高考数学二轮总复习专题能力训练13空间几何体理

专题能力训练13空间几何体能力突破训练1.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.5-14C.5+14 D2.(2022浙江,5)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.22π B.8π C.22π3 D3.(2022江苏苏锡常镇二模)已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.若该圆锥的底面半径为23,高为6,则球O的表面积为()A.32π B.48π C.64π D.80π4.(2022新高考Ⅰ,4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为(7≈2.65) ()A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m35.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从点M到点N的路径中,最短路径的长度为()A.217 B.25 C.3 D.26.(2022全国甲,理9)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2,则V甲A.5 B.22 C.10 D.57.(2022广西贵港高级中学三模)《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”,将底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图,在堑堵ABCA1B1C1中,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,则在堑堵ABCA1B1C1中截掉阳马C1ABB1A1后的几何体的外接球的体积与阳马C1ABB1A1的体积的比值为()A.1252π3C.252π6 D8.(2022广西南宁二模)已知圆台的上、下底面半径分别为1,2,母线长为2,AB为下底面的直径,若C为下底面圆周上的动点,D为上底面内的动点,则三棱锥CABD的体积的最大值为.

9.已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面为直角三角形,且内接于球O,若此三棱柱ABCA1B1C1的高为2,体积为1,则球O的半径的最小值为.

10.已知某几何体的三视图如图所示,图中网格纸上小正方形的边长为1,对该几何体有如下描述:①四个侧面都是直角三角形;②最长的侧棱长为26;③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形;④外接球的表面积为24π.其中正确的描述的序号为.

11.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.思维提升训练12.在三棱锥VABC中,△ABC是等边三角形,顶点V在底面ABC上的投影是底面的中心,侧面VAB⊥侧面VAC,则此三棱锥的体积与其外接球的体积的比值为()A.272π B.636π C.13.在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,底面ABC为钝角三角形,且AB=AC=2,S△ABC=3,二面角PBCA的度数为60°,则三棱锥PABC的外接球的表面积为()A.19π B.19π3 C.43π14.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得点D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥的体积最大为cm3.

15.如图①,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿对角线AC把矩形折成二面角DACB(如图②),并且点D在平面ABC内的射影落在AB上.图①图②(1)证明:AD⊥平面DBC;(2)若在四面体DABC内有一球,问:当球的体积最大时,球的半径是多少?

专题能力训练13空间几何体能力突破训练1.C解析如图,设正四棱锥的高为h,底面边长为a,侧面三角形底边上的高为h',则有h因此有h'2a22=12ah',化简得4h'a22.C解析该几何体的直观图如右图所示.它是由一个半球、一个圆柱和一个圆台组合而成的几何体,故该几何体的体积V=12×4π3×13+π×12×2+13π(12+22+1×2)3.C解析由题意可知球心O在圆锥的内部.设球O的半径为R,则R2=(23)2+(6R)2,解得R=4.故球O的表面积S=4πR2=64π.4.C解析由题意可得,此棱台的高h=157.5148.5=9(m).设水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为S1,水库水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为S2,则S1=140.0km2=1.4×108m2,S2=180.0km2=1.8×108m2,故该棱台的体积V棱台=13h(S1+S2+S1·S2)=13×9×(1.4×108+1.8×108+1.4×1即增加的水量约为1.4×109m3.故选C.5.B解析如图所示,易知N为CD的中点,将圆柱的侧面沿母线MC剪开,展平为矩形MCC'M',易知CN=14CC'=4,MC=2,从点M到点N的路径中最短路径为MN在Rt△MCN中,MN=MC2+6.C解析如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,则圆的周长为6π.设甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,由S甲S乙=2,可知2πr1=4π,2πr2=2π,则r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=5,h2=22,所以7.B解析在△ABC中,因为AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC,所以在堑堵ABCA1B1C1中,B1C1⊥平面ABB1A1.所以阳马C1ABB1A1的体积为13×3×5×4=在堑堵ABCA1B1C1中截掉阳马C1ABB1A1后得到三棱锥C1ABC,将堑堵ABCA1B1C1补形为长方体,易知长方体的外接球即为三棱锥C1ABC的外接球.设外接球的半径为R,则R=32所以外接球的体积为4所以所求比值为1258.433解析依题意,圆台的高为22又D为上底面内的动点,C为下底面圆周上的动点,所以点D到下底面的距离为3,点C到AB的距离最大为2.所以△ABC的面积最大为12×4×2=又VCABD=VDABC,所以三棱锥CABD的体积的最大值为13×9.62解析设底面直角三角形的两条直角边长分别为a,∵三棱柱ABCA1B1C1的高为2,体积为1,∴12ab·2=1,得ab=将直三棱柱ABCA1B1C1补成一个长方体,则直三棱柱ABCA1B1C1与长方体有同一个外接球,∴球O的半径为a2+b2∴球O的半径的最小值为610.①②④解析由三视图还原原几何体,如图所示,可知该几何体为四棱锥,PA⊥底面ABCD,PA=2,底面ABCD为矩形,AB=2,BC=4,则四个侧面都是直角三角形,故①正确;最长侧棱为PC,长为26,故②正确;由已知可得,PB=22,PC=26,PD=25,则四个侧面均不全等,故③错误;把四棱锥补形为长方体,则其外接球的半径为12PC=6,其表面积为4π×(6)2=24π,故④正确11.解(1)交线围成正方形EHGF如图所示.(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为9思维提升训练12.C解析由题意易知VA=VB=VC,且VA,VB,VC两两互相垂直.将三棱锥VABC放在正方体中,如图所示.设正方体的棱长为1,则此三棱锥的体积V1=13×12×1×1×1=16,外接球的半径R=3∴此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为V13.A解析取BC的中点D,连接AD,PD(图略),∵AB=AC,∴AD⊥BC.又PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,∴BC⊥平面PAD,∴PD⊥BC,∴∠PDA为二面角PBCA的平面角,∴∠PDA=60°.∵AB=AC=2,S△ABC=3,∴12×2×2sin∠BAC=3,∴sin又△ABC为钝角三角形,∴∠BAC=120°.∴BC=23,AD=1,∴PA=3设△ABC的外接圆的半径为r,则2r=23sin120°,解得r=2.设三棱锥PABC的外接球的半径为R,则由题意可知R2=r2+PA22故三棱锥PABC的外接球的表面积S=4πR2=19π.故选A.14.415解析如图所示,连接OD,交BC于点G.由题意知OD⊥BC,OG=36BC设OG=x,则BC=23x,DG=5x,三棱锥的高h=D因为S△ABC=12×23x×3x=33x所以三棱锥的体积V=13S△ABC·h=3x2令f(x)=25x410x5,x∈0,52,则f'(x)=100x350x4.令f'(x)则f(x)在区间(0,2)内单调递增,在区间2,所以f(x)max=f(2)=80.所以V≤3×80=415,所以三棱锥的体积最大为41515.(1)证明设点D在平面ABC内的射影为点H,则点H在AB上,连接DH,如图,则DH⊥平面ABC,所以DH⊥BC.又AB⊥BC,AB∩DH=H,所以BC⊥平面ADB,所以AD⊥BC.又AD⊥DC,DC∩BC=C,所以AD⊥平面DBC.(2)解当球