2024届高考数学一轮复习收官卷03（新高考Ⅰ卷）（解析版）

2024届高考数学一轮复习收官卷03（新高考I卷）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.）

1.（23・24上滁州•阶段练习）cosx>2x-f_i的否定为（）

（万），2

A.3xe0^Lcosx<2x-x2-1B.3^^0,cosx<2x-x-1

（吟

C.cosx>2x-x2-1D.Vxe，cosx<2.r-x2-1

【答案】A

【详解】根据全称命题的否定知，任意变存在，范围不变，结论相反,

故Vxw0,|j,cosx>2x-/-l的否定为COSX<2A-X2-1»

2

故选：A.

2.（23・24・南宁•模拟预测）已知复数z满足（4+3i）z=-i,则z的虚部为（）

4

A.——

25D-

【答案】A

-i（4-3i）34.

【详解】因为（4+3i）z=-i,所以z

4+3i（4+3i）（4-3i）2525

4

所以z的虚部为-行

故选：A.

3.（1920下•河南•模拟预测）被誉为“中国现代数学之父〃的著名数学家华罗庚先生倡导的

,诵8优选法〃在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.由8就是黄金分割比”与1

的近似值，黄金分割比还可以表示成2sinl8。，则1-2严27。）

川4一产

V5-1

A.4RC.2D

2-I

【答案】D

l-2sin227°cos54°sin36°1

【详解】解:把i=2sinl8c代入

一/2sinl8°V4-4sin218°4sin18°cosl8°2

故选：D.

2

4.（22・23・商洛,模拟预测）已知数列｛q｝满足4=-1,〃（为+/%）=1门，记〈％〉为不小于明

的最小整数，=<an>,则数列｛〃｝的前2023项和为（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【答案】A

【详解】由题意得。川—q=2（，一一

I〃n+lJ

则当2时，4=（4-。1）+（%-q-2）+,+（七—4）+4=

2（_L」］+2工斗1=1二，

“1nJ"2n-\）I2）n

当〃=1时也满足上式，所以4二1-W（〃€N'），所以

n'/

29

伪=〈一1〉=一1,包=〈0〉=0也=<1—?=/=1,々=%==1,

故也｝的前2023项和为-1+0+1+1+…+1=2020.

故选：A.

5.（22・23•云南•模拟预测）有5张奖券，其中3张可以口奖，现有5个人从中不放回地依次

各随机抽取一张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件4="第i个人抽中中奖券〃，则

下列结论正确的是（）

A.事件A与4互斥B.P（&）=g

c.^（AA）=-D.P（A|4）=g

【答案】c

【详解】事件A与4可以同时发生，根据互斥事件的定义,A错误;

由全概率公式得尸⑷=尸（4）?（42同+尸（Q,尸闻不）=白［+电［=］,故B错误;

32?

由概率的乘法公式得尸（4&）=24）2414）=^彳=云,故（：正确；

2323213

根据题意尸（44）=旨白彳+9》9至，

3

所以aA।人）=勺管）=当=；,故D错误.

P（4）£2

5

故选:C.

uimUlMJ

6.（2223♦沧州•三模）在;/8C中，若卜［O,二|OC|=|OPAB=AC=2,A=I2O0,

则AP・AB的取值范围为（）

A.[-2,8]B.[-2,6]C.[T6]D.H，8]

【答案】B

【详解】因为囱=画=|0牛|0年

所以。为乂8c的外心，且尸为A8C外接圆上一动点,

uunmiu

又A8=AC=2,A=12（r,

所以“3C外接圆的半径「二孺不、（=2.

