考前终极刷题02（高频解答专练）（解析版）-25学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版必修一）

考前终极刷题02（高频解答专练）1．（20-21高一上·山东济宁·期末）在①；②“”是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.问题：已知集合，.(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)；(2)答案见解析.【知识点】根据充分不必要条件求参数、并集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数【分析】（1）求出后利用并集的定义可求.（2）若选择①②，则根据条件得到两个集合的包含关系，从而可求参数的取值范围；若选择③，则就是否为空集分类讨论后可求参数的取值范围.【详解】（1）当时，集合，，所以.（2）若选择①，则是的子集，因为，所以，又，所以解得，所以实数的取值范围是.若选择②“”是“”的充分不必要条件，则是真子集，因为，所以，又，所以（等号不同时成立），解得，所以实数的取值范围是．若选择③，，因为，，所以或，解得或.2．（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，.(1)当时，求，；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)或【知识点】交并补混合运算、根据集合的包含关系求参数【分析】（1）利用集合交集，并集，补集定义计算即可求；（2）由，分和两种情况讨论即可.【详解】（1）当时，，又因为，所以，或，所以.（2）若时，成立，即，解得，若时，则或，解得或，综上，或.3．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且．(1)求实数a的值组成的集合；(2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数【分析】（1）先求出集合，然后根据得到，由此分析集合并求解出的值，则结果可知；（2）先求解出，然后将问题转化为“是C的真子集”，由此列出关于的不等式，则结果可求.【详解】（1）因为，由，知，则或或，当时，所以，当时，所以，当时，所以，所以的取值集合为．（2）由题意得，，故，又是的充分不必要条件，所以是的真子集，于是，解得：，经检验符合条件，综上，实数m的取值范围是．4．（23-24高一上·福建福州·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合，，若________，求实数的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【知识点】交并补混合运算、根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数【分析】若选择①，，则当，构造不等式，解得的范围；若选择②，，得到是的子集，构造不等式，解得的范围；若选择③，．可得，构造不等式，解得的范围.【详解】若选择①，，则当，满足，即，解得，满足题意；当时，应满足或解得．综上，实数的取值范围是．若选择②，，则是的子集，.当，即时，，满足题意；当时，满足或解得.综上，实数的取值范围是．若选择③，．则，当，即时，，满足题意；当时，应满足解得.综上，实数的取值范围是．5．（23-24高一上·甘肃金昌·期中）已知集合．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)．【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数【分析】（1）利用，找到不等式组，求出实数的取值范围即可；（2）在满足的前提下，对分空集和不是空集分类讨论即可.【详解】（1）因为，所以解得，即实数的取值范围是．（2）若，即，此时，满足；若，即，因为，所以，或，解得．综上，实数的取值范围是．6．（22-23高一上·湖南长沙·期中）设全集集合，．(1)当时，求，；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)或x>1，或(2)【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、补集的概念及运算【分析】（1）先求解出，然后根据并集和补集运算求解出和；（2）分类讨论：，由此列出不等式求解出的取值范围.【详解】（1）因为，所以，解得，所以，又因为，所以或x>1，或；（2）当时，，因为，所以，解得；当时，，此时成立；当时，，因为，所以，解得，综上所述，的取值范围是.7．（23-24高一上·安徽六安·期中）设集合，，.(1)，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】根据充分不必要条件求参数、并集的概念及运算【分析】（1）根据集合的并集运算求解即可.（2）根据命题间的充分不必要关系转化为集合间的包含关系，进而求出参数取值范围.【详解】（1）当时，，因为，所以（2）由题意“”是“”的充分不必要条件得①若，则，解得；②若，则，解得；，或，综合①②得：的取值范围是.8．（20-21高一上·山东烟台·期中）科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小．(1)求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值；(2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围．【答案】(1)200%，30(2)【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求积的最大值【分析】（1）根据题意，利用基本不等式和函数的单调性，分别求得来年两段上最大值，比较即可得到结论；（2）由（1）得到，结合一元二次不等式的解法，即可求得的范围，得到答案.【详解】（1）解：由题意知，当时，，当且仅当，即时取等号；当时，，在上单调递减，.又，∴当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%.（2）由（1）可知，此时月研发经费，于是，令，整理得，解得：．因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是．9．（21-22高一下·辽宁营口·期末）已知关于x的不等式，(1)若的解集为，求实数a，b的值；(2)求关于x的不等式的解集．【答案】(1)，(2)答案见详解【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式【分析】（1）由不等式的解集可知是方程的一个根，从而可求出.（2）对分情况讨论，由方程根的分布情况即可求解集.【详解】（1）若的解集为，则是方程的一个根，即，解得，所以不等式为，解得：，所以.即，.（2）因为，即，①当时，即，解得：，不等式的解集为：；②当时，令，解得，若时，不等式解集为：；若时，不等式解集为：；若时，不等式解集为：；若时，不等式解集为：；综上所述：当时，不等式解集为：；当时，不等式的解集为：；当时，不等式解集为：；当时，不等式解集为：；当时，不等式解集为：.10．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数.(1)解关于x的不等式；(2)若关于x的不等式的解集为.（i）求的值；（ii）求的最小值.【答案】(1)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.(2)（i）；（ii）9【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式【分析】（1）根据和分类讨论解不等式即可.（2）（i）由题意m，n分别是方程的两根，利用韦达定理即可得解；（ii）结合（i）中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】（1）不等式，整理得，当时，原不等式可化为，此时不等式的解为或；当时，原不等式可化为，此时不等式的解为；综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（2）（i）若的解集为，则m，n分别是方程的两根，且，由韦达定理可知，所以.（ii）由（i）知，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9.11．（23-24高一上·河南·期末）已知二次函数满足.