专题07 指数与指数函数（考点清单+知识导图+ 15个考点清单-题型解读）（原卷版）-25学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版必修一）

清单07指数与指数函数（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】整数指数幂1、正整数指数幂的定义：，其中，2、正整数指数幂的运算法则：①（）②（，，）③（）④（）⑤（）【清单02】根式1、次根式定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.特别的：①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().③负数没有偶次方根；④的任何次方根都是，记作2、根式：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．在根式符号中，注意：①，②当为奇数时，对任意都有意义③当为偶数时，只有当时才有意义.3、与的区别：①当为奇数时，（）②当为偶数时，（）③当为奇数时，且，④为偶数时，且，【清单03】分式指数幂1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.【清单04】有理数指数幂①（，）②（，）③（，）知识点05：无理数指数幂①（，）②（，）③（，）【清单05】指数函数的概念1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.2、学习指数函数的定义，注意一下几点（1）定义域为：（2）规定是因为：①若，则（恒等于1）没有研究价值；②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.④只有当或时，即，可以是任意实数.（3）函数解析式形式要求：指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.【清单06】指数函数的图象与性质1、函数的图象和性质如下表：底数图象性质定义域值域定点图象过定点单调性增函数减函数函数值的变化情况当时，当时，当时，当时，当时，当时，对称性函数与的图象关于轴对称2、指数函数的底数对图象的影响函数的图象如图所示：观察图象，我们有如下结论：2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.（1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.（2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；【清单07】指数函数的定义域与值域1、定义域：（1）指数函数的定义域为（2）的定义域与函数的定义域相同（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.2、值域（1）指数函数的值域为（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.【清单08】指数函数的图象变换已知函数1、平移变换①②③④2、对称变换①②③3、翻折变换①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）【考点题型一】根式的化简求值核心方法：①当为奇数时，（）②当为偶数时，（）③当为奇数时，且，④为偶数时，且，【例1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简.【变式1-1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（

）A．－1 B．1 C． D．【变式1-2】（多选）（24-25高一上·浙江·期中）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【考点题型二】分数指数幂的化简求值核心方法：根据分数指数幂定义①（，，）②（，，）【例2】（24-25高一上·天津·期中）计算下列各式：(1)（其中a>0，结果化为幂的形式）；(2)(3)【变式2-1】（24-25高一上·广东深圳·期中）计算：.【变式2-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）计算:.【考点题型三】条件求值核心方法：完全平方公式；立方公式【例3】（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于.【变式3-1】（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）（1）已知，求下列各式的值：①；②.【变式3-2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值：①；②.【考点题型四】指数幂的综合运算【例4】（23-24高一上·天津南开·期中）计算：(1)；(2)．【变式4-1】（23-24高一上·山西太原·期中）计算下列各式的值(1)；(2)．【变式4-2（23-24高一上·山东泰安·期中）（1）计算：；（2）已知，求的值.【考点题型五】指数函数的定义与求值（参数）【例5】（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知指数函数在上单调递增，则的值为（

）A．3 B．2 C． D．【变式5-1】（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为.【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）函数是指数函数，则a的取值范围是【考点题型六】指数函数的图象过定点核心方法：【例6】（24-25高三上·河北·阶段练习）函数的图象恒过的定点为．【变式6-1】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（

）A．4 B．1 C．2 D．【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）已知函数（且）的图象恒过定点，点的坐标是.【考点题型七】指数（型）函数图象的识别【例7】（24-25高一上·北京·期中）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【变式7-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．【变式7-2】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【变式7-3】（多选）（24-25高一上·广东·期中）函数且的图象可能为（

）A． B．C． D．【考点题型八】画指数（型）函数图象核心方法：根据函数图象变换方法【例8】（2024高三·全国·专题练习）作出函数的图象.【变式8-1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知直线与函数的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．【变式8-2】（2023高三·全国·专题练习）已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变换得到的.(1)；(2)；(3)；(4).【考点题型九】利用指数函数的单调性比较大小核心方法：根据指数函数的单调性【例9】（多选）（24-25高一上·河南洛阳·期中）下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【变式9-1】（浙江省台州市山海协作体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题）已知，，，则下列正确的是（