如图，作9_LA4,垂足为Q,则卜。・丽=网.网网/。4*网|叫=2,。

所以，当P力与I员I相切时，ARAB取最值，即尸在R处取最大值6,

在八处取最小值-2,

故选：B

7.（23・24上•邢台・阶段练习）已知定义域为R的函数/（X）满足/（2+可=-/（一）,且曲

线），=/（力与曲线＞，=—-、有且只有两个交点，则函数g（x）=/（x）+_1的零点之和是

X—1X-1

（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】A

【详解】由题意定义域为R的函数〃力满足〃2+工）=-/（-工），

则“X）的图象关于点（1。成中心对称，

函数），=-一、的图象是由）的图象向右平移一个单位得到，

X-1x

故），=-一二的图象关于点（1,。）成中心对称，

x-l

又曲线y=/（x）与曲线y=-一二有且只有两个交点，

X—1

则这两个交点关于（1.0）对称，故这两个交点的横坐标之和为2,

而函数g（x）="x）+S的零点即为曲线y=/（"与曲线）』交点的横坐标，

故函数g（x）=/G）+—1的零点之和是2,

故选：A

8.（22・23・重庆•模拟预测）已知小鸟分别为双曲线C：5多=15>0.10）的左、右

焦点，点4（•土,凹）为双曲线。在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线。的切线交x

轴于点B,若cos/£A外=g,且"3=2吗,则双曲线C的离心率为（）

A.2&B.x/5C.2D.百

【答案】D

【详解】因为点A在第一象限，由三-工=1,可得丁=庄二/，

a~b-Va~

2b2x

点4（4,）[）在双曲线上，则「一£=1小>0,）1>0,即乂=不等—/，

可得八”/唇了心，

可得在点A&,y）处的切线方程为y-y=合（工73

令），=0,解得工=咨/足，

又因为手—今=1，则〃x：-a

-y[=a-b-t

所以X二一不一二-=7；一=一->o,

b~x[b~xAX）

即点从£,o],

设双曲线C的半焦距为c>0,则片(-co),八(c,O),

2

因为甲3=2*，则幺+c=2C--,整理得芭=生

kX1；c

可得|4用=+c）2+），：=J^-+c+b2^--1=4a，

且点A为双曲线。在第-象限的右支上一点,^\AF]-\AF2\=2af

可得k国_|AG卜2〃_%，

在AAK5中，由余弦定理可得：忻用「=|人用？+|4八『一2|八用•|AE|cosN£AE，

22

即4c2=16a+4/_2x4。x2。xL整理得c=3/,

2

所以双曲线C的离心率e=）二=G.

二、多选题（本题共4小即，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.）

9.（22・23・万州•模拟预测）2022世界兵乓球团体锦标赛在成都举办，中国女队、男队分别

于10月8日和10月9FI夺得团体赛冠军，国球运动又一次掀起热潮.为了解性别与观众是

否喜欢观看乒乓球比赛的关联性，某体育台随机抽取了200名观众进行统计.得到如图所示

的列联表.

观看兵乓球比赛

性别

喜欢不喜欢

男6040

女2080

则下列说法正确的是（）

参考公式：*2=（i）（7募二.）（j），其中〃="8+c+d-

附表:

a0.100.050.010.0050.001

兀2.7063.8416.6357.87910.828

A.喜欢观看乒乓球比赛的观众中，女生的频率为，

B.男生中喜欢观看乒乓球比赛的频率为:

C.依据小概率值a=0.001的独立性检验，认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛无

关

D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛有

关

【答案】AD

201

【详解】由表中数据可知，喜欢观看乒乓球比赛的观众中，女生的频率为2=

20+604

所以A正确；

男生中喜欢观看乒乓球比赛的频率为尸'=需=：，所以B错误;

由题意进行数据分析，得到2x2列联表如下:

喜欢不喜欢合计

男6040100

女2080100

合计80120200

200x(60x80-20x40)-_10(),

计算力-------------------------=----«.5.5.33.5>IU.OZO，

100x100x80x1203

所以依据小概率值a=0.001的独立性检验，认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛有关,

所以C错误；

所以在犯错误率不超过0.001的前提下认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛有关，所以

D正确；

故选：AD

10.（22・23・海口•二模）甲、乙两个盒子中各装有4个相同的小球，甲盒子中小球的编号依

次为1,2,3,4,乙盒子中小球的编号依次为5,6,7.8,同时从两个盒子中各取出1个

小球，记下小球上的数字.记事件A为“取出的数字之和为偶数〃，事件4为"取出的数字之

和等于9",事件C为“取出的数字之和大于9〃，则下列结论正确的是（）

A.A与3是互斥事件B.4与。是对立事件

C.A与C不是相互独立事件D.A与B是相互独立事件

【答案】AC

【详解】从两个盒子中取出的两个数字之和只有2种结果：偶数和奇数.而“数字之和为9〃

是结果为奇数的其中一种情况，所以事件A与5是互斥事件而不是对立事件，选项A正确.