(1)求函数的解析式；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【知识点】求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式【分析】（1）设，根据条件建立方程组，即可求解；（2）由（1）可得，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）设，因为，所以，解得，所以.（2），当时，在上单调递增，，当时，，当时，在上单调递减，.综上，.12．（23-24高一上·天津·期末）已知，分别为定义在R上的偶函数和奇函数，且.(1)求和的解析式；(2)利用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；(3)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)证明见解析(3)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、函数不等式恒成立问题【分析】（1）由函数奇偶性，构造方程组即可求解；（2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理即得；（3）换元并求出新元的范围，转化为二次函数在闭区间上的最小值求解即可.【详解】（1），分别为定义在R上的偶函数和奇函数所以f−x=f①，②，由①②可知，，（2）取，因为，所以，，，所以，即，得证；（3）由已知由(2)得在上单调递增，，设，令，，而函数，在上递减，在递增①当时，，，显然成立即②当时，，，即综上所述，实数的取值范围是.13．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知函数．(1)若存在，对任意的都成立；求m的取值范围；(2)设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题【分析】（1）题目可转化为：对任意的都成立，再利用变换主元的方法，把看作自变量，看作参数，即可求解；（2）由函数解析式,令，再分离参数k，即可求解.【详解】（1），当时，又∵存在，对任意的都成立，∴对任意的都成立即对任意的都成立，其中看作自变量，看作参数，即，解得：（2）令则,因为不等式在区间上有解，又而,即实数的取值范围是14．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数是定义在区间上的函数(1)判断函数的奇偶性；(2)用定义证明函数在区间上是增函数；(3)解不等式.【答案】(1)奇函数(2)证明见详解(3)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式【分析】（1）根据奇函数的定义分析证明；（2）根据函数单调性的定义分析证明；（3）根据函数单调性结合函数定义域分析求解.【详解】（1）因为函数的定义域为，且，所以函数为奇函数.（2）任取，令，则，因为，则，可得，即，所以函数在区间上是增函数.（3）因为，且函数在区间上是增函数，则，解得，所以不等式的解集为.15．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）已知a，b，c为实数，函数（）．(1)若函数为幂函数，求a，b，c的值；(2)若，，且函数在区间上单调递减，求ab的最大值．【答案】(1)，，或，，；(2)．【知识点】根据函数是幂函数求参数值、基本不等式求积的最大值、已知二次函数单调区间求参数值或范围【分析】（1）由幂函数的定义，即可列式求解；（2）当时，函数是一次函数，由一次函数的单调性确定参数的取值范围，当时，由二次函数确定参数的取值范围，再结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由函数的定义域为知，当为幂函数时，应满足，或，解得，，或，，．（2）当时，（），由题意知，，所以；当时，函数图象的对称轴为，依题意得，即，所以，得．当且仅当，时取等号．综上可得，ab的最大值为．16．（23-24高一上·北京·期末）已知定义域为的函数是奇函数．(1)求实数的值；(2)判断的单调性，并用单调性的定义证明；(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)在上单调递增，证明见解析(3)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、基本不等式求和的最小值、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数【分析】（1）根据奇函数定义即可求得;（2）利用单调性定义按步骤进行证明即可；（3）利用函数奇偶性和单调性将问题转化为不等式在时恒成立问题，再由基本不等式即可得出实数的取值范围．【详解】（1）因为定义域为的函数是奇函数，所以，即，所以，经检验符合题意，故；（2）在上单调递增，证明如下：因为，任取，所以，则，所以，所以在上单调递增；（3）由（2）得在上单调递增，又时，恒成立，所以，所以，则在时恒成立，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，所以，故的范围为．17．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)若，对，使得成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2).【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、解含有参数的一元二次不等式【分析】（1）利用分类讨论的思想求解含有参数的不等式的解集.（2）利用函数的思想构造函数分类讨论求函数的值域，然后根据根据条件即得.【详解】（1）令，解得或，①当时，，不等式的解集为，②当时，，不等式的解集为，③当时，，不等式的解集为.综上所述：时，不等式的解集为时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；（2）由，代入整理得，令，①当，即时，对任意.所以此时不等式组无解.②当，即时，对任意.所以解得；③当，即时，对任意.所以，此时不等式组无解.④当，即时，对任意.所以此时不等式组无解.综上，实数的取值范围是.18．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，．(1)证明：函数是奇函数；(2)证明：在上是增函数；(3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题【分析】（1）令可得，再令，结合奇函数定义，即可证明；（2）设任意且，作差，结合条件赋值法可证明，再结合奇函数性质，即可得证；（3）可转化为即，结合性质所证明性质求出，再主元变换解决关于的函数恒成立问题，列出不等式组求解即可.【详解】（1）令，得，，，令，，，所以函数是奇函数；（2）设任意且，由题意，，又由（1）是奇函数，得，，，已知当时，，从而有，故，即，在上单调递增，根据奇函数的性质可知在上也单调递增，故在上是增函数；（3）对任意恒成立，即，由（2）得，在上是增函数，所以当时，，又（1）可知，函数是奇函数，则，即.所以对任意恒成立，设，，要使恒成立，则，即，解得或，所以实数的取值范围是．19．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）定义在上的函数满足，，且时，.(1)求；(2)判断在上的单调性并证明；(3)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)在0,+∞上单调递增，证明见解析(3)【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值【分析】（1）根据条件，通过赋值，即可求出结果；（2）根据条件，利用证明函数单调性的定义法，再结合条件，即可求出结果；（3）利用（2）中结果，根据条件得到，即可求出结果.【详解】（1）因为，令，得到，所以f1=0.（2）在0,+∞上单调递增，证明如下，任取，且，则，又时，，且，所以，得到，所以在0,+∞上单调递增.（3）因为，由（2）知，解得，又由，得到，所以的取值范围为.20．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数(1)若a=2，当时，求函数的值域；(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】求二次函数的值域或最值、判断指数函数的单调性、根据二次函数零点的分布求参数的范围【分析】（1）利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解.