的单调增区间和减区间，并由此求出函数的值域.【详解】（1）解：因为函数（且）的图象过点，则，解得，因此，.（2）解：，令，因为，则，令，当时，函数单调递减，此时，，当时，函数单调递增，此时，，又因为函数单调递增，所以，函数在上的减区间为，增区间为.故当时，，又因为，，故，所以，函数在上的值域为.【考点题型十四】与指数函数的相关的综合问题（单调性，奇偶性，解不等式，求值域，恒成立等问题）核心方法：【例14】（24-25高一上·湖南·期中）已知定义在上的奇函数，偶函数，.(1)求的值；(2)判断hx的奇偶性，判断并用定义法证明h(3)已知对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)为奇函数，证明见解析(3)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题【分析】（1）根据奇偶性定义研究式子恒成立即可求得的值；（2）利用奇偶性定义判断，利用单调性定义证明即可；（3）可将不等式转化为，再应用函数的单调性转化成，再分类讨论解出的取值范围即可.【详解】（1）解：由题意，为奇函数，为偶函数，所以f−x=−fx所以恒成立，所以；所以，即，所以恒成立，所以（2）因为，则的定义域为，因为，所以hx为奇函数；因为，于是任取，且，则，，所以hx为上增函数；（3）解：因为，所以即，又因为hx为R上增函数，所以对任意x∈R恒成立，当时，解集不为R，所以；当时，只需，可得到.综上实数的取值范围是【变式14-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）已知指数函数的图象过点，函数.(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；(3)若不等式对恒成立，求t的取值范围.【答案】(1)(2)单调递增，证明见解析(3)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求指数函数解析式、函数不等式恒成立问题【分析】（1）根据指数函数的定义及函数图象所过点求解；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）根据函数单调性转化为恒成立，分离参数得解.【详解】（1）设（，且），由，得，所以.（2）在上单调递增.证明如下：由题意得.，，且，则.由，得，，则，.所以，即，故在上单调递增.（3）由题意得，所以是偶函数.由，得，易得，，因为在上单调递增，所以由，得.当时，恒成立；当时，.因为，所以，得，即t的取值范围为.【变式14-2】（24-25高一上·贵州黔西·期中）已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值；(2)证明：在上为减函数；(3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)，(2)证明见解析(3)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式、函数不等式恒成立问题【分析】（1）定义域为R的奇函数满足，据此求解即可；（2）根据定义证明单调性即可；（3）根据奇函数性质转化成，再结合函数单调性求解.【详解】（1）因为为R上的奇函数，所以，得.又，得.经检验，符合题意.（2）任取，且，则.因为，根据指数函数单调性，所以.又因为，所以，所以为R上的减函数.（3）因为，不等式恒成立，所以.因为为奇函数，所以.因为为R上的减函数，所以，即恒成立，而，取得等号.所以.【变式14-3】（24-25高一上·天津津南·期中）已知函数为奇函数．(1)求实数的值；(2)判断函数在其定义域上的单调性，并用定义法证明；(3)若不等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)为上的增函数，证明见解析(3)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求函数解析式【分析】（1）根据函数的奇函数的性质与定义求参数即可得结论；（2）利用单调性的定义，取值，作差，变形，定号，从而可证得函数单调性；（3）根据函数的奇偶性与单调性得不等式为，再利用不等式的恒成立、能成立求解最值即可得结论.【详解】（1）∵为上的奇函数．∴，∴，∴检验：此时为奇函数，满足条件；（2）为上的增函数，证明：，且，，∵，∴，∴，∴，即，∴为上的增函数．（3）∵，∴，∵在上的奇函数，∴，∵为上的增函数，∴，∵对恒成立，∴，∵在上单调递增，∴，，使不等式成立，∴，∵在上单增，在上单减，∴，∴，∴，另解：，使不等式成立，∴，∵，∴在上单减，在上单增∴∴即

∴对恒成立∴，∵在上单增，∴，∴，∴．【考点题型十五】指数函数中新定义问题【例15】（24-25高一上·上海徐汇·期中）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”．若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”(1)已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”，并说明理由；(2)若幂函数使得在上是“伪奇函数”，是“伪偶函数”，求实数m的取值范围；(3)若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求m的取值集合．【答案】(1)不是伪奇函数；不是伪偶函数，理由见解析(2)(3)【知识点】利用函数单调性求最值或值域、一元二次方程根的分布问题、函数新定义、等式的性质与方程的解【分析】（1）求出即可判断是否为“伪奇函数”；求解方程即可判断是否为“伪偶函数”；（2）利用幂函数的定义求出，从而得到的解析式，由条件可知在上存在非零实数解，然后利用参变量分离，结合函数的单调性求出范围；同时根据是“伪偶函数”求出范围，进而可得到答案；（3）由定义，将问题转化为(在上存在非零实数解，令，则，构造函数，利用二次函数的性质，列不等式求解即可．【详解】（1）因为，其定义域为，则，，因为恒成立，从而，故在函数定义域内不存在使得，即不存在使得f−x=−fx，所以不是“伪奇函数”．