从两个盒子各取1个小球，共有4x4=16种结果，其中数字之和为偶数的有8种；数字之和

等于9的有5+4,6+3,7+2,8+1这4种;数字之和大于9的有6+4,7+3,7+4,8+3,8+4,8+2

这6种.

所以P（A）=2=]P（A）=[=!，P（C）=2=].因为P（国+P（C）=：wl,所以5与C不

162164Iooo

是对立事件，选项B错误.

事件AC为“取出的数字之和为偶数且大于9”，其结果有4种：6+47+3,8+2,8+4.所以

P（AC）=怖=：,显然P（AC）WP（A）P（C）,所以A与C不是相互独立事件，选项C正确.

因为当取出的数字之和为偶数时，不可能出现取出的数字之和等于9这种情况，所以

P（A8）=0,而P（A）P（B）=：wO,所以A与8不是相互独立事件，选项D错误.

O

故选：AC.

11.（2L22下•宿迁•期末）如图，在边长为3的正方体A8cO-AFCiy中，用为8。边的

中点，下列结论正确的有（）

A.4W与。9所成角的余弦值为巫

10

B.过AM.。三点的正方体ABCD-A'BCD'的截面面积为卫也

4

C.P在线段夕〃上运动，则三棱锥O-A8尸的体积不变

D.Q为正方体表面8CC'"上的一个动点，分别为AC的三等分点，则|。£|十|。尸|

的最小值为VH

【答案】ACD

【详解】对于A,取。C的中点N,连接MM4N,如图，

因为BDUBD、MNHBD、所以,即/4MN或其补角是AM与少夕所成角.

3&

在4AMN中，AM=AN=,MN='cos=~~»故A正确.

F

对于B,过三点的截面如图所示，其中七为C。的中点,

所以四边形是等腰梯形，其高为，一哈所以截面面积为

Q1

丁，故B不正确.

O

对于C,因为3D〃4'Z>,8Du平面A3Z),所以877〃平面A8。，

因为P在线段*〃上运动，所以高与底面积为定值，三棱锥2-的体积不变，即三棱

锥A3尸的体积不变，故C正确.

对于D,如图，补形一个全等的正方体，

设G是C”靠近〃的一个三等分点，根据题意可得,

C'H=CA=3区AH=6,CE=瓜C'G=2上，

。卬+仁，2一人，227+27-361

cosNACH

2CACH_2x373x3^-3

所以EG?=CE2+CG2-ICE-CGcosZ4C'H=3+12-2x6x26xg=11,即EG

根据对称性可知|QE|=|如，所以IQEI+1。/RQEI+12GIN|印|,

当。为EG与平面BCCR的交点时，取到等号,即1。0+1。尸1的最小值为而.

故选：ACD.

12.（22・23・广州•模拟预测）在锐角.工6c中，角4氏。所对的边为4〃,c,若

sinBsinC=cosA+cosC且$走（/+从一/）,则，，的可能取值为（）

A.73B.2C.巫D.丽

25

【答案】ACD

【详解】在锐角中，由余弦定理及三角形面积定理得：

22

SABC=弓(。2+b-c)=^-abcosC=；absinC,

即有lanC=V5,而Ce(Og),则C=1,

_sinBsinCcosAcosC

又c一=----+----，

3sinAac

&b2+c2-a2a2+b2-c2

由正弦定理、余弦定理得，—一赤一,一病—，化简得：。=

-------------------------+---------------26,

3aac

a_b_c_25/5_

由正弦定理有：sinA-sin«-sinC~~，即。=4sinA,Z?=4sinB,

2

又,/WC是锐角三角形且C=5,有4w(0*)，B=：-Ae(0,[),解得

323262

因此a+Z?=4(sinA+sinB)=4[sinA+sin(--A)]

3

=4(sin>4+—cosA+—sinA)=4x/3sin(y4+—),

226

由从呜与得:…吗争，〃（A+凯仔1],

斫以二二——-~-e〔G，2）

所以"b4Gsin（A+*'

结合选项，上-的可能取值为白，叵，巫.

a+b25

故选：ACD

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3

分.）

13.（22・23上•上海•模拟预测）已知集合4=卜,2+62=0},4=卜版+1=0},若

则实数。的取值组成的集合是.