（2）换元，转化成二次函数零点分布问题求解.【详解】（1）当时，.设，因为，所以.则，.因为该函数在上单调递减，在上单调递增.且，，所以，所求函数的值域为：（2）设，因为，所以.问题转化为：方程在1,4上有两个不等实根.所以.所以，实数的取值范围是：21．（23-24高一上·江苏盐城·期末）近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足(为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示10152025305060706050已知第10天的日销售收入为元.(1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式；(2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值.【答案】(1)，；(2)当时，取得最小值元.【知识点】利用函数单调性求最值或值域、分段函数模型的应用、分式型函数模型的应用、基本不等式求和的最小值【分析】（1）利用表格提供数据求得，由此求得.（2）先求得的解析式，然后根据基本不等式和函数的单调性求得的最小值.【详解】（1）由表格数据知，，，解得，所以，.（2）由（1）知，，由，解得，因此，，当时，，当且仅当，即时等号成立，当时，函数在上单调递减，，而，所以当时，取得最小值元.22．（22-23高一下·甘肃·期末）函数，其中．(1)若，求的零点；(2)若函数有两个零点，求的取值范围．【答案】(1)16(2)【知识点】求函数的零点、基本不等式求和的最小值【分析】（1）将代入，令，求得的值即可得出答案；（2）将两个零点用表示，结合基本不等式即可得解．【详解】（1）当时，，令，可得，解得，即函数的零点为16；（2）显然此时，令，可得或，则或，则，当且仅当，即时等号成立，故的取值范围为．23．（23-24高一上·四川成都·期中）在经济学中，函数的边际函数，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产x台（）这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）．（以下问题请注意定义域）(1)求收入函数的最小值；(2)求成本函数的边际函数的最大值；(3)求生产x台光刻机的这种设备的的利润的最小值．【答案】(1)48（千万元）(2)(3)7（千万元）【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值【分析】（1）利用基本不等式求函数的最小值即得；（2）求出边际函数的解析式，然后利用函数的单调性求解最值；（3）求出利润函数的解析式，换元后运用二次函数的图象性质求解最值．【详解】（1）∵，．∴，当且仅当即时等号成立．∴当时，（千万元）；（2），，，由函数单调性知，在时单调递增，故当时，；（3）由，则，．记，则该函数在上递减，在上递增，且，故，于是当时，取得最小值.由，解得或，故当或时，（千万元）．24．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数.若当点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函数的“伴随”函数.(1)解关于x的不等式；(2)若对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，求a的取值范围；(3)设函数，.当时，求的最大值.【答案】(1)(2)(3)【知识点】对数型复合函数的单调性、由基本不等式证明不等关系、由对数（型）的单调性求参数、对数不等式【分析】（1）由求解；（2）由题意得的相关函数为，根据题意得到时，恒成立求解；（3）易得，设，利用复合函数的单调性求解.【详解】（1）依题意得，则，所以，所以原不等式的解集为（2）由题意得，所以，所以的“伴随”函数为.依题意，对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，即当时，恒成立①由，对任意的总成立，结合题设条件有，在此条件下，①等价于当时，恒成立，即，即.设，要使当时，hx<0恒成立只需，即成立，解得，即，且，即a的取值范围是.（3）由（2）可得当时，在区间0,2上，，即设，则，令，则所以，因为（当且仅当时，等号成立），可得，当时，等号成立，满足，则t的最大值为，所以的最大值是25．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数为幂函数，且在上单调递增.(1)求m的值，并写出的解析式；(2)解关于x的不等式，其中.(3)已知，，且.求.【答案】(1)，(2)答案见解析(3)【知识点】求幂函数的解析式、解含有参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式【分析】（1）根据幂函数的概念及性质即可求解；（2）根据函数的奇偶性和单调性即可求解；（3）根据奇函数的性质，结合指对运算可得，构造函数，根据函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为为幂函数，且在0,+∞上单调递增，则，解得，所以；（2）函数为奇函数且在0,+∞上单调递增，则在R上递增，由，则，故，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为；（3）且，则，即，则考察函数，由于函数均在1,+∞单调递增，且值为正，故在在1,+∞单调递增，故，则，，则.【点睛】关键点点睛：根据指对运算由得，利用函数的单调性得.26．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是奇函数，且一个零点为1.(1)求，的值及解析式；(2)已知函数在单调递减，在满足，当时，，若不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点.【答案】(1)，，(2)(3)0，4.【知识点】根据函数的单调性求参数值、由奇偶性求函数解析式、根据零点求函数解析式中的参数、函数不等式恒成立问题【分析】（1）根据零点和奇函数的定义，联立方程组，解得的值，得到解析式，验证的奇偶性，即可得解；（2）依题意利用偶函数和单调性可得满足的条件，进而可求解的取值范围；（3）求出的解析式，依题意求出，进而可得hx的其他零点.【详解】（1）因为函数的一个零点是1，所以，是奇函数，所以，所以，，解得，，定义域为.，都有，所以，是奇函数，满足题意，故，，（2）函数满足，所以是偶函数且在单调递减因为不等式恒成立所以，所以（3），因为函数hx的一个零点为2，所以，解得.所以，令，得或，解得.所以函数的其余零点为0，4.27．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知函数的定义域为.(1)求的取值范围；(2)当时，判断的奇偶性，并解关于的不等式.【答案】(1)(2)【知识点】函数不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断【分析】（1）由题意知恒成立，利用换元法将不等式转化为一元二次函数恒成立问题进行求解；（2）求出函数的定义域，根据即可判断函数的奇偶性，换元法求出函数在上的单调性，再根据函数的奇偶性可得函数在定义域上的单调性，从而根据单调性判断与的关系.【详解】（1）因为函数的定义域为，所以恒成立，令，则，所以在上恒成立，即当时，恒成立，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.（2）当时，，易知的定义域为，因为，所以为偶函数.当时，，令，因为函数在上单调递增，且在定义域上为增函数，所以函数在上单调递增，又因为函数在定义域上为偶函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，即，解得.28．（23-24高二下·湖北孝感·期末）已知函数．(1)若在上的最小值为，求的值；(2)若函数恰有3个零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用【分析】（1）对a分类讨论及利用基本不等式求解；（2）令，则方程化为，结合函数的图象进行求解．【详解】（1）当时，在上单调递增，所以不存在最小值；当时，，所以，解得（舍去）或，故；（2）令，即，．令，则方程化为，画出的图象如图所示，因为恰有3个零点，所以有两个根，，且，记，则，解得，综上，的取值范围是．