2024届上海市同济中学高考压轴卷数学试卷含解析

2024届上海市同济中学高考压轴卷数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，圆。的半径为1,A，3是圆上的定点，OBtOA,尸是圆上的动点，点尸关于直线。3的对称点为尸'，

角x的始边为射线。4,终边为射线。尸，将OP-OP'表示为x的函数/（X）,则在［0,句上的图像大致

2.在三棱锥。一ABC中，AB工BP,AC±PC,AB.LAC,PB=PC=2五,点。到底面A8C的距离为2,

则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（）

6兀

A.3兀C.12不D.24万

3.已知为等比数列｛”“｝的前〃项和，05=16,。3G=・32,则Ss=（）

A.-21B.-24C.85D.-85

4.若复数z满足（2+3i）z=13i,则z=（）

A.-3+2iB.3+2iC.-3-2iD.3-2i

5.己知2“=3〃=6,则〃不可能满足的关系是（）

A.a+b=abB.a+b>4C.<2D.a2+b2>8

丫227r

6.已知点a为双曲线—匕=1（。〉0）的右焦点，直线），=履与双曲线交于A,B两点,若NAC8二——，则

4r43

的面积为（）

A.2及B.26C.472D.4#

7.已知等边△ABC内接于圆丁：1+/=1,且尸是圆r上一点，则月4・（25+尸。）的最大值是（）

A.72B.1C.GD.2

8.设命题〃：一百<同+网，贝（J-/，为

A.Da,heR,|a-q之时+用B.一,〈同+|4

C.,一4>同+网D.'Ba,beRt|«-/?|>|a|4-|/?|

9.已知。+初（a*eR）是小■的共糖复数，则。+〃=（）

1-1

I八1

A.—1B.--C.-D.1

22

10.已知函数/（，）%：：：>o,叩图卜）

A.—B.-C.-log2D.log,2

223

11.已知点尸在椭圆r：二+与=1（心/»0）上，点尸在第一象限，点P关于原点。的对称点为A,点P关于x轴的

a2b2

3--

对称点为。，设产/九「PQ,直线AD与椭圆7•的另一个交点为B,若RUP3,则椭圆了的离心率e=（）

4

1V2DG

A.-1B5.--Vc.-也-1J.--

2223

12.设S,为等差数列｛4｝的前〃项和，若生=-3,邑=-7,则S”的最小值为（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3

13.已知｛q｝为等比数列，S”是它的前〃项和.若见6=24,且4与2%的等差中项为则Ss=.

x+y-2<0

14.设'、）’满足约束条件<工一）-220,若z=2x+），的最小值是一1，则机的值为.

y+m>0

9[2

15.已知四棱锥尸-ABC。，底面四边形ABC。为正方形，PA=PB=PC=PD,四棱锥的体积为,在该四

3

棱锥内放置一球。，则球。体积的最大值为.

16.在“BC中，角所对的边分别为ZABC=\2（）0t48C的平分线交AC于点。，且80=1,

则4a+c的最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某工厂4,A两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知A,8生产

线生产的产品为合格品的概率分别为P和2p-l（O.5<p<l）.

■A生产线DB生产或

（1）从A，8生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%,求〃的最小值外.

（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的外作为〃的值.

①已知A,6生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元.若从两条生产线上各随机抽检1000件

产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？

②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利10元、8元、6元，现从4,

3生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂

生产一件产品的利润为X,求X的分布列并估算该厂产量2000件时利润的期望值.

18.（12分）已知函数〃*）=1”—；4一+6，函数”力在点（1"（1））处的切线斜率为0.

乙

（1）试用含有。的式子表示/九并讨论/（X）的单调性；

（2）对于函数/（x）图象上的不同两点A（x，），J,秋天,），2），如果在函数/（X）图象上存在点

何（玉），）'0乂小«5，9）），使得在点M处的切线〃/48,则称A8存在“跟随切线”.特别地，当鹏=土产时，又称

A8存在“中值跟随切线试问：函数/（月上是否存在两点A4使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出,4,4的坐

标，若不存在，说明理由.

19.（12分）在平面直角坐标系xQy中，曲线C的参数方程为《，.Q为参数），以坐标原点。为极点，工轴

y=1+sin/

的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为。nalovav］）,直线/交曲线。于48两点，尸为AB中

点.

