2024年北京市东城区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

2024年北京市东城区中考数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（）

◎<9目

2.2024年2月29日,在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》中,

2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万公顷.将数字1330co0用科学记数法表示

应为（）

A.1.33x107B.13.3x105C.1.33x106D.0.13x107

3.在平面直角坐标系xOy中，点4（0,2）,8（一：,0）,C（2,0）为。人BC。的顶点，则顶点。的坐标为（）

A.（-3,2）B.（2,2）C.（3,2）D.（2,3）

4.若实数”，5在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（）

-2a-10~C2^

A.|a|<\b\B.a+l<d+l

C.a2<b2D.a>-b

5.在平面直角坐标系xOy中，点P（l,2）在反比例函数y=g（"是常数，kHO）的图象上.下列各点中，在该

反比例函数图象上的是（）

A.(-2,0)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,-2)

6.如图.AB是O。的弦，CD是。。的直径，CD1/18于点£在下列结论中，不一定成立的是（）

B.LC13D=90"

C.=2zDD.Z.COB="

7.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3.随机摸出一个小球后放回，摇

匀后再防机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（）

A』B*C,1D.1

8.2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目一一甘肃省阿克塞汇东新能源“光热+光伏”试点项

目，一万多而定日镜（如图1）全部安装完成.该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时.该项目采用塔式

聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面

积约为48m2,则该正五边形的边长大约是（）

（结果保留•位小数，参考数据：tan360右0.7,tan54°»1.4,/42»6.5,/7T»4.6）

图2

A.5.2;r;B.4.8?nC.3.7mD.2.6m

二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.若二次根式＞有一意义，则实数x的取值范围是

10.因式分解：2xy2-18x=_______.

11.方程;=刍的解为________.

12.若关于x的•元二次方程/—2x+m=0有两个不相等的实数根，则，〃的取值范围是—.

13.为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：时），随机抽取750名学生进行调

查,结果如表所示：

锻炼时句X/时5<x<66<x<77<x<8x>8

学生人数1016195

以此估才该校初三年级500名学牛.一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有人.

14.在砒△48。中，乙4=90♦，点。在AC上，DE1BC于点E,且DE=DA,连接。8.若，C=20°,则

Z.DBE的度数为_________。.

A

BC

E

15.阅读材料:

如图，已知直线/及直线/外一点P.

按如卜步骤作图：

①在直战/上任取两点人，氏作射线八P,以点尸为圆心，尸八长为半径画弧，交射线八P于点C：

②连接BC,分别以点8,C为圆心，大于^BC的长为半径画弧，两弧分别交于点M,N,作直线MM交

8c于点Q：

③作直线PQ.

回答问题：

(1)由步骤②得到的宜线MN是线段8c的__________；

(2)若ACPQ与△CA8的面积分别为&,S2,则&：$2=•

16.简单多面体的顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式.

(1)四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如表:

名称图形顶点数(，)面数(F)棱数(E)

三棱锥4446

/4/

长方体8612

_L-/

五棱杜*10715

___/_

正八面体令6812

在简单多面体中，V,F,E之间的数量关系是

(2)数学节期间，老师布苦了让同学们自制手工艺品进行展示的任第，小张同学计划侬一个如图所示的简

单多面沐作品.该多面体满足以卜.两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三

角形和正五边形的公共边.

小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共一个.

◎

三、计算题：本大题共2小题，共10分。

17.计算：V48-2cos30°+(JT-1)°-|-2|.

(X+2<6

18.解不等式组：Sx+l1、x-6.

四、解答题：本题共10小题，共S8分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题5分)

已知2x7-9=。，求代数式昌施的曲

20.(本小题5分)

如图，科边形A3C及是菱形.延长加到点E,使得力E=/1B,延长D4到点“，使得4/=4。，连接

BD,DE,EF,FB.

(1)求证：四边形8OEF是矩形：

(2)若HDC=120°,EF=2,求8F的长.

21.(本小题5分)

每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注.某数

学兴趣小组测量北京站钟楼48的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点

8的位置，被遮档部分的水平距离为8c的长度.通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中

一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆.同学们在某两人的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子。到点。的

距离，以及同一时刻直杆的高度与影长.设AB的长为x米，8。的长为）,米.