29．（23-24高二下·广西北海·期末）已知函数(1)证明：的定义域与值域相同；(2)若恒成立，求m的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域、根据对数函数的最值求参数或范围、函数不等式恒成立问题【分析】（1）由，求得的定义域，由在1,+∞上单调递增，求得的值域，即可证得；（2）先求得当时，再利用二次函数求得的最小值，则由可得m的取值范围.【详解】（1）由，得，所以的定义域为1,+∞，，因为在1,+∞上单调递增，所以，所以的值域为1,+∞，所以的定义域与值域相同.（2）由（1）知，在上单调递增，所以当时，，设，当，即时，取得最小值，且最小值为，因为，所以，即m的取值范围为.30．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数．(1)我们知道要研究一个函数的性质，通常会从函数的定义域、值域（最值）、奇偶性（对称性）、单调性（极值）、周期性、特殊的点与线（如渐近线）等方面着手．据此，请回答以下问题：（ⅰ）试探究函数的性质并说明理由；（ⅱ）根据（ⅰ）中结论作出的草图；(2)若，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）作图见解析(2)【知识点】画出具体函数图象、函数奇偶性的定义与判断、利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性【分析】（1）利用定义法来研究函数的各个性质，最后可作出草图；（2）利用复合函数思想由内到外研究函数值域，最后化归到含参二次不等式恒成立，即可求解.【详解】（1）①定义域：的定义域为R．②值域：因为，，，所以，故的值域为．③奇偶性：，，，所以为奇函数．④单调性：，且，则，所以，即，所以为增函数．⑤当时，，；当时，，．所以直线为图象的渐近线．综合上述讨论，可作出的草图如下：

（2）当时，，

由（1）知，为增函数，所以，

由（1）知的值域为，故的取值范围为

所以，都有，等价于对于都成立，

记，则或

解得，综上，的取值范围是．31．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数(1)当时，证明:为奇函数;(2)当时，函数在上的值域为求a的取值范围：(3)当时，证明:为中心对称函数.【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【知识点】指数幂的化简、求值、判断或证明函数的对称性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的最值求参数【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明；（2）先应用单调性得出相等关系，在结合值域的求法得出参数范围；（3）应用函数对称中心定义证明函数中心对称.【详解】（1）因为，所以，由，得函数的定义域为，又，所以函数为定义域上的奇函数.（2）当时，，是单调增函数，在上的值域为，所以则是的两个解，可得，设，在和单调递减，单调递增，其中，在上值域，在上值域且取该区间最大值，综上，数形结合易得.（3）当时，，.所以fx关于中心对称.【点睛】方法点睛：应用函数对称中心定义证明函数中心对称，根据奇函数定义证明函数是奇函数.32．（23-24高一下·河南·期末）已知函数，（，，）的部分图象如图所示：(1)求的解析式；(2)求的单调递增区间；(3)若函数在上至少有2个零点，求的最小值.【答案】(1)(2)，.(3)【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性【分析】（1）根据正弦型函数的特点，结合正弦型函数中各参数的意义进行求解即可；（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可；（3）由题意可知，函数在上至少有两个零点，由，可得，只需要满足，计算求解即可.【详解】（1）由图象可知，解得，又由于，所以，由，得，又，所以，所以.（2）由（1）知，，令，，得，，所以的单调递增区间为，.（3）函数在上至少有2个零点，即函数在上至少有两个零点，因为时，，所以，解得，所以的最小值为.33．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知函数的最小正周期．(1)求函数的单调递增区间；(2)当时，讨论方程根的个数．【答案】(1)；(2)答案见解析.【知识点】求含cosx的函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、三角恒等变换的化简问题、求函数零点或方程根的个数【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，求出，进而求出单调递增区间.（2）探讨函数在上的性质，分离参数，利用数形结合法求出直线与函数在上的图象交点情况即可.【详解】（1）依题意，，由，，得，，由，解得，所以函数的单调递增区间为.（2）当时，，余弦函数在上单调递减，在上单调递增，则函数在上单调递减，函数值从1减小到；在上单调递增，函数值从增大到0，方程，因此方程的根即直线与函数在上的图象交点的横坐标，在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，观察图象知，当或，即或时，直线与函数在上的图象无交点；当或，即或时，直线与函数在上的图象有1个交点；当，即时，直线与函数在上的图象有2个交点，所以当或时，方程根的个数为0；当或时，方程根的个数为1；当时，方程根的个数为2.34．（23-24高一上·天津·期末）已知函数.(1)求函数的最小正周期及单调递减区间；(2)求函数在上的最值；(3)若，求的值.【答案】(1)，单调减区间为.(2)，(3)【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性【分析】（1）化简函数为，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由(1)得出函数的单调递增区间，结合，和的值，即可求解；（3）根据题意，求得，结合，即可求解.【详解】（1）解：由函数，所以的最小正周期为，令，可得，所以的单调减区间为.（2）解：由(1)知，函数的单调递增区间为，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，且，，，所以，.（3）解：由函数，可得，因为，所以.35．（23-24高一上·安徽·期末）已知，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．(1)求(2)设函数，求的最小正周期．【答案】(1)(2)π【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、求正弦（型）函数的最小正周期、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值【分析】（1）根据题意求出和的值，再根据两角和与差的正弦公式计算即可；（2）化简，然后根据周期公式求出的最小正周期.【详解】（1）,,的终边经过点,由三角函数的定义可知，.（2），又由(1)可知,所以，.所以的最小正周期为π.36．（24-25高一下·全国·期末）设．(1)当时，求的最大值和最小值；(2)已知，且当时，求的值．【答案】(1)最大值为，最小值为(2)【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题【分析】（1）利用二倍角公式结合辅助角公式化简三角函数，再利用性质求解最值即可.（2）利用二倍角公式结合三角恒等变换求解即可.【详解】（1）．当时，，所以当，即时，取得最大值，为，当，即时，取得最小值，为．（2）因为，所以，化简可得，两边平方得，所以．又，所以，，．又，所以，，所以．37．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数fx=Asinωx+φ（，，

