专题08 对数与对数函数（考点清单+知识导图+ 16个考点清单-题型解读）（原卷版）-25学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版必修一）

清单08对数与对数函数（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】对数概念1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.特别的：规定,且的原因：①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的.②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.2、常用对数与自然对数①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.71828.把以为底的对数称为自然对数,并把记作说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.【清单02】指数式与对数式的相互转化当且，【清单03】对数的性质①负数和零没有对数.②对于任意的且,都有，，；③对数恒等式:（且）【清单04】对数的运算性质当且，,①②③（）④（）⑤（）【清单05】对数的换底公式换底公式：（且，，，且）特别的：【清单06】对数函数的概念1、对数函数的概念一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.判断一个函数是对数函数的依据（1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数.2、两种特殊的对数函数特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.【清单07】对数函数的图象及其性质函数的图象和性质如下表：底数图象性质定义域值域单调性增函数减函数【考点题型一】指数与对数综合运算【例1】（24-25高一上·云南昆明·期中）计算下列各式：(1)；(2).【变式1-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）求值：(1)；(2).【变式1-2】（24-25高一上·江苏南京·期中）求下列各式的值．(1)(2)【考点题型二】指数式与对数式的相互转化核心方法：【例2】（23-24高三上·四川泸州·阶段练习）实数满足，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【变式2-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知，则（

）A． B． C．1 D．2【变式2-2】（多选）（22-23高一上·广东惠州·期中）已知正实数，满足，且，则的值可以为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【考点题型三】利用换底公式化简求值核心方法：换底公式：（且，，，且）特别的：【例3】（多选）（24-25高一上·江苏南通·期中）下列结论正确的有（

）A． B．C． D．若，则.【变式3-1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）计算：(1)；(2)．【考点题型四】有附加条件的对数求值问题【例4】（23-24高一上·江苏扬州·期中）（1）已知，，①求的值；②求的值；（2）已知，，①用，表示；

②用，表示．【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则用表示.【变式4-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示.【变式4-3】（23-24高一上·广西·期中）（1）计算：.（2）设，，试用，表示.【考点题型五】对数函数概念辨析【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知下列函数：①y＝log(－x)(x＜0)；②y＝2log4(x－1)(x＞1)；③y＝lnx(x＞0)；④，(x＞0，a是常数)．其中为对数函数的是(只填序号)．【考点题型六】与对数函数有关的定义域问题【例6】（24-25高一上·上海·期中）函数的定义域为．【变式6-1】（24-25高二上·上海·期中）函数的定义域为．【变式6-2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）设条件有意义，条件，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是.【考点题型七】对数函数过定点问题核心方法：【例7】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（

）A．13 B． C． D．8【变式7-1】（24-25高一上·山东青岛·期中）函数且的图象恒过点，函数且的图象恒过点，则（

）A． B． C． D．【变式7-2】（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则.【考点题型八】指数与对数函数的图象综合【例8-1】（23-24高一上·河南·期末）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【例8-2】（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（

）A． B．C． D．【变式8-1】（23-24高二下·江苏宿迁）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【变式8-2】（多选）（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知，且，函数与的图象可能是（

）A． B．C． D．【考点题型九】对数型复合函数值域【例9】（24-25高三上·河南焦作·阶段练习）若函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【变式9-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，的最小值是.【变式9-2】（23-24高三上·上海黄浦·期中）函数在区间上的最小值为.【变式9-3】（23-24高一上·广东·期中）已知函数.(1)求方程的根；(2)求在上的值域.【考点题型十】对数型复合函数值域（可化为一元二次函数型）核心方法：换元法（特别题型：换元必换范围）【例10-1】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值域是．【例10-2】（23-24高一上·安徽淮北·阶段练习）已知函数.(1)若，求方程的解集；(2)当时，求函数的最小值.【变式10-1】（23-24高一下·安徽合肥·期末）函数的最小值为．【变式10-2】（23-24高一下·河北石家庄·期中）函数的定义域为.(1)设，求t的取值范围；(2)求函数的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值【考点题型十一】对数型复合函数的单调性问题核心方法：复合函数求单调性法则（特别题型，容易忽视定义域而造成错解）【例11】（23-24高一上·河北唐山·期中）函数的单调增区间为．【变式11-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【变式11-2】（24-25高三上·江苏泰州·期中）函数的单调递增区间为．【考点题型十二】根据对数型复合函数的单调性求参数核心方法：复合函数求单调性法则【例12】（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为.【变式12-1】（24-25高三上·山东德州·期中）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式12-2】.（24-25高三上·广东惠州·期中）已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点题型十三】利用对数函数单调性比大小核心方法：单调性【例13】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【变式13-1】（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）已知，，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．【变式13-2】（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知，，，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．【考点题型十四】利用对数函数单调性解不等式核心方法：单调性【例14-1】（23-24高一下·湖北·期中）已知函数.(1)若在上单调递减，求的取值范围;(2)若，解不等式.【例14-2】（23-24高一上·山东泰安·期中）函数.(1)如果时，有意义，求实数的取值范围；(2)当时，值域为，求实数的值；(3)在（2）条件下，.解关于的不等式.【变式14-1】（24-25高一上·吉林延边·期中）已知函数.(1)求函数的定义域；(2)判断奇偶性，并加以证明；(3)若，求实数的取值范围.【变式14-2】（23-24高一上·河北·期末）已知函数.(1)判断函数的奇偶性；(2)判断函数的单调性；(3)若，求实数的取值范围.【考点题型十五】对数函数综合问题（单调性，奇偶性，恒成立，不等式，值域等综合问题）核心方法：单调性【例15-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，关于的不等式的解集为，且.(1)求的值；(2)是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【例15-2】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为奇函数.(1)求实数的值；(2)解不等式；(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【例15-3】（23-24高一上·河北唐山·期中）已知函数且的图象经过点，且函数为奇函数(1)求函数的解析式；(2)判断并证明在定义域上的单调性；(3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围．【变式15-1】（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数为奇函数.(1)求实数a的值；(2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【变式15-2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数.(1)当时，求该函数的值域；(2)若对于恒成立，求的取值范围.【变式15-3】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，函数(1)试判断函数的单调性，并证明你的结论；(2)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围．【考点题型十六】对数函数中新定义问题【例16】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数.(1)当时，判断函数在上是否“友好”；(2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围.【变式16-1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“和一函数”．(1)判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”，并说明理由；(2)若函数在定义域上是“和一函数”．①求的值；②求的取值范围．【变式16-2】.（2024·上海金山·二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”．(1)若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由；(2)若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：；(3)已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值．提升训练1．（24-25高一上·上海·期中）已知，若，则（

）A．−2 B． C． D．2．（24-25高一上·江苏·期中）（

）A．4 B．2 C． D．3．（24-25高三上·福建宁德·期中）某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（

）A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃4．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（辽宁省名校联合体2024-2025学年高三上学期期中检测数学试题）函数是奇函数，则的取值集合为（

）A． B． C． D．6．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知，则（

）A． B．C． D．7．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则等于（

）A． B． C． D．二、多选题9．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知命题“”为真命题，则实数的值可以是（

）A．2 B．0 C． D．10．（24-25高三上·河南三门峡·期中）在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，下表为不同玻璃材料的透光率：玻璃材料材料1材料2材料30.70.80.9设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题11．（24-25高三上·青海西宁·阶段练习）已知函数在区间1,2上单调递增，则实数的取值范围是12．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围为.四、解答题13．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数，，过定点．(1)若，求函数的定义域；(2)若不等式在上恒成立，求的取