）A． B． C． D．【变式9-2】（24-25高一上·天津南开·期中）若，则（

）A． B．C． D．【考点题型十】利用指数函数的单调性解不等式核心方法：根据指数函数的单调性【例10】（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数为奇函数.(1)求实数的值及函数的值域；(2)若，求实数的取值范围.【变式10-1】（23-24高一上·广东深圳·期中）设函数（，且）是定义域为的奇函数，且的图象过点．(1)求t和a的值；(2)若，求实数k的取值范围；【变式10-2】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是奇函数．(1)求的值，并判断的单调性（注：无需证明的单调性）；(2)若，求的取值范围．【变式10-3】（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知是定义在上的奇函数(1)判断在上的单调性，并用定义证明；(2)若，求实数的取值范围.【考点题型十一】指数型复合函数的单调性核心方法：复合函数单调性法则【例11】（24-25高三上·四川广安·阶段练习）函数的单调递增区间是【变式11-1】（多选）（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（）A．定义域为RB．值域为C．在上单调递增D．在上单调递减【变式11-2】（2024高一·全国·专题练习）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【考点题型十二】与指数函数（指数型复合函数）有关的值域核心方法：换元法【例12】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，函数.(1)若，求函数的最小值；(2)若对，都存在，使得，求实数的取值范围.【变式12-1】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知定义在上的函数()(1)若，求函数在上的最大值；(2)若存在，使得，求实数的取值范围．【变式12-2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)若有最小值3，求的值.【考点题型十三】可化为一元二次函数型指数型复合函数值域问题核心方法：换元法【例13】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，.(1)当时，求的最小值；(2)记的最小值为，求的解析式.【变式13-1】（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数，且，．(1)求a，b的值，并写出的解析式；(2)设，求在的最大值和最小值．【变式13-2】（24-25高一上·青海海东·阶段练习）已知指数函数（且）的图象过点．(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的值域和单调区间．【考点题型十四】与指数函数的相关的综合问题（单调性，奇偶性，解不等式，求值域，恒成立等问题）核心方法：【例14】（24-25高一上·湖南·期中）已知定义在上的奇函数，偶函数，.(1)求的值；(2)判断hx的奇偶性，判断并用定义法证明h(3)已知对任意恒成立，求实数的取值范围.【变式14-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）已知指数函数的图象过点，函数.(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；(3)若不等式对恒成立，求t的取值范围.【变式14-2】（24-25高一上·贵州黔西·期中）已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值；(2)证明：在上为减函数；(3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.【变式14-3】（24-25高一上·天津津南·期中）已知函数为奇函数．(1)求实数的值；(2)判断函数在其定义域上的单调性，并用定义法证明；(3)若不等式成立，求实数的取值范围．【考点题型十五】指数函数中新定义问题【例15】（24-25高一上·上海徐汇·期中）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”．若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”(1)已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”，并说明理由；(2)若幂函数使得在上是“伪奇函数”，是“伪偶函数”，求实数m的取值范围；(3)若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求m的取值集合．【变式15-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）对于定义在区间上的函数f(x)，若.(1)已知试写出、的表达式;(2)设且函数如果与恰好为同一函数，求a的取值范围；(3)若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数为上的"k阶收缩函数"，已知，函数是上的“3阶收缩函数”，求b的取值范围.【变式15-2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数c，使得对任意，都有，且对任意，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“卷函数”.(1)判断函数是否为上的“卷函数”？并说明理由：(2)设是（1）中的“卷函数”，若不等式对恒成立，求实数x的取值范围；(3)若函数是区间上的“卷函数”，求的值.提升训练一、单选题1．（24-25高一上·宁夏银川·期中）设指数函数且，则“”是“是增函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（24-25高一上·广东清远·期中）设，，，则（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·黑龙江·期中）已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·广东·期中）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．6．（24-25高一上·湖南·期中）已知定义在R上的奇函数是常数，存在实数使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数，则满足不等式的的范围是（

）A． B．C． D．8．（24-25高一上·福建福州·期中）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（

）A．B． C． D．二、多选题9．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设，，且，则下列关系式中一定不成立的是（

）A． B．C． D．10．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知函数，则（

）A．若是偶函数，则B．无论取何值，都不可能是奇函数C．在区间上单调递减D．的最大值小于1三、填空题11．（24-25高一上·天津津南·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为