(1)求函数的解析式；(2)写出函数的单调递增区间；(3)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域．【答案】(1)(2)(3)【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性【分析】（1）由三角函数的图象，利用五点法求得函数的解析式；（2）由（1）可得：，结合三角函数的性质，即可求解.（3）由三角函数的图象变换，可得，结合正弦函数的有界性即可求解.【详解】（1）由图象可知：，最小正周期，且，可得，所以，由图可求出最低点的坐标为，可得，则，解得，且，可得，所以.（2）由（1）可得：，令，解得，所以函数的单调递增区间为.（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到；再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到，因为，则，可得，即，所以在区间上的值域为.38．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知fx=2sinx+φφ∈(1)求的值：(2)若当时方程fx+m=0有唯一实根，求的范围.(3)已知gx=2sinx+φ2，若对任意【答案】(1)(2)m∈(3)a<43【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、利用正弦函数的对称性求参数、求sinx型三角函数的单调性【分析】（1）由已知条件可得的图象关于直线对称，则π6+φ=π2+k（2）令，则t∈π3,4π3，由的单调性，将问题转化为与的图象有一个交点，结合图象从而可求出的范围；（3）由g(−x)=−2sin(x−π6)，[f(x)]2=4−4sin2(x−π【详解】（1）对任意x∈R都有f(π3−x)=f(x)，则函数的图象关于直线所以π6+φ=π2+kπ,k∈（2）f(x)=2sin(x+π3)在t∈π3,π所以方程fx等价于与的图象有一个交点，由图象可知−3<−m≤3所以−3≤m<3所以的范围是m∈−3

（3）由（1）知，g(x)=2sin(x+πf(x)=2sin(x+π当x∈[π6,π]时，x−π显然g(−x)=−2t,[f(x)]不等式ag(−x)−f依题意，∀t∈[0,1]，不等式a<显然t+1∈[1,2]，2≥22(t+1)⋅6t+1−4=43则a<43−4，所以实数的取值范围是a<439．（23-24高一下·贵州安顺·期末）如图，圆的圆心在坐标原点，半径为，动点从处开始在圆上按逆时针方向以的角速度作匀速圆周运动，则秒之后，点的纵坐标可以表示为．

(1)写出和的值；(2)若函数在上恰有两个零点，求的取值范围；(3)若函数的最小正周期为，求在上的值域．【答案】(1)，；(2)；(3).【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、已知三角函数值求角、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式【分析】（1）根据给定条件，求出A，进而求出值.（2）利用正弦函数的性质，结合零点个数列出不等式求解即得.（3）求出函数，利用三角恒等变换，结合正弦函数性质求出值域.【详解】（1）依题意，，由，得，即，而，所以.（2）由（1）知，，当时，，由函数在上恰有两个零点，得，解得，所以的取值范围是.（3）由（1）知，，即，，当时，，则，所以的取值范围是.40．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形.记.(1)用分别表示的长度：(2)当为何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.【答案】(1)，；(2)时，.【知识点】三角函数定义的其他应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、几何中的三角函数模型、三角恒等变换的化简问题【分析】（1）分别在中，根据三角函数定义可得；（2）根据（1）中结论表示出面积，利用三角恒等变换公式化简，然后由正弦函数性质可得.【详解】（1）在直角三角形中，，，在直角三角形中，，所以，所以（2）设矩形的面积为，所以，因为，所以所以当，即时，41．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)关于x的方程在区间有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；(3)不等式对恒成立，求实数x的取值范围．【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为，．(2)(3)【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、求sinx型三角函数的单调性【分析】（1）先化简，再根据正弦函数的单调性求解；（2）根据函数两个不相等的实数根，结合正弦单调性及值域求参；（3）把恒成立问题转化为解三角不等式即可.【详解】（1）令，解得，令，解得，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，．（2）由（1）知函数在区间单调递增，在区间单调递减，又，，，结合图象可知a的取值范围是．（3）即不等式对恒成立，有，所以或解得，或故x的取值范围是．42．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知函数，且.(1)求函数的解析式；(2)求函数的最小正周期和单调递增区间；(3)若函数在区间上恰有3个零点，求a的取值范围和的值.【答案】(1)(2)，(3)【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、根据函数零点的个数求参数范围【分析】（1）利用三角恒等变换化简求得，由已知可得的图像关于点对称得出，即得函数解析式；（2）由公式可求得的最小正周期，利用正弦函数的单调性，列出不等式求解，即可得出单调递增区间；（3）在区间上恰有3个零点转化为与在的图像上恰有3个交点求参数即可，再数形结合根据函数的对称轴即可计算求值.【详解】（1）由知，的图像关于点对称，所以，，得，.因为，所以，即函数.（2）因为，所以由，得，所以函数的单调递增区间是，.（3），当时，.函数在区间上恰有3个零点，令，则在上有3个不相等的根.即与在的图像上恰有3个交点，作出与的图像，如图所示，由图可知，，且，所以.故a的取值范围为，的值为.43．（24-25高一上·浙江温州·期中）对于给定的非空集合M，定义集合，，当时，则称具有“对称性”，而，称为的对称集合．(1)试判断集合，是否具有“对称性”，如果有，求出其对称集合；如果没有，请说明理由(2)若集合，且集合具有"对称性"，求的最小值．(3)已知，且，记，若集合B具有“对称性”，求m的最小值．【答案】(1)有，，；(2)；(3)．【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、集合新定义【分析】（1）利用集合的“对称性”定义判断集合的对称性，有对称性的，可求得对称集合；（2）先根据集合的“对称性”定义求出中的元素，比较元素大小，即得的范围，继而求得的最小值；（3）先根据集合的“对称性”定义求出中的元素，比较元素大小，即得的范围，继而求得的最小值.【详解】（1）对于集合，，，，所以具有“对称”性质，且对称集合为，；对于集合，，，，所以不具有对称性．（2）因，故或，于是2、3、4、、、，0、1、、，因为，所以，，又，．（3），因为，所以，解得，又，故．【点睛】方法点睛：本题考查学生的创新能力，理解新定义并运用是解题关键，本题实质就是根据新定义求出两个集合和，然后由它们的交集是否为空集确定结论．44．（24-25高一上·安徽·期中）对于非空的有限整数集，定义，．(1)若集合，求和．(2)已知，为非空的有限整数集，且．（ⅰ）若，求集合；（ⅱ）证明：．【答案】(1)；.(2)（ⅰ）或；（ⅱ）证明见解析.【知识点】集合新定义【分析】（1）根据题意，由集合新定义代入计算，即可得到结果；（2）（ⅰ）根据题意，由集合新定义可得，从而可得，即可得到结果；（ⅱ）结合新定义可得，则，然后分别考虑属于时的情况，再考虑，时，由是有限集即可舍去，从而证明.【详解】（1）由题意可得，.（2）（ⅰ）设，则，因为，所以，所以，即，因此，因为，所以，所以，由此可知中至少有和两个元素，所以，故或.（ⅱ）设，因为，所以，又因为，所以，即，若，则，故可以是；若，则，故可以是，；若，则，故可以是，；若，则，像这样可以得到无限个中的元素，不符合是有限集；若，则，同样不符合是有限集；同理可得，当或时，也不符合是有限集；综上，可以是，，，，，均满足.【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于从新情境中获取信息，搭建相关的集合知识网络，将其运用到新情境中，从而求解.45．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设数集A由实数构成，且满足：若且，则.