（1）求曲线c的直角坐标方程和点。的轨迹G的极坐标方程；

（2）若|/18|.|OP|=6,求a的值.

221

20.（12分）已知椭圆+?=的焦距为2石，斜率为/的直线与椭圆交于A8两点，若线段

的中点为D,且直线OD的斜率为-

（1）求椭圆C的方程；

I1

（2）若过左焦点/斜率为k的直线/与椭圆交于点M,N,P为椭圆上一点，且满足OPJ_MN,问：麻+函■是

否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由.

21.（12分）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“,等比数列出｝的前〃项和为7；,且q=4=1,%=演，4+d=15.

（1）求数列｛q｝与仇｝的通项公式；

fS-T1

（2）求数列）上-I的前〃项和.

n

22.（10分）秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，为推动新能源汽车产业迅速发展，有必要调查研究

新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区2016年至2019年新能源汽车的销量（单位：万台）按季度（一年四

个季度）统计制成的频率分布直方图.

(1)求直方图中。的值，并估计销量的中位数；

(2)请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量(同一组数据用该组中间值代表)，并以此预计

2020年的销售量.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.

【详解】

由题意，当X=O时，P与A重合，则P'与B重合，

所以尸一。尸卜|BA\=2,故排除C,D选项；

7.71

当0cxe二时，OP-OP'=|P'P|=2sin(——x)=2cosx,由图象可知选B.

22

故选：B

【点睛】

本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.

2、C

【解析】

首先根据垂直关系可确定OP=OA=QA=OC,由此可知。为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出A尸的

一个表达式，在AQAG中，可以计算出AO的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积.

【详解】

取AP中点0,由4clpc可知：OP=OA=OB=OC,

O为三棱锥P-ABC外接球球心，

过尸作尸，_L平面A8C,交平面ABC于，，连接A”交BC于G,连接OG,HB,HC,

P

H

・：PB=PC,:.HB=HC,AB=AC,「.G为8。的中点

由球的性质可知：0（7_1平面43。，「.06%”，且0G=12”=1.

2

设AB=x,

QPB=2啦，.•.4O=gPA=g&+8,

•.♦AG=」8C=也x,••在AOAG中，AG2+OG2=OA2,

22

即|等+l=（；&+8）,解得：工=2,

..・三棱锥P-ABC的外接球的半径为：A0=gW+(2>/^『=1^4+(2>/2y=J5,

••・三棱锥P-ABC外接球的表面积为5=W=12万.

故选：C.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心

的位置.

3、D

【解析】

由等比数列的性质求得m/=16,«iY=-32,通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前〃项

和公式解答即可.

【详解】

设等比数列｛”“｝的公比为q,

*.*<15=16,a3a4=-32,

.*.aiq4=16fai2q5=-32,

:.q=-2,则4=1,

1X[1-(-2)8]_QU

---------------="o39

1+2

故选：D.

【点睛】

本题主要考查等比数列的前〃项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题.

4、B

【解析】

由题意得,z=，求解即可.

2+31

【详解】

13iI3i(2-3i)26i+39,土

因为")z=凡所以z=百--------------------=------------=3+21

(2+3i)(2-3i)4+9

故选:B.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题.

5、C

【解析】

/>

根据2"=3=6即可得出。=1+1%3,/>=l+log32,^log231og32=l,log32+log32>2>即可判断出结

果.

【详解】

•••2"=3=6;

/.a=log26=1+log23,b=log36=l+log32；

a+b=2+log23+log32>4,ab=2+log23+log52>4,故A,8正确;

2222

(«-1)+(/?-l)=(log23)+(log32)>2log23log.2=2,故C错误：

•・・〃+〃=2+2(1唱3+log.2)+(1%3『+(1%2『

>2+4yj\og23-\og32+2log,3-log32=8,故D正确

故C.

【点睛】

本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：〃+322疝和不等式42+/？24,的应用,

属于中档题

6、D

【解析】

设双曲线C的左焦点为连接由对称性可知四边形4£8入是平行四边形，

设|A用rjA周二弓，得4c2=1+片_2代cosg，求出径的值，即得解•

【详解】

设双曲线C的左焦点为连接

由对称性可知四边形AF.BF.是平行四边形,

所以5,"出=5"速，NZAK=g.