北京站钟楼钟楼、由杆及影长示意图

测量数据（精确到0.1米）如表所示：

直杆高度直杆影长CO的长

第一次1.00.615.8

第二次1.00.720.1

（1）由第一次测量数据列出关于X,），的方程是___________,由第二次测量数据列出关于x,），的方程是

（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得y=10,则钟楼的高度约为米.

22.（本小题6分）

在平面直角坐标系X。），中，一次函数旷=/^+父女为常数，kW0）的图象由函数y=jx的图象平移得到，

且经过点4（3,2）,与工轴交于点8.

（1）求这个一次函数的解析式及点B的坐标：

（2）当4>-3时，对『X的每一个值，函数y=x+m的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出/〃的取

值范围.

23.（本小题6分）

某校初三年级两个班要举行韵律操比赛.两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm）,数据整

理如下：

a.1班；168171172174174176177179

2班：16817（）171174176176178183

b.每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：

班级平均数中位数众数

1班173.875174174

2班174.5mn

根据以上信息，回答下列问题:

(1)写出表中m,n的值：

(2)如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐.据此推断：任1班和2班的选手

中，身高比较整齐的是________班(填“1”或“2”)；

(3)1班眄6位首发选手的身高分别为171,172,174,174,176,177.如果2班已经选出5位首发选手，

身高分别为171,174,176,176,178,要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的

平均身岛，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是cm.

24.(本小题6分)

如图，A4为0。的直径，点C在0。上，LEAC=Z.CAB,直线1AE于点。，交A3的延长线于点F.

(1)求证：直线CD为0。的切线；

(2)当tanF=；,CD=4时，求8尸的长.

25.(本小题6分)

小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后

的飞行路线可以看作是抛物线的•部分.建立如图所示的平面直角坐标系xQy,击球点P到球网AB的水

平距离08=1.5m.

小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内.

第一次冻习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=

-0.2(x-2.S)2+2.35.

第二次冻习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y(单位：7n)与水平距离x(单位：m)的几组数据如下：

水平距离x/m01234

飞行高度y/m1.11.61.921.9

根据上述信息，回答卜列问题：

(1)直接写出击球点的高度；

(2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度)与水平距离x满足的函数关系式:

(3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为d2,则%____d式填“>"，或

在平面直角坐标系xOy中，M(*2i)，N(X2，》》)是抛物线y=ax2+bx+l(a>0)上任意两点，设抛物线

的对称轴为直线刀=心

(1)若点(2,1)在该抛物线上，求/的值：

(2)当t40时，对■于*2>2.都有当<y2»求的取值范围.

在。中，Z.BAC=90°,AB=AC,点、D,E是BC边上的点，DE=^BC,连接/ID.过点。作人。的

垂线，3:点E作/3C的垂线，两垂线交于点F.连接A尸交8C于点G.

(1)如榛1，当点。与点8重合时，直接写出尸与484c之间的数量关系：

(2)如悍2.当点D与点B不重合(点D在点£的左侧)时，

①补全图形；

②ND/1F与/E/1C在(1)中的数贷关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，清说明理由.

(3)在(2)的条件下，直接用等式表示线段8Q,DG,CG之间的数量关系.

图2

在平面直角坐标系xO)，中，已知线段00和直浅12,线段P。关于直线I1，令的“垂点距离”定义如

卜.：过点P作PMJ.X轴于点M,过点。作QN1L于点M连接MM称的长为线段P。关于直线。和

G的“垂点距离”，记作d.

(1)已知点P(2,l),Q(l,2),则线段PQ关于x轴和)，轴的“垂点距离”〃为―：

(2)如便1,线段在直线y=-x+3上运动1点P的横坐标大于点。的横坐标)，若PQ=，I,则线段

PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为一：

(3)如国2,已知点4(0,2，W)，0人的半径为1,直线y-“x।b与04交于P.Q两点(点P的横坐标大

于点。的横坐标)，直接写出线段尸Q关于x轴和直线y=-Cx的“垂点距离”d的双值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A、球的俯视图是圆，故此选项不合题意:

8、长方体的俯视图是矩形，故此选项符合题点：

C、三棱锥的俯视图是三角形，故此选项不合题意：

D、圆柱的俯视图是圆，故此选项不合题意：

故选：B.

2.【答笑】C

【解析】解:1330000=1.33x106.

故选：C.

3.【答案】C

•••点力(0,2),8(-1,0),C(2,0)为。A8CQ的顶点，

.•.AD=BC=3,AD//BC,

二顶点。的坐标为(3,2),

故选:C.