【答案】|-to1.

【详解】集合八=1产+1_2=0}={—2,1},3=k卬+1=0},

当5=0,即〃=0时，显然满足条件8uA；

当BN0时，即。工0,则笈={一卜，

因为所以8={-2}或8={1},即-1>=-2或-4=1,解得〃=:或〃=_1,

aa2

综上，实数〃的取值组成的集合是

故答案为：{T，°$卜

2222

14.（23・24上•郴州•一模）已知双曲线上—21=1（〃?>0,”0）和椭圆土+21=1有相同的焦

mn43

点，则士+工的最小值为.

mn

【答案】9

【详解】]+?=1的焦点坐标为（±1,。），故，〃+〃=『=],

,r41（41V\,4/7m._l4nm_

故一+—=—+—（〃?+〃）=4+—+—+125+2J---------=9,

mnImn）mn\inn

当且仅当例=%,即m时，等号成立，

mn33

41

故2+士的最小值为9.

mn

故答案为：9

15.（22.23•河北•模拟预测）在概率论中，全概率公式指的是：设C为样本空间，若A，4

是一组两两互斥的事件，AU4U・-4=。，则对任意的事件B=。，有

%8)二打4)2(8|4)+2(4"(8|4)+i+「(4〃(8|4).若甲盒中有5个红球、3个白球、

2个黑球，乙盒中有二个纥球、2个白球、3个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒,

再从乙盒中随机取出一个球，B="从乙盒中取出的球是红球〃，若则X的最大值

为.

【答案】7

【详解】设A="从甲盒里取出的是红球"，A2=”从甲盒里取出的是白球〃，4="从甲盒里

取出的是黑球”，故

131r4-1xX

P(A)=-,P(A)=—,P(A.)=-,P(B\A)=—P(B\A^=—,P(B\AO=—

.210y5x+6iix+6x+6

根据全概率公式可得P(8)=P(A)P(8|A)+P(4)P(8IA)+P(&)P(8|4)

1x+13x2x331

=：X一++解得所以X的最大值为7.

2x+610x+61()x+654

故答案为：7

16.(22・23下•烟台•期末)若是区间句上的单调函数，满足/(〃)>0,

且/”(力>。(/"(x)为函数/'(X)的导数)，则可用牛顿切线法求〃刈=0在区间［4以上的

根4的近似值：取初始值.%="依次求出)，=/(切图象在点鼠1，/(与7))处的切线与x轴

交点的横坐标王伙=1,2,3,…)，当5与J的误差估计值也1(m为|/'(力|(工€［。^)的最

m

小值)在要求范围内时，可将相应的Z作为4的近似值.用上述方法求方程f+2x-1=0在

-3"

区间上的根的近似值时,若误差估计值不超过0.01，则满足条件的女的最小值为____,

_4_

相应的々值为.

【答案】2卷

【详解】设/(X)=V+2K-1,则/'(力=3/+2,/〃(x)=6x,当xe(01］j"(x)=6x>0,

故可用牛顿切线法求/(H=o在区间句上的根4的近似值.

由于|/'(x)|=3W+2在0,-单调递增，所以|r(x)上2,所以/(X)的最小值为2,即

m=2,

)，=/(x)图象在点(％,/(%))处的切线方程为y=(3£+2)(x-k)+汇+2%-1,化简

得)，=(3叱+2*(2注+1),

2d+1

令丁=o,则

34+2

2日

+1+1

32x3+l124_2

由于/=〃=7，所以N=；：=

J人।4—=2'X•'M咱2"H

+2+2

『⑸唳卜出+234第十卷,

c5_5_5Y1221

加*=+2x1---±

17111JHII32讦＜荷＜丽'

故々作为J的近似值,

故答案为：2,

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（23・24上•黄冈•模拟预测）已知向量。=（23G+5—，）—2）,

71设/*）=〃力+2,且/㈤的图象关于点情,0卜j•称.