设恒耳|=小|4闾=弓,则4c2二片+片一，百，

=r~+r2-2彳弓cos一

又卜一引=%.故，道=4〃=16,

所以S"L/或吟=4后

故选：D

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

7、D

【解析】

如图所示建立直角坐标系，设尸（cos^sin。），贝ij2HPB+PC）=l-cos。，计算得到答案.

【详解】

/1@1

如图所示建立直角坐标系，则A（L0）,BH4]'12，2)设P(cos“sin0),

则PA•(PB+PC)=(1—cos<9,-sin0)•(—1-2cos0-1sin0)

=(1-cos^)(-l-2cos^)+2sin2=2cos2^-cos^-1+2sin2=1-cos^<2.

当。=一乃，即尸（一］,（））时等号成立.

故选：D.

【点睛】

本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.

8、D

【解析】

直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.

【详解】

因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题〃：\a-t\<\a\+\bt则力为："⑦e/，,一耳2同+瓦

故本题答案为D.

【点睛】

本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.

9、A

【解析】

先利用复数的除法运算法则求出二的值，再利用共挽复数的定义求出。+历，从而确定。，。的值，求出a+b.

1-/

【详解】

1+/_(1+/)22/_

口—(1+”(_)一5一】

:.a+bi=-if

b=-1,

；.a+b=-1,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共枕复数的概念，是基础题.

10、A

【解析】

根据分段函数解析式，先求得/Y的值，再求得等））的值.

【详解】

依题意/停卜10g,号log.l3T=（用卜（总=2九*.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.

11、C

【解析】

设P（x，y），则），Q（N，-y），D.一年，设网超，丫2），根据姑_1_心化简得到3/=4—得到

答案.

【详解】

设P（XQ）,则A（Ff）,Q（zf），尸O=：PQ，则一外设屿,必），

江+江=1

则a：护,,两式相减得到：/+%）。-电）=_5+>"f）,

三江a-b-

a2b2

PAtPB,故kpA-kpR=-l,即-4^=t,故3/=4/,故6=迫.

cr2

故选：C.

【点睛】

本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.

12、C

【解析】

根据已知条件求得等差数列｛〃”｝的通项公式，判断出最小时〃的值，由此求得s”的最小值.

【详解】

a+2d=-39

依题意rr-r，解得4=-7/=2,所以。“=2〃-9.由巴=2〃-96°解得〃W不，所以前〃项和中，前

7%+214=-72

4项的和最小，且S4=4《+6d=-28+12=-16.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等差数列通项公式和前〃项和公式的基本量计算，考查等差数列前〃项和最值的求法，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-11

【解析】

设等比数列｛〃”｝的公比为4,根据题意求出出和％的值，进而可求得为和4的值，利用等比数列求和公式可求得S5的

值.

【详解】

由等比数列的性质可得2q=。2。3=6%，=2,

33311

由于牝与2%的等差中项为z,则〃4+2〃,=耳，则2%=耳一（=一］，，/=-w，

.“3%1"-于1《“

因此q（l一力-"一「力

因此，S5=-^--2=----!=~=

…i+i

2

故答案为：一11.

【点睛】

本题考查等比数列求和，解答的关键就是等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.

14、-1

【解析】

画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，由z=2x+y得y=-2x+z,显然直线过A（一〃?-2,一〃?）时，二最小，

代入求出加的值即可.

【详解】

x+y-2<0

作出不等式组1x-y+2>。所表示的可行域如下图所示:

y+m>0

x-y+2=()

联立八，解得',则点A—2,一〃?).

✓y十m=0y——m

由z=2x+y得y=-2x+z,显然当直线y=-2x+z过A(-时，该直线>轴上的截距最小，此时z最小,

-2/72-4-/77=-1>解得m=一1.

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题.

【解析】

由题知，该四棱锥为正四棱锥Q-ABCQ,作出该正四棱锥的高P”和斜高QE,连接〃£,则球心O必在心PHE

的PH边上,设:/OEH=®,由球与四棱锥的内切关系可知=26,设A8=2a,用。和。表示四梭锥的体

积，解得〃和。的关系，进而表示出内切球的半径，并求出半径的最大值，进而求出球的体积的最大值.

【详解】

汲4OEH=e,AB=2a,

由球O内切于四棱锥可知，4PEH=26,EH=a,

则P”=atan2e,球O的半径R=a1an8,

VP-ABCD=gx4小x。tan20=半,

“tan正争，心系,

>/6tan106tan3,

R'="tan30=

2tan202x2tan8

1-tan20

^tan:(2(l-tan2^)瓜

416

当且仅当lan0=也时，等号成立,

2

此时匕=%落浮

【点睛】

本题考查了棱锥的体积问题，内切球问题，考查空间想象能力，属于较难的填空压轴题.

