专题03 基本不等式（期末压轴专项训练20题）（解析版）-25学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版必修一）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题03基本不等式（期末压轴专项训练20题）一、单选题1．若，且，则的最小值为（

）．A． B． C． D．【答案】D【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由题意可得，可得，由基本不等式可得．【详解】，且，，即，当且仅当即且时取等号，故选：D2．设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（

）A． B．3 C．8 D．9【答案】B【知识点】利用不等式求值或取值范围、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式的“1“的妙用求出最小值.【详解】由，得，于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为3.故选：B3．已知，，直线和垂直，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】基本不等式求和的最小值、已知直线垂直求参数【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式，求得的最小值．【详解】，，直线，，且，，即．则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为8，故选：B．4．已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】因为，，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为，故选：C5．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可.【详解】因为，，且，则，所以，当且仅当时，即当，时，所以的最小值为，因为恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：B.6．已知正数满足，则的最小值是（

）A． B．6 C． D．【答案】D【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值.【详解】由可得，因，则，于是，因，当且仅当时等号成立，即，时，的最小值为.故选：D.7．已知，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】由题意知，然后根据基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：A.8．已知，且，则的最小值为（

）A．4 B．5 C． D．【答案】D【知识点】基本不等式求积的最大值、对勾函数求最值【分析】首先利用条件变形为，再利用基本不等式求的取值范围，再构造函数，利用函数的单调性，即可求解.【详解】，，因为，且，所以，设，，函数在区间单调递减，所以函数的最小值为.故选：D二、多选题9．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（

）A．的最小值为2 B．的最大值为C．的最大值为6 D．的最小值为【答案】ABD【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根据题意利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断即可.【详解】因为，且，对于选项A：因为，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2，故A正确；对于选项B：因为，可得，即当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为6，故C错误；对于选项D：，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故D正确；故选：ABD.10．已知，，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、基本不等式求和的最小值【分析】由基本不等式判断AB选项，由不等式的基本性质判断CD选项.【详解】当且仅当时取等号，A选项正确；当且仅当时取等号，B选项错误；∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C选项正确；∵，∴，∴，D选项正确.故选：ACD.11．已知，为正实数，且，则（

）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】AD【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】选项A，对条件进行变形得，从而得到，再利用基本不等式，即可求解；选项B，根据条件，直接利用基本不等式，即可求解；选项C，根据条件，利用基本不等式得到，解不等式，即可求解；选项D，利用，得到，再利用基本不等式，即可求解.【详解】对于选项A，由，得，所以，当且仅当，即时取等号，所以选项A正确，对于选项B，因为，所以，当且仅当时取等号，此时取得最小值，所以选项B错误，对于选项C，因为，当且仅当，即时取等号，又，解不等式得，即，得到的最大值为，所以选项C错误，对于选项D，由选项A知，所以，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，所以选项D正确，故选：AD.三、填空题12．设且，则的最小值为．【答案】/【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值【分析】根据已知条件得出，再应用基本不等式求出最小值即可.【详解】因为，所以，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故答案为：1213．已知正实数满足，则的最大值为.【答案】【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值【分析】将代入可得，再由基本不等式求解即可.【详解】解：因为，所以.又，所以，当且仅当时，等号成立，则的最大值为.故答案为：14．已知，且，则的最小值为．【答案】【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根据分母特点，将化为，将化为.然后用基本不等式即可.【详解】由于，因此，则，当且仅当时取等号．故答案为：.15．已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为.【答案】【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】先根据对数型函数的特点求得定点坐标，代入直线方程得，运用常值代换法即可求得结论.【详解】令时，可得，可知函数，且的图象恒过定点，因为定点在直线上，可得，且，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题16．已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本）(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；(2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.【答案】(1)(2)9千件【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、利润最大问题、基本不等式求和的最小值【分析】（1）分段利用“年利润年销售收入年总成本”可得所求函数的解析式.（2）分段求函数的最大值，进行比较可得结论.【详解】（1）当时，；当时，.综上：.（2）当时，，.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减，所以.当时，.因为，当且仅当即时取“”.此时.因为.所以当年产量为千件时，年利润最大.17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且.(1)求的值，并求出的解析式；(2)若在上恒成立，求的取值范围.【答案】(1)，(2)【知识点】由奇偶性求函数解析式、指数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得，再由偶函数定义可得其解析式；（2）将不等式恒成立转化为求恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围.【详解】（1）因为是偶函数，所以，解得，当时，可得，所以，所以函数的解析式为（2）由（1）知，当时，，因为在上恒成立，所以，又因为，当且仅当时，即时等号成立，所以，即的取值范围是.18．师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）.(1)求的函数关系式；(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?【答案】(1)(2)当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用、分段函数的值域或最值【分析】（1）由题意可知：，结合题意代入运算即可；（2）分和，结合二次函数和基本不等式求最大值.【详解】（1）由题意可知：.（2）由（1）可知：，若，则，可知其图象开口向上，对称轴为，此时的最大值为；若，则，当且仅当，即时，等号成立，此时的最大值为；又因为，可知的最大值为，所以当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元.19．已知均不等于1的正数满足且且1，且.(1)若，求的最小值；(2)当时，求的最大值；(3)若的最小值为，求的值.【答案】(1)8(2)16(3)【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】（1）当时，，然后利用基本不等式可求出的最小值；（2）由已知得，结合基本不等式可求出的最大值；（3）由已知得，则，所以，化简后利用基本不等式可求得答案.【详解】（1）当时，，，当且仅当时取等号，的最小值为8.（2）由已知，，，当且仅当时取等号，的最大值为16.（3）由（2）知，则，，当且仅当时取等号.因为的最小值为，所以，则，解得，20．某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为米、长为米的长方形展牌，其中，其面积为平方米.(1)求关于的函数解析式，并求出的取值范围；(2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值.【答案】(1)，；(2)