⑴若tanx呼，求小）的值;

⑵若函数Q）的图象与函数个）的图象关于直线上=?对称，且小）在区间考/上的

O"

值域为[-1,2],求实数/的取值范围.

【答案】⑴3

7171

⑵

11254

【详解】（1）

f(x)=ab+2=-4cosx+2一。cosx---0-2+2=-4cosx+--0sinIx+--0

3/\66/\3\3

=-2sin|2x+—-2^j=2sin|2x--71-20

33

若小）的图象关于点悟。）

对称,则二/_26=E(6wZ),

63

.•.-20=E+?丘Z),0=ku9丘Z).

2

6=一^1,/./(A)=2sin^2x-^.

若tanx=且，则痴2A2：inxcos；r=取二=迪,同理可得cos2x=；

2sin'x+cos~x1+tan-x77

2,巫垦A11

/(x)=2sin2x~~2|sin2xcos——cos2^sin—=1

\6)I66)~7

（2）若函数g（x）的图象与/（"的图象关于直线对称，则

O

Tt

-x=2sin2(~~x—兀=-2Osi-n(O2x——兀.

6J3

因为々WE,所以一二口一睦2”，

12633

而g（x）在一荒，上的值域为卜L2],

则TW-2sin(2x-gJv2,-2<2sin(2x-^nI<1,

3

c*57ri.JT-冗/冗

因为2sin=2sin——=1,所以—K2f—W—,

6236

弋“w，故，的取值范围为酷?

18.（2223•河南•模拟预测）己知数列｛q｝的前〃项和为S”，且满足

S〃=4T也=30-log2(SM+l).

⑴求数列｛q｝,｛2｝的通项公式;

a,a>h.,、

⑵定义。*力=<bawb'记％=%*"，求数列｛%｝的前20项和q.

【答案】⑴凡=2口bn=30-n

（2）1048679

【详解】⑴因为工=为“-1,当〃=1时，5.=2^-1,解得4=1；

当心2时，S.T=24T—1,所以s”-S“一1一2/一1一（％_]-1）,即。”=24“一2%，

所以%=2《一，即｛qj是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以4=2j

S“=2a“-1=2"-1,则bn=30-log2（S.+1）=30-/7.

（2）因为（=2"T,即数列｛%｝为递增数列，

2=30-〃,即数列也｝单调递减.

b、=29,4=28也=27,4=26也=25,4=24,…,

%=I,%=2,%=4,%=8,%=16,a&=32,,

所以当〃之6时，an>bnt当〃45时，an<bni

2，〃45,

所以％

之6.

所以G=。+H+4+仇+H+6++%0

53+4)32(1-2)

1-2

=135+220-32=1048679.

19.(23・24上•河南•阶段练习)如图1,在矩形A8CO中，AD=1,CD=2AD(2>0),延长

/M到点M,且M4=l.现将△M4。沿着AD折起，到达⑥%。的位置，使得P4_L/W,

如图2所示.过棱尸。的中点E作£E_LPC于点尸.

图I图2

⑴若AB=AO,求线段AF的长；

(2)若平面AEF与平面45CD夹角的余弦值为灰，求2的值.

6

【答案】⑴弓

(2)2

【详解】(1)因为四边形A8c。为矩形，所以尸A_LADCO_LA。,

因为Q4_LA3,ABr^AD=A,AB,AOu平面ABC。,

所以24_1_平面/\867),CDACu平面ABC。，

所以PA_LCDPA_LAC,

又尸AcA。=A,PA,4。u平面PAD,所以CQ_L平面PAD,

又AEu平面尸A。，所以C£>_LAE.