(1)若，试证明A中还有另外两个元素；(2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由；(3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A.（提示：）【答案】(1)证明见解析；(2)不是，理由见解析；(3)【知识点】判断元素与集合的关系、根据集合中元素的个数求参数、利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义【分析】（1）根据集合的性质代入3计算可得集合中还含有两个元素；（2）根据集合中元素的互异性，易证明集合中至少含有三个元素；（3）利用（2）中的结论可知集合中的元素个数需为3的倍数，再由元素个数不超过8个以及所有元素的积可确定A中的元素个数必为6个，再由所有元素的和为即可得出结论.【详解】（1）证明：根据题意若，则，若，则，若，则，因此可得集合，即可知集合中除了含有3之外，还含有两个元素.（2）由且，可得，由可得，由可得，且，易知方程均无解；所以；即可得集合中至少含有3个元素，所以集合A不可能为只含有两个元素的集合.（3）由（2）可知，若，则，易知集合中的元素个数需为3的倍数，若A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，由可知集合A中不可能只有3个元素，则集合A中的元素个数必为6个；因此6个元素的积必为1，不妨取，解得或(舍)；可知，又所有元素的和为，不妨设，根据提供解析式可解得或或,所以.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据集合A中的元素性质，证明得出集合A中的元素个数必是3的倍数，再由元素个数以及所有元素的和及其积的性质计算即可得出集合A.46．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知二次函数满足：有两个实数根.(1)若，求实数的取值范围;(2)若，记在时的最小值为，求的表达式;(3)若与都是整数且，求的值.【答案】(1)或；(2)；(3)时，，，时，，．【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系【分析】（1）由判别式大于0可得；（2）由已知求得，先分，然后考察对称轴与区间端点的远近，从而得最小值；（3）求出方程的解，然后根据解是整数，得出或，代入求得．【详解】（1）由已知有两个不等实根，所以，解得或；（2）由，可知，又，故，显然，所以，当时，的图象是开口向上的抛物线，当时，，，当时，，当时，的图象是开口向下的抛物线，时，，，时，，，所以；（3）由题意，，由得，又方程的解都是整数，则或2，，即时，，，，即时，，．综上，时，，，时，，．【点睛】结论点睛：二次函数在区间的最值，（1）时，，；（2），时，，；（3），时，，；（4）时，，，类似讨论可得．47．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心．(1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值；(2)判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由；(3)若函数的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形，理由见解析(3)【知识点】判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用、函数新定义【分析】（1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可；（2）根据反证法，以及“弱对称中心图形”定义即可证明；（3）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解.【详解】（1）由，解得．当时，，对于任意的，都有，所以函数的图象是关于点的中心对称图形，故．（2）函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形．理由如下：假设，使得，解得，与矛盾，所以函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形；（3）由题意可知，存在，且，使得，当时，，则，所以，又知对勾函数在上单调递增，所以，所以；当时，，则不成立；当时，，则，，令，则在上单调递增，所以，所以．综上可知，实数的取值范围为．48．（24-25高一上·山东泰安·期中）定义在上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．(1)已知函数．①若函数为奇函数，求实数的值；②若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由．(2)已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围．【答案】(1)①；②存在，(2)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求参数、函数新定义【分析】（1）①由为奇函数，得f−x=−fx，化简变形后可求出的值；②先对变形，然后根据其单调性结合有界函数的定义分析判断；（2）由在上恒成立，可得在上恒成立，则，然后构造函数利用函数的单调性可求得结果.【详解】（1）①由f−x=−f所以，化简得，所以，即．②，∵，∴在上递增，∴，∴，∴，∵，∴，所以，∴存在上界，的范围是．（2）由题意可知在上恒成立，，即，∴在上恒成立，∴．设，由，得．∵和在上递减，∴在上单调递减，任取，且，则，∵，且，∴，∴，∴在上是单调递增，∴在上，．所以实数的取值范围是．【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.49．（24-25高一上·福建漳州·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数.(1)写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）;(2)当时，①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明;②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)①函数在区间上单调递增，证明见解析；②[0，1].【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数对称性的应用、函数不等式能成立（有解）问题【分析】（1）由函数成中心对称的充要条件可得为奇函数，可得对称中心；（2）①根据单调性定义按照步骤即可证明函数在区间上单调递增；②依题意并根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果.【详解】（1）根据题意可知，函数是由函数向左平移个单位，向上平移1个单位得到的；所以为奇函数，可得函数图象的对称中心是.（2）当时，.①函数在区间上单调递增；证明如下:，且，，因为，所以，所以，所以，即.所以在单调递增，②因为是奇函数，所以关于点对称，设在上的值域为在上的值域为B.因为对任意，总存在，使得，所以，由①可知在上单调递增，又，所以，又，当时，在上单调递增，又关于点对称，所以函数在也单调递增，故在上单调递增，又因为，故，因为，所以，得，又，所以此时不存在.当时，在单调递减，在单调递增，又的对称中心为，所以在单调递增，在单调递减，所以，要使，只需，且，解得，又所以，当时，在单调递减，所以在单调递减，所以在单调递减，所以，所以，所以，又，所以此时不存在，综上：，即的范围是.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果.50．（24-25高一上·上海·期中）设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间．(1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由；(2)若（，、、）是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围；(3)若是上的“含峰函数”，求的取值范围．【答案】(1)是，峰点为(2)(3)【知识点】根据函数的单调性求参数值、利用函数单调性求最值或值域、函数新定义【分析】（1）以一元二次函数的单调性进行判断即可解决；（2）先满足单调性要求，再满足值域的要求，逐步递进即可解决；（3）在按参数t分类讨论时要注意不重不漏的原则，逐步求得t的取值范围.