4.【答奚】B

【解析】解：根据数轴，可得一2<。<一1,0<b<l,

•••1<|a|<2,0<网<1,

•••\a\>|b|,.,•选项A不符合题意：

V-2<a<-1,0<b<1,

a<b,a+1vb+L

•••选项月符合趣盎；

V-2<a<-1,Q<b<1,

1<a2<4.0<b2<1,

•，•a2>b2,

二选项C不符合题意：

v0<b<1,A-1<-b<0,

—2<a<—1,

•••a<-b,

二选项。不符合题意.

故选：3.

5.【答案】C

【解析】解：根据题意得，k=xy=lx2=2,

二将A,B,C,力四个选项中点的坐标代入得到k=2的点在反比例函数的图象上.

故选:C.

6.【答笑】D

【解析】解：是。。的直径，CDLAB,

AE=BE,2CBD=90°,乙COB=2ma80=

故人、8、C不符合题意，Q符合题意:

故选：D.

7.【答案】B

【解析】解:根据题意,画树状图如下:

开蛤

2次

第•次小小小

共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3种结果,

所以两次摸出的小球标号相同的概率是■=L

故选：3.

8.【答案】4

【解析】解：如图：设正五边形的中心为0,连接0A,0B,过点。作。F148,不足为尸,

Z.A0B=塔=72°.△力。8的面枳=|正五ii形的面积咚n?,

0A=08,OF1AB,

:.Z.A0F=\LA0B=36°,AB=2AF,

设。尸=xm.在RtaO/IF中，AF=OF-tan36°®0.7xm,

AB=2AF=\Axm,

.-.^AB-OF-lAx-x=y.解得：x=3.71,

•••AB-lAx«5.2(m).

:该正五边形的边长大约是5.2m.

故选：A.

9.【答案】x>1

【解析】解：由题可知，x-l>0,

解得x>1.

故答案为：x>1.

10.【答案】2x(y+3)(y-3)

【解析】解：2xy2-18x=2x(y2-9)=2x(y+3)(y-3).

故答案为：2x(y+3)(y-3).

11.【答案】x=9

【解析】解：m=S

xx-3

方程两力都乘工。一3),得3(x-3)=2x,

去括号，得3x—9=2x,

移项，噜3x-2x=9,

合并同类项，得x=9,

检脸：当x=9时，x{x-3)*0.

所以分式方程的解是x=9.

故答案为：x=9.

12.【答案】m<l

【解析】解：••・关于x的一元二次方程7-2*+7川=0有两个不相等的实数根，

二4=(-2)2-4xlX7n=4-47n>0.

解得：m<1.

故答案为：m<1.

13.【答案】240

【解析】解：估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有500、等=

240(A),

故答案为：240.

14.【答案】35

【解析】解法一：•.•乙4=90°.Z.C=20°,

Z.ABC=90'-Z.C=70”，

vDE1BC千点E,

:.乙BED=90°,

在和RtAA80中，

(BD=BD

(DE=DA'

Rt△EBD三Rt^ABD(HL'),

A^DBE=Z.DBA=\LABC=35。，

故答案为：35.

解法二：•••乙4=90",Z.C=20°,

二Z.ABC=900-ZC=70",

••心=90°,

DA1BA,

VDEIBC,S.DE=DA,

.•.点。在4BC的平分线上，

•••8。平分4A8C,

乙DBE=乙DBA=\LABC=35°,

故答案为：35.

15.【答案】垂直平分线

1

4

【解析】解：（1）由作图过程可知，步骤②得到的直线是线段3C的垂直平分线.

故谷案为；垂直平分线.

（2）由作图过程可知,AP=CP,

•••MN是线段8c的垂直平分线，

CQ=BQ,

.•.堡="=L

ACBC2

"Z.PCQ=Z.ACB.

•••△PCQs&ACB.

故答案为："

4

16.【答案】V+F-E=2

32

【解析】解：（1）四面体的棱数为6：正八面体的顶点数为6：关系式为：V+F-E=2t

故答案为：V+F-F=2：

（2）设小张同学需要准备正三角形和正五边形材料各K个.），个.

•.•每个顶点有4条棱，且每个顶点在四个面里面，

・•・一共有空个顶点，

4

...一共有手><4+2=苧条棱，

42

•■V+F-E=2,

.冲+“+广华：=2,

X-y=8:

•••每个正三角形与三个五边形相邻，而每个五边形与五个正三角形相邻,

•.•y=T

3°

•••x-jX=8.