因为%=AO,点E'是PQ的中点，所以AE_LPD,

又PDcCD=D,PDCDu平面PC。，所以AE_L平面PC。,

PCu平面PC。，所以PC_LAE.

又EFtPC,AEcEF=E,AE,E/u平面AEF,

所以尸CL平面A/u平面AE/L所以夕CJ.A尸.

因为AA=/V）=1,所以4c=0,

R4ACIx&瓜

所以4尸二

PCa+(局3，

即线段4；的长为逅

3

（2）rll（1）可知A及4D/AP两两垂直,

所以以A为坐标原点，AA4XA尸所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(O,O,O),P(O,O,1),C(41,O),

所以PC=(41,—1),AP=(O,O/).

由（1）可知，AP=（O,O,l）是平面A8CO的一个法向量,

PC=（4L-1）是平面4所的一个法向量.

设平面AEF与平面A8CQ的夹角为

|AP.PC|1

贝|Jcose=cos(AP,PC)=一n一=~T~»解得义=2,

APPC&+2O

所以当平面AEF与平面A8C。夹角的余弦值为%的值为2.

20.（23.24上•湖南•模拟预测）某商场在6月20日开展开业酬宾活动.顾客凭购物小票从

6~20这15个号码中依次不放回地抽取2个号码，第1个号码为小第2个号码为从设X

是不超过2的最大整数,顾客将获得购物金额x倍的商场代金券（若x=。，则没有代金券）,

a

代金券可以在活动结束后使用.

⑴已知某顾客抽到的。是偶数，求该顾客能获得代金券的概率;

⑵求X的数学期望.

【答案】（1）方

嘘

【详解】（1）当时,该顾客能获得代金券.设“。是偶数"为事件4为事件几

则/>（钻）=（2°一6）+（20一8）++（2。78）=至=色

,7A：21015

4

8xl4_8P（A5）二后J

P（A）=所以P（B|4）=

P（A）12

15

所以当顾客抽到的〃是偶数时，该顾客能获得代金券的概率为千.

（2）X可能的取值为0,1,2,3.

当X=0时，h<a,则P（X=0）=；.

当X=1时，a+\<b<2a-\,若aNll,则a+lW〃工20.

对每一个0,力有20-。种不同的取值，则（。力）共有9+8++1=45种可能的取值.

若6WaW10,对每一个。沙有种不同的取值，则（四）共有5+6+7+8+9=35种可能

的取值，

所以P（X=I）=K=IT

当X=2时，2a<b<3a-\.

若则2n«0K20.对每一个小小有21-2〃种不同的取值，则（。力）共有7+5+3+1=16

种情况.

若〃=6,则①⑦）共有6种可能的取值.所以〃（X=2）==-=袅.

当X=3时，3a<b<4a-\,（〃力）只有（6,18）,（6,19）,（6,20）这3种情况，所以

31

P（X=3）=----=—.

'721070

所以E（X）=0x2+1x色+2x-L!-+3x-!-=@=”.

\，2211057021030

21.（22・23•宝鸡•模拟预测）已知点P是平面直角坐标系xO.v异于。的任意一点过点P作

直线4：y=巫工及:y=—正工的平行线，分别交x轴于M,N两点，且|OMf+1ON|2=8.

⑴求点P的轨迹。的方程；

⑵在x轴正半轴上取两点4肛0）,以小0）,且吠=4,过点4作直线/与轨迹C交于E,F

两点，证明：sinZE5A=sinZFBA.

【答案】⑴》今旧土扬

⑵证明见解析

【详解】（1）由题意,

2会，。）

设点。坐标为（不，%），则根据题意，得知卜）一耳)'o，°，N%+

2

rh|OM『+|QN|2=8得:

化简得：山小"所以轨迹。的方程为：不/K』扬

当在线/的斜率不存在时.，根据椭圆的对称性，sin/£S4=sin/FR4成立.

当直线/的斜率存在，由题意，设直线/的方程为：y=Mx-〃）、石（凡,凹）、尸（%,先），

30

-r-21-1

+=1

由,TT得：(3+4后2)/-8抬"LV+4A2〃『一］2—0.

y=k(x-m)

Sk2ma