【详解】（1）函数的图像是开口向下，对称轴为的抛物线，则在区间0,2上是严格增函数，在区间2,4上是严格减函数，故y=fx是0,4上的“含峰函数”，峰点为.（2）记函数，，，则在区间[m，2]上是严格增函数，在区间上是严格减函数，则，且有，得到，则，当时，y=fx的最小值为，则，又，故，当时，y=fx的最小值为，解得，综上，实数的取值范围是.（3）记，设任意，且，则当时，由，且，可知，，则，即，则为上严格减函数，不符合题目要求；当时，由，且，可知，，则，即则为上严格增函数，不符合题目要求；当时，设任意，且，此时，，则，即，为上严格增函数；设任意，且，此时，则，即，为上严格减函数；故是上峰点为的“含峰函数”.综上，t的取值范围为.【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.51．（24-25高二上·浙江温州·期中）定义：对函数和，，若对任意，且，均有，则称“函数与具有类性质”.(1)判断与是否具有类性质，并说明理由；(2)已知，①若与具有类性质，求的取值范围；②若与具有类性质，且，证明：对任意，.【答案】(1)与具有2类性质，理由见解析(2)①；②证明见解析【知识点】函数新定义【分析】（1）利用定义证明函数具有2类性质；（2）①根据1类性质定义，将问题转化成证明，，化简为，由函数单调性及基本不等式可求出的范围；②由题意，在上恒成立，结合单调性及即可证明.【详解】（1）与具有2类性质，理由如下：要证明与具有2类性质，即验证不等式：，化简，得：，两侧同时除以，得：，由于，所以，故不等式成立，所以函数与具有2类性质.（2）①与具有1类性质，故，化简，得：，两侧同时除以，得：，解得：，因为与在上单调递减，所以（时取等号，故无法取等）又，等号成立条件无法取得，故（时取等号，故无法取等）故.②因为与具有2类性质，所以对，，当时，则，当时，由于在单调递增，不妨设，因为，故，综上所述，，.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解函数的类性质，将问题转化成不等式证明.52．（24-25高一上·四川泸州·期中）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数.(1)用定义证明函数在上是增函数；(2)证明函数的图象关于点对称；(3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得成立，求负数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、判断或证明函数的对称性、根据指数函数的最值求参数【分析】（1）任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；（2）令，利用函数奇偶性的定义证明出函数hx为奇函数即可；（3）由题意可知函数的值域是值域的子集，由（2）易得的值域，分析函数在0,1上的单调性，并其值域，根据集合的包含关系可得出关于的不等式组，解之即可.【详解】（1）因为，任取、且，则，所以，，即，故函数在R上是增函数.（2）令，该函数的定义域为R，，故函数为奇函数，所以，函数的图象关于点12,1对称.（3）由题意可知，函数在上的值域为函数在上的值域的子集，因为函数在上单调递增，则，，所以，函数在上的值域为，于是原问题转化为函数在上的值域包含，因为，则，函数在0,1上单调递增，则当时，，，则，因为函数的图象关于点0,2对称，所以，，由题意可得，解得.所以，负实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义得出结论.即取值作差变形定号下结论.53．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数.(1)若，求在区间上的值域；(2)若方程有实根，求实数m的取值范围；(3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【知识点】求二次函数的值域或最值、判断指数型复合函数的单调性、一元二次方程根的分布问题、根据二次函数的最值或值域求参数【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解；（2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解；（3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解.【详解】（1）当时，，令，因为，所以，所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增，当时，有最小值，当时，有最大值，所以.所以时，在区间上的值域为.（2）由（1）知当令，，，则，即有实数根，此时实数根大于零，所以可得，解得：.所以方程有实根，实数m的取值范围为.（3）由题意得，若对任意的，总存在，使得，可得,由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数，所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增，所以当时，有最小值，由（2）知当令，，，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为函数在时均单调递增，所以函数在时单调递增，所以，所以，.【点睛】关键点点睛：（1）主要利用换元后转化为一般的二次函数在具体区间求最值问题；（2）中转化为二次函数根的分布问题来求出相应的不等式组，即可求解；（3）中由题可得,再结合指数型复合函数求出，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题.54．（24-25高一上·河南·期中）已知函数.(1)当时，求的值域.(2)若在上单调递增，求实数的取值范围.(3)若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求指数型复合函数的值域、由指数（型）的单调性求参数、函数新定义【分析】（1）根据题意，由换元法结合二次函数值域，即可得到结果；（2）根据题意，分，，讨论，结合条件，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由局部对称点的定义，结合函数的单调性，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）当时，，令，则，，所以的值域为；（2）令，，则，，因为在上单调递增，所以要使在上单调递增，只需在上单调递增，①当时，在上单调递减，不符合题意；②当时，的图象开口向下，不符合题意；③当时，则需，解得，所以实数的取值范围是；（3）由是的图象的局部对称点，可得，，代入整理得，①令，则，，代入①式得，，当时，函数和均单调递增，所以在上单调递增，所以，所以，所以实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：形如二次函数、指数函数结合的问题，无论是单调性还是值域（最值），都可以考虑利用换元法，再结合二次函数的性质来进行求解；研究含参数的二次函数的性质，关键点是对参数进行分类讨论，结合二次函数的开口方向、单调性、值域等知识可将问题解决.55．（24-25高一上·浙江温州·期中）设，对一般的函数，定义集合所含元素个数为的“等值点数”，记为.现已知函数，，常数.(1)求的最大值；(2)对函数，当时，，求的取值范围；(3)设函数，若的最大值为3，求的取值范围.【答案】(1)3(2)(3)【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数【分析】（1）通过和两类情况讨论，借助一元二次方程根的分布即可求解；（2）参变分离结合对勾函数图像即可求解；（3）通过，，，，五种情况讨论即可.【详解】（1）当时，单调递增，此时；当时，，设，则，在时，单调递减，在时，单调递增，故当时，单调递增，，当时，单调递减，，因此关于的根的分布如下：①当时，恰有一个根；②当，恰有两根，，；③当，恰有3个根，，，④当时，恰有2个根；⑤当时，恰有1个根.故当时，取到最大值3.（2）即当时，有1个解，参变分离得：，由函数的图像，