若，则，则，且，解得，故在函数定义域内不存在非零实数满足，所以不是“伪偶函数”．（2）因是幂函数，则，所以，，所以，，因为在上是“伪奇函数”，所以在上存在非零实数解，所以在上存在非零实数解，则，且，令，则，且，令，且，，当且时，，则，当且时，，则，可得函数在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以，当且时，，即，故，因为是“伪偶函数”，所以存在非零实数解，即存在非零实数解，显然，综上，实数的取值范围为．（3）由定义可得，在上存在非零实数解，则在上存在非零实数解，即在上存在非零实数解，所以(在上存在非零实数解，令，∵，当且仅当，即时取等号，又，∴，则方程在上有实数解，令，对称轴为，当时，则，所以，故；当时，则，即，故，综上，，又为整数，则，所以的取值集合为．【点睛】关键点睛：本题为新概念题，解题关键是正确理解“伪奇函数”“伪偶函数”的概念，运用转化的思想，把问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.【变式15-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）对于定义在区间上的函数f(x)，若.(1)已知试写出、的表达式;(2)设且函数如果与恰好为同一函数，求a的取值范围；(3)若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数为上的"k阶收缩函数"，已知，函数是上的“3阶收缩函数”，求b的取值范围.【答案】(1)，(2)(3)【知识点】函数新定义、判断指数函数的单调性【分析】（1）根据函数、在上的单调性可得出、的表达式；（2）若与恰好为同一函数，只需要在上是单调递减，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解；（3）根据题意，结合在上的单调性和值域，分，，三种情况讨论求解即可.【详解】（1）因为函数在上单调递减，则，因为函数在上单调递增，则.（2）若与恰好为同一函数，只需要在上是单调递增，当时，令，则，由，则，对称轴，根据复合函数的单调性，函数显然在为单调递减，故成立．当时，令，由，则，只需，化简得，解得，综上所述，a的取值范围为.（3）当时，函数在上单调递减，则，，由题意，对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，符合题意.当时，函数在1,2上单调递减，在上单调递增，则，，当时，，即，恒成立，符合题意；当时，，即，恒成立，符合题意；当时，函数在1,2上单调递减，在上单调递增，则，，由题意，当时，，即，恒成立，符合题意；当时，，即，不恒成立，不符合题意；当时，，即，不恒成立，不符合题意.综上所述，b的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解.【变式15-2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数c，使得对任意，都有，且对任意，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“卷函数”.(1)判断函数是否为上的“卷函数”？并说明理由：(2)设是（1）中的“卷函数”，若不等式对恒成立，求实数x的取值范围；(3)若函数是区间上的“卷函数”，求的值.【答案】(1)函数为上的“卷函数”，理由见解析(2)(3)4【知识点】函数新定义、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题【分析】（1）写出函数的分段函数形式，再结合新定义判断即可；（2）令，结合二次函数的性质及题意可得不等式恒成立，进而结合函数的值域可得，进而求解即可；（3）根据题意可得存在区间和常数，使得恒成立，即，列出方程组即可求得m、c、n的值，代入函数验证是否满足题意即可确定m、n的值，进而求解.【详解】（1）函数为上的“卷函数”，理由如下：对于函数，当时，，且当或时，恒成立，所以函数为上的“卷函数”.（2）由于，当且仅当，即时等号成立，令，则，所以，因为函数在上单调递增，所以当时，，由题意，不等式对恒成立，即不等式恒成立，由（1）知，当时，，且当或时，恒成立，则，解得，即实数x的取值范围为.（3）因为函数是区间上的“卷函数”，则存在区间和常数，使得恒成立.所以恒成立，即，解得或，当时，，当时，，当时，恒成立.此时，是区间上的“卷函数”.当时，.当时，，当时，，此时，不是区间上的“卷函数”.综上所述，，，所以.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.提升训练一、单选题1．（24-25高一上·宁夏银川·期中）设指数函数且，则“”是“是增函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】探求命题为真的充要条件、判断指数函数的单调性【分析】根据指数函数的底数与单调性的关系直接判断即可.【详解】由指数函数的性质可知，“是增函数”“”，所以“”是“是增函数”的充要条件，故选：C.2．（24-25高一上·广东清远·期中）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小【分析】利用函数，和的单调性，结合条件，即可求解.【详解】因为是减函数，所以，因为在上单调递增，又，所以，又是增函数，所以，则，故选：A.3．（24-25高一上·黑龙江·期中）已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数【分析】由指数函数和分段函数的单调性求解即可；【详解】由题知，解得.故选：A.4．（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求指数型复合函数的值域【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得.【详解】令，因为，所以，则，令，，所以当时取得最小值，且，又，，所以，即函数的值域是.故选：C5．