•••x=20.

•••y=12.

x+y=32,

•••小张同学需要准存正三角形和正五边形的材料共32个,

故答案为：32

17.【答案】解：原式=4，^-2x苧+1-2

=4/3-/3+1-2

=3C-1.

【解析】见答案

x+2V6®

18.【答案】解：｛sx+l、*-6分，

解不等式①，得：》<4,

解不等式②，得：x>-2,

原不等式组的解集为一2<x<4.

【解析】见答案

19.【答案】解：•••2x-y-9=0,

2x-y=9,

6x-3y

4x2-4xy+y2

J(2x-y)

一(2三

3

=------,

2x-y

—y=9时，原式=：=：.

【解析】见答案

20.【答案】（1）证明：:/IE=/IB.AF=AD.

四边形BOEb为平行四边形，

•.•四边形A8CD为菱形，

AB=AD.

•••AE=AB=AF=AD,

•••BE—DF,

二平行四边形8DE/是矩形.

（2）解：由（1）可知，AB=AD,四边形8力£尸是矩形，

/.DBF=90°,BD=EF=2.

•••四边形ABC。是菱形，

/.ADB=^£ADC=60°,AB=AD,

.•.△力8。是等边三角形，

AB=AD=BD=2,

ADF=2AD=4,

:.BF=VDF2-fiD2=V42-22=2/3,

即Br的长为2/1

【解析】见答案

21.【答案】解：（1）由同一时刻测量，可得翳粽嗡,

第一次测量：上=高：丁，化简得，y=0.6x-15.8.

第二次测坦：方元大，化简得，y=0.7x-20.1,

故答案为：y=0.6x-15.8.y=0.7x-20.1：

（2）对于y=0.6x-15.8,代入y=10,得,0.6x-15.8=10,

解得：彳=43,

工钟楼48=43米，

故答案为：43.

【解析】见答案

22.【答案】解：(1)丫一次函数丫=匕:+5的图象由函数7=《》的图象平移得到，且经过点力(3,2),

••・白岩,解得卜=1

13k+b=2lb=1

•••一次函数的解析式为y=|x+l：

在丁=：工+1中，令y=0得O=；x+L

解得％=-3,

8的坐标为(-3,0).

(2)当x=-3时，y=x+m=-3+m,y=^x+l=1x(-3)+1=0.

:当x>-3时，对「x的每一个值，函数y=*+m的值大尸一次函数y=+1的值，

—3+?n20•

解得7n>3,

二m的取值范围是m>3.

【解析】见答案

23.【答案】解：(1)2班数据从小到大排列为168、170、171、174、176、176、178、183.

从中可以看出•共八个数，第四个数据为174、第五个数据为176,

所以这组数据的中位数为(174+176)+2=175,故m=175：

其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176,故n=176：

故答案为：175：176.

(2)根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦

然.

1班的身高分布于168-179,2班的身高分布于168-183,

从中可以看出，1班的数据较2班的数据波动较小，更加稳定，所以1班的选手身高;匕较整齐，

故答案为：1.

(3)(171+172+174+174+176+177)+6=174(厘米)

设2班第六位选手的身高为x厘米，

则(171+174+176+176+178+x)+6>174,

x>169,

据此，第六位可选的人员身高为170、183,

若为ID时，2班的身高数据分布于170—178,若为183时，2班的身高数据分布于171—183,

从中可以看出当身高为170时的数据波动更小，更加稔定.

所以第六位选手的身高应该是170厘米，

故答案为：170.

【解析】见答案

24.【答案】(1)证明:连接。C,

---OA=OC,

■■Z.CA0=Z.ACO.

Z.EAC=Z.CAB.

•••Z.DAC—乙4c0,

vOC//AD,

vCD1AD,

OCIDF.

•••oc是。。的半径，

二直线co为。。的切线.

(2)解：vtanF=

OC1

ACF=2r

设OC=x.则CF=2x.AO=OB=x.

OF-VOC2+CF2=-75x,

vOC//AD.

:.AAFDSAOFC,

.CP_OF

ADF=AF'

.2」_Gx

,,2x+4-7Zx+x'

2/5.