可得：（3）设，则，其中的根的分布同（1），接下来解方程注意，①当时，在上单调递增，且，故，不符合题意；②当时，在上单调递减，且，故，不符合题意；③当时，，在上单调递减，上单调递增，，故，不符合题意；④当时，在时单调递减，在上单调递增，且，，此时取，则的三个根恰一一对应的三个根，且没有其他根，故此时，而对的其它取值，，故的最大值为3；⑤当时，在上单调递增，，，故只需保证当时，的三个根落在的值域中，即，解得：，符合题意；综上所述，当且仅当时，的最大值为3.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题求解.56．（24-25高一上·重庆·期中）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域为，且在上是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数是自然对数的底数，）(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；(2)试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；(3)关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)增函数，证明见解析(3)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、指数函数最值与不等式的综合问题、根据函数的单调性解不等式【分析】（1）由函数奇偶性的定义可得出，与联立方程组，即可解出、的解析式；（2）判断出函数在上为增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；（3）分析函数的单调性与奇偶性，可将所求不等式变形为，令，可得出对任意的恒成立，令，其中，对实数的取值进行分类讨论，根据可求得实数的取值范围.【详解】（1）因为函数为上的奇函数，为上的偶函数，且，所以，即，解得，，因为函数，均为上的增函数，故函数为上的增函数，合乎题意.（2）函数在上为增函数，证明如下：任取、且，则，，所以，，即，所以，函数在上为增函数.（3）因为，该函数的定义域为，，故函数为奇函数，又因为，因为内层函数在上为增函数，且，外层函数在上为增函数，所以函数在上为增函数，由，所以，即，即，因为函数在上是增函数，令，则函数在上是增函数，当时，，且，则，于是有，即对任意的恒成立，令，其中，当时，即当时，函数在上单调递增，则，解得，此时，；当时，即当时，只需，解得，此时，；当时，即当时，函数在上单调递减，则，解得，此时，.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义得出结论.即取值作差变形定号下结论.57．（24-25高一上·上海松江·期中）已知函数(1)当时，解不等式：；(2)当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；(3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，使得结论成立，理由见解析【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、基本不等式求和的最小值、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题【分析】（1）变形得到，利用对数函数的单调性、定义域求解出不等式解集；（2）利用换元法，可化为在0,+∞上恒成立，参变分离，结合基本不等式求解；（3）先由定义域得到，研究在上的单调性，得到在上的最大值必在端点处产生，从而得到不等式组，无解，故不存在，使得结论成立．【详解】（1）由已知得，即，因为是增函数，所以，解得，所以原不等式的解集为；（2）由题意令，因为，所以，所以不等式在上恒成立，可化为在0,+∞上恒成立，分离参数得，因为，当且仅当时取等号，则要使原式恒成立，只需即可，即实数的取值范围为；（3）首先要使函数在上有意义，需，所以，易知函数在上的最大值必在端点处产生，故只需，或，由①得或4，由②得，故无解，舍去；由④得或，由③得，故无解，舍去；综上可知，不存在a使结论成立．【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为：第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解.第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.58．（24-25高一上·上海·期中）设常数，，.(1)已知y=fx的图象过点求实数的值；(2)当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；(3)若方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【知识点】求对数函数的解析式、利用不等式求值或取值范围、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【分析】（1）把点的坐标代入解析式，求出值即可；（2）将，代入解析式，得，利用换元法结合二次函数的单调性求出函数的最小值，根据已知条件有，即可求解；（3）利用换底公式化方程为，利用换元法及韦达定理得，根据解出的范围即可.【详解】（1）因为图象过点，所以，所以，解得.（2）当时，，因为，所以，令，则有，，函数的对称轴为，所以，，所以，因为对任意，都有恒成立，所以，所以，即实数的取值范围为：.（3）因为，则，化为，整理有：，因为，所以，所以原式可化为：，令，则有，，所以方程有两个根，设为、，且，，所以，，，又因为，所以，因为，所以，所以，即，，，，，，又因为，所以.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换底公式以及换元法得到：，然后利用解出的范围.59．（24-25高一上·浙江·期中）当一个函数有如下性质：若在区间上有意义且该区间为的单调区间，并且此时的值域为，当时，我们就称函数为区间上的“神奇函数”．请回答下列问题：(1)当时，是否是区间上的“神奇函数”？若是，请证明；若不是，请说明原因；(2)当函数为区间上的“神奇函数”，求的最小值和的最大值；(3)当时，存在区间，使得函数为区间上的“神奇函数”，求的取值范围．【答案】(1)是，理由见解析(2)的最小值为，的最大值为(3)【知识点】求已知指数型函数的最值、函数新定义【分析】（1）分析函数在区间上的单调性，并求出该函数的值域，结合“神奇函数”的定义判断即可；（2）分、两种情况讨论，分析函数在区间的单调性，并求出其值域，根据“神奇函数”的定义可得出关于、所满足的等式，进而可求得结果；（3）分两种情况讨论，函数在区间上为增函数、减函数，求出函数在区间上的最大值和最小值，结合“神奇函数”的定义可得出关于、的等式，即可求得实数的取值范围.【详解】（1）因为函数在区间上为增函数，则，，所以，函数在区间上的值域为，因为，所以，函数是区间上的“神奇函数”.（2）因为函数的增区间为，减区间为，因为函数为区间上的“神奇函数”，则或，先考虑的最大值，则，当时，函数在上为增函数，则，，所以，函数在上的值域为，根据“神奇函数”的定义可得，即，因为，所以，，因为，则，所以，的最大值为；接下来考虑的最小值，则，当时，，则函数在上为减函数，则，，所以，函数在上的值域为，根据“神奇函数”的定义可得，即，因为，则，可得，所以，的最小值为.综上所述，当函数为区间上的“神奇函数”，的最小值为，的最大值为.（3）因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因为存在区间，使得函数为区间上的“神奇函数”，分以下两种情况讨论：当时，即当时，函数在区间上单调递增，则，，根据“神奇函数”的定义可得，即，因为，则，则，因为，则；当时，即当时，函数在区间上单调递减，则，，根据“神奇函数”的定义可得，即，则，可得，因为，则，此时，.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：解本题第（3）问的关键就是对函数在区间的单调性进行分类讨论，结合“神奇函数”的定义构建等式求解.60．（24-25高一上·湖南·期中）给定区间，若对任意的，恒有函数或恒有函数，则称为上的“函数”．(1)判断是否为区间上的“函数”；(2)若是区间上的“函数”，求的取值范围；(3)若的定义域为，且在上单调递减，且图象是连续不断的曲线，求证：存在区间，使得是区间上的“函数”．【答案】(1)不是(2)(3)证明见解析【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、利用函数单调性求最值或值域、函数新定义【分析】（1）求函数在区间的值域，根据区间与值域的关系判断可得；（2）利用换元法将复合函数的值域转化为二次函数的值域，再根据定义得到包含关系或交集为空集，由此建立不等式求