16、9

【解析】

分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

详解：由题意可知，+由角平分线性质和三角形面积公式得

tzcsin120°=6/xIxsin60°+cx1xsin60°.化简得ac'=a+c.'+」=1,因此

222ac

,/“、，11、ec4。、「-lc4a石

4a+c=(4a+c)(—+—)=5+—H--->5+2.-----=9,

acacNac

当且仅当C=2。=3时取等号，则4a+c的最小值为9.

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母

为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)〃。=0.95(2)①8生产线上挽回的损失较多.②见解析

【解析】

⑴由题意得到关于P的不等式，求解不等式得到P的取值范围即可确定其最小值；

⑵①.由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论即可；

②.由题意首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后由分布列可得利润的期望值.

【详解】

(1)设从.4,8生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件C,设从A,8生产线上抽到合格品分别为事件M，

N,则N互为独立事件

由已知有p(M)=〃,p(N)=2〃-1(().5</?<1)

贝ijp(C)=l-/?(C)=l-p(MN)=1-p(A7)p(^)=1-(1-p)(2-2p)>0.995

解得〃之0.95,则〃的最小值〃o=O.95

(2)由(1)知A,8生产线的合格率分别为0.95和().9,即不合格率分别为0.05和0.1.

①设从A,3生产线上各抽检1000件产品，抽到不合格产品件数分别为X1,X2,

则有X~8(l(XX),0.05),X2~8(l(XX),0.1),所以A,8生产线上挽回陨失的平均数分别为：

E(5Xj=5£X]=5x](XX)x(),05=25(),E(3X^)=3EX2=3x1000x0.1=300

所以8生产线上挽回的损失较多.

②由己知得X的可能取值为10,8,6,用样本估计总体，则有

“—20+3511“。、60+401“八20+459

p(X=10)=------=—,p(X=8)=-------=一，p(X=6)=-------=一

200402002’20040

所以X的分布列为

X1()86

11_1_9

P

40240

1119

所以EX=10x—+8X-+6X3=8.1(元)

40240

故估算估算该厂产量2000件时利润的期望值为2000x8.1=16200(元)

【点睛】

本题主要考查概率公式的应用，二项分布的性质与方差的求解，离散型随机变量及其分布列的求解等知识，意在考查

学生的转化能力和计算求解能力.

18、(1)b=a-\,单调性见解析；(2)不存在，理由见解析

【解析】

(1)由题意得/'(1)=0,即可得〃二4-1；求出函数/")的导数r(X)=("+D(T+l),再根据420、

X

一1<4<0、4=一1、a<—1分类讨论，分别求出了'(X)>0、r(x)<()的解集即可得解；

(2)假设满足条件的A、B存在,不妨设A(X，乂)，B(X2,必)且0<内<勺，由题意得心8=/'(土手)可得

2出1)*

皿土=上一2,令/=±(O<Z<1L构造函数g(1)=ln"幺曰(0</<1),求导后证明g(/)<0即可

占A+i*2/+1

%

得解.

【详解】

(1)由题可得函数y=/(工)的定义域为(0，+8)且r(幻=：—仪+小

由/'(1)=0,整理得〃=〃—1.

八“、I,1(or+l)(T+l)

f,(x)=--ax+b=--ax+a-l=^------△---------L

XXX

(i)当“20时，易知xe(O,l),/z(x)>0,xw(l,+8)时/"(x)v0.

故y=在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

(H)当"0时，令八司=0,解得x=l或工=一：，贝ij

①当一：=1,即。=一1时，r(x)N。在(0，+8)上恒成立，则y=/(x)在(0,+8)上递增.

②当一即一1<4<0时，当xe(O,l)u-L+oo］时，/r(x)>0；

cik«J

(i、

当xe1，-一时，/'(x)<0.

\aJ

所以y=/(x)在(0,1)上单调递增，［1，—单调递减，(一：,+8)单调递增.

③当一（1,+功时，r（x）＞o；当y―川时，r（“＜o.

<1»即a<—1时，当---1口

所以y=/（x）在（0，-：）上单调递增，（一5，1）单调递减，（1,+8）单调递增.