（24-25高一上·广东·期中）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别【分析】根据奇偶性可排除CD，根据或时，可排除B.【详解】由于的定义域为，关于原点对称，且为偶函数，故图象关于轴对称，排除CD,又当或时，，可排除B,故选：A6．（24-25高一上·湖南·期中）已知定义在R上的奇函数是常数，存在实数使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式【分析】结合指数函数的单调性和奇偶性，以及运用参数分离和基本不等式、结合能成立思想，可得所求范围．【详解】因为是R上的奇函数，所以，所以.因为，所以，解得，所以，检验，此时为R上的奇函数，因为函数为减函数，所以函数fx因为能成立，所以能成立，参变分离，即能成立.因为（当且仅当，即时取等号），故选：D.7．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数，则满足不等式的的范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式【分析】分别用定义判断函数的单调性和奇偶性，然后将转换为求解即可.【详解】函数定义域为关于原点对称，，所以为奇函数，在定义域为内任意选取两个自变量，且，，因为，所以，，所以，即，所以函数在上单调递增，因为，即，即，结合单调性知，即，解得，所以的范围是，故选：A.8．（24-25高一上·福建福州·期中）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（

）A．B． C． D．【答案】C【知识点】由指数（型）的单调性求参数、函数新定义【分析】依题意可知函数与函数在区间上同增或者同减，则根据同增或同减分两种情况讨论即可.【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增,若区间为函数的“稳定区间”，则函数与函数在区间上同增或者同减，①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，可得，解得；②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立，即，不等式组无解；综上所述；.故选；C.二、多选题9．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设，，且，则下列关系式中一定不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】根据指数函数的单调性即可比较AB,作出函数的图像，借助函数图象结合选项逐一判断CD.【详解】，故可作出的图象如图所示，

由图可知，要使且成立，则有且，故必有且，又，即为，所以．由于函数为单调递增函数，且，所以，故AD可能，CB不可能，故选：BC．10．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知函数，则（

）A．若是偶函数，则B．无论取何值，都不可能是奇函数C．在区间上单调递减D．的最大值小于1【答案】ABC【知识点】判断指数型复合函数的单调性、求已知指数型函数的最值、由奇偶性求参数【分析】对于A，由函数定义得，由此即可验算；对于B，由实数域上奇函数的必要条件即可判断；对于C，由指数函数、复合函数单调性即可判断；对于D，由复合型指数函数的值域和最值即可判断.【详解】对于A项，若是偶函数，则，所以，即可得，故A项正确；对于B项，不过点，故B项正确；对于C项，在上单调递减，又在上单调递增，所以在上单调递减，故C项正确；对于D项，，又在上单调递增，所以的最大值为，所以最大值大于等于1，故D项错误.故选：ABC.三、填空题11．（24-25高一上·天津津南·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为．【答案】【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】利用图象以及的值域来求得实数的取值范围.【详解】依题意，，，，当时，，由解得或，而，结合图象可知：.故答案为：12．（24-25高一上·福建福州·期中）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围是.【答案】【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、函数不等式能成立（有解）问题【分析】首先求出与的取值范围，依题意可得的值域为函数的值域的子集，即，即可得到不等式组，解得即可.【详解】函数，，则，函数，，则，因为对任意的，存在，使得，所以的值域为函数的值域的子集，即，所以，解得，即实数m的取值范围是.故答案为：四、解答题13．（山东省百师联考2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题）已知函数.(1)当时，求的值域；(2)若的最小值为3，求k的值；(3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【知识点】求指数型复合函数的值域、对勾函数求最值、根据二次函数的最值或值域求参数、函数不等式能成立（有解）问题【分析】（1）由题设，结合二次函数及指数函数性质求值域；（2）令，则，结合二次函数性质讨论对称轴的位置及题设求参数值；（3）问题化为有解，求右侧最小值，即可得范围.【详解】（1）由题设，而，所以；（2）令，则，开口向上且对称轴为，当时，在上递增，此时无最值，不满足；当时，在上递减，在上递增，所以，可得（正值舍）.（3）由题意有解，即有解，对于，当且仅当时取等号，又趋向正负无穷时，分别趋向于0、正无穷，故均趋向于正无穷，故只需，即.14．（广西壮族自治区玉林市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知定义域为的函数是奇函数，且.(1)求出a，b的值，判断函数在上的单调性，并用定义证明；(2)若，求实数m的取值范围.【答案】(1)，函数在上单调递增，证明见解析(2)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由