RF=0F-OR=AO-2.g

【解析】见答案

25.【答案】解；(1)当欠=0时，y=-0.2(0-2.5)24-2.35=1.1,

故击球点的高度为1.1m；

(2)由表格信息可知,第二次练习时,抛物线的顶点为(3,2),

设抛物戊的解析式为：y=a(x-3)2+2,

过点(4,1.9),

1.9=a(4-3)2+2,

解得a--0.1,

二抛物线的解析式为：y=-0.1(x-3)2+2,

(3)•••第一次练习时，当y=0时，0=-0,2(x-2.5)2+2.35.

解得勺=/TL75+2.5,x2=-+2.5<0(舍去)，

dt=,11.75+2.5-1.5=V11.75+1,

•.•第二次练习时，当y=0时，0=-0.1(x-3)2+2.

解得勺=2/5+3,必=-2/5+3<0(舍去)，

二d2=2/5+3-1.5=2/5+1.5,

•••/1L75+1<2/5+1.5,

---<dz,

故答案为：<

【解析】见答案

26.【答案】解:⑴•••点(2,1)在该抛物线y=ax2+bx+l(a>0)上,

二4a+2b+1=1,

•••b=-2a,

b

二”一五=1.

(2)va>0.

抛物线开口向上，

••・当x>t时，y随x增大而增大，当x<t时，)，随x增大而减小，且离对称轴越远函数值越大.

当0<A,<2时,

t<X1<X2f

二此时消足为<y2\

当一2W/W0时，

vt<0,

二点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，

二此时满足必<y2;

当%>2时，一定会有4的值满足X】>必，此时力>力，不符合题意；

当Xi<-2时，若t=0,且与=一不时，此时治=乃，不符合题意；

综上所述，一2二修工2.

【解析】见答案

27.【答案】解：⑴当点及与点B重合时，^DAF=^BAC,理由如下：

如图1.

•••点。与点8面合，点。，E是8c边上的点，且DE=g8C,

是8C的中点，

•­•LBAC=90°,AB=AC,

AAE1BC,Z.BAE=^BAC,

"EFIBC,

■­•Z.AEE=Z.BEF=90%

.•.&EB+NBEF=180°,即A、E、尸在同一条直线上,

:.Z.BAF=\LBAC,即皿F=：皿C：

(2)①补全图形如图2所示：

(^乙。4尸=：乙8/1。仍然成立，理由如下：

如图3,过点A作4H±8C于点从则乙4HD=90。,

•••LDEF=90*,

NAHD=乙DEF,

•••/.ADH+Z.FDE=Z.ADH+ADAH=90%

zD/IH=Z.FDE,

vZ.BAC=90°.AB=AC,AH1BC,

■­AH=；8C,

•••DE=^BC,

-.AH=DE,

:.AADHgADFE,

•••AD-DF,

VAADF=90%

•••△/IDF是等腰直角三角形,

Z.DAFAC：

(3)BD2+CG2=DG2,理由如下:

如图4,将4/1CG绕点人顺时针旋转90°得至Ib/IBG',

即

则8G'=CG,AG'=AG,LABG'=Z.ACG,Z.BAG'=z.CAG,

---ABAC=90°,AB=AC,

:./.ABC=Z.ACG=45°,

/.ABC.+ZJ\BG'=90°,即乙DBG'=90°,

：.BD2^BG，2=DG'2,

由(2)知4。"f=45°,BPzD/lG=45%

乙BAD+Z.CAG=45°,

/.BAD+LBAG'=45°,=45",

LDAC'=LDAG,

在A40G'和A/IDG中，

(AG1=AG

，。力G'=4/X4G，

MD=AD

^AADG'^^ADG(SAS').

DG'=DG,

BD2^CG2=DG2.

【解析】见答案

28.【答案】解:⑴、•点P(2,l),(2(1,2),

•••M(2,0),N(0,2),

MN=2/2.

故答案为：2/2；

(2)如图1.

延长NQ,MP交于点A,

•••QNJ.y轴，PMJ.x轴，

:.LMiQ=Z.AMO=90%

•••NMON=90°,

.•.四边形八NOM是矩形，

Z.NAM=90°,MN=AO,

•••线段PQ在直线y=-x+3上运动，

二Z.AQP=Z.APQ=45",

AQ=AP=1,

设Q(m,-?n+3),则力(nt+1,-m+3),

•••OA=yjAM2+AN2=V()n+I)2+(-m+3)2=V2(m-I)2+8,

.•.当?n=l时，OA^=2/2,

.•.MN的最小值为：ML

故答案为：2/2：

(3)解