综上，当“20时，y=在（0,1）上单调递增，在（1，+8）单调递减.

当时，y"（x）在（0,1）及卜一，+8）上单调递增；），=/。）在（1,一：）上单调递减.

当〃二一1时，），=/（6在（0，+8）上递墙

/I\（1A

当a＜-1时，y=〃x）在0,一及（1,+8）上单调递增；＞=/（工）在一一，1上递减.

X/I。，

（2）满足条件的A、3不存在，理由如下:

假设满足条件的A、3存在，不妨设A（内，），J,8（々，劣）且。＜不＜%，

则V其比普)(玉IA-2)Ia-1,

又—《詈卜1凡+X，，

7r-ax-5----+a-

X4/人［十八22

2p-1

由题可知攵.8=,广(4)，整理可得：=’=>]/=2』2马二上_J

X)-x2xi+x2x2x}+x2五+]

X2

令，=上(0<r<l)»构造函数g(f)=lnf-"——(0<r<l).

x?i+1

贝|Jg()=--4,=,>0,

…+1)-(+1)-

所以g(f)在(0,1)上单调递增，从而g«)<g⑴=0,

所以方程M.=2：二：々无解,即A.8=/'（/）无解.

综上，满足条件的A、3不存在.

【点睛】

本题考查了导数的应用，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.

19>(1)(x-1)2+(y-l)2=1»/7=x/2cos(2)a="或2

【解析】

(1)根据曲线C的参数方程消去参数/,可得曲线C的直角坐标方程，再由|0。|=夜，10H=|OqcosNPOC,

可得点P的轨迹G的极坐标方程；

(2)将曲线C极坐标方程求,与直线/极坐标方程联立,消去。，得到关于P的二次方程，由P的几何意义可求出恒四，

而(1)可知依耳二&cos(e-?)然后列方程可求出a的值.

【详解】

(1)曲线C的直角坐标方程为+(y—1产=1,

圆C的圆心为C,|OC|=J5,设尸(夕招)，所以

则由|oH=|OClcosNPOC,即夕=&cos0<8<曰为点尸轨迹G的极坐标方程.

/\

(2)曲线C的极坐标方程为22-2拒夕cos+1=0,

将/：e=a(0<av')与曲线C的极坐标方程联立得，22-2拒夕85(0-；)+1=0,

冗

设AS，a）,8（p2，a）。<a<—

2）

所以MM=3-々1=

71

\OP\=>/2cos

Ia——4J

71

由,&P2J2cosCl.---j—1Xx/2=\/3♦

a4-J---

1C

1,上述方程可化为16，〃4一8〃--3=0,解得〃7=火

2

.（7t\717t7tei、17t715乃少汽

由cosa——=——,——<a——<—,所以a—=±—,即。=二或。=—.

I4）2444461212

【点睛】

此题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用极坐标求点的轨迹方程，考查运算求

解能力，考查数形结合思想，属于中档题.

2

20、(1)—+y=1.

4

⑵意.册为定值%过程见解析.

【解析】

分析：（1）焦距说明。=石，用点差法可得心屋攵加=-与=一!•这样可解得。，沙，得椭圆方程;

a~4

11L

（2）若攵=0,这种特殊情形可直接求得两+询■,在kwO时，直线MN方程为y=k（x+G）,设

知。,凶）,川（苍,力），把直线方程代入椭圆方程，后可得%+%，即4,然后由纺长公式计算出弦长

同时直线方程为代入椭圆方程可得P点坐标，从而计算出|OP|,最后计算

|M/V|=V17F|XI-X2|,OP

11

丽+研即可.

详解：⑴由题意可知0=6，设4（工|,）1）,3（工2，），2），代入椭圆可得：

2222

耳+与=1,与+与=1,两式相减并整理可得,

a2b2a2b2

%一占■+%_b2

-------―kk

2即ABOD

yx-xA:cx+x2-----a

又因为=代入上式可得，/=46.

又/=6+。21=3,所以/=422=1,

故椭圆的方程为三+\，2=1.

4-

（2）由题意可知，F（-x/3,0）,当MN为长轴时,0P为短半轴，此时

11,5

\MN\|0P『44;

"=1

4

否则，可设直线/的方程为），=M^+G），联立《,消)'可得,

产(+G)

(1+4公*+8向2工+12&2