上海市实验学校2025届高三上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市实验学校2025届高三上学期期中考试数学试题一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若，则_____【答案】【解析】.2.设函数若则实数a的值为____________.【答案】或【解析】已知函数，当时，，解得或，舍去，所以；当时，，得.综上，或.3.函数的值域是_____________．【答案】【解析】∵y＝的定义域为R，∴方程y(1＋x2)＝x有实数解，即方程yx2－x＋y＝0有实数解，当y＝0时，x＝0，当y≠0时，则≥0，即1－4y2≥0，解得≤y≤且y≠0，综上，函数的值域为：.4.定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为_____．【答案】【解析】由题设中新集合定义可得：，，故，故其子集个数为，故答案为：.5.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则________【答案】【解析】，则由，有，即，的周期，故，又，故，则有，解得，又，故.6.已知平面向量，的夹角为，若，则的值为______.【答案】【解析】由两边平方得，即，即，解得.7.设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数________.【答案】13【解析】设，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得，由根与系数的关系可得，整理得，设、、在复平面上对应的点分别为、、，则，可知A，B关于x轴对称，若复平面上、、对应点构成直角三角形，则，即，解得，所以.8.已知圆，直线，直线被圆所截的最短弦长为_________【答案】【解析】圆的圆心，半径，直线，由，解得，则直线过定点，显然点在圆内，当时，直线被圆所截弦长最短，而，所以最短弦长为.9.已知函数在区间上单调递减，则的最大值为_____．【答案】【解析】，因为函数在区间上单调递减，所以，即在区间上恒成立，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以，所以的最大值为.10.设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为_________【答案】【解析】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为，根据椭圆的定义可知，所以，则，所以最小时，即最小，即定点到直线最短距离是过定点到直线的垂线段长，根据点到直线的距离公式可得，所以.11.若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______．【答案】【解析】设，则，，所以曲线在点处的切线方程为,化为．设，则，又设切线与曲线相切的切点为，由题，得，解得，则切点为．因为切点在切线上，则．12.已知函数的定义域为，且和对任意的都成立，若当时，的值域为，则当时，函数的值域为________【答案】【解析】令，则有，即当时，，又，∴即当时，的值域为∴当时，的值域为，，∴当时，的值域为，时，的值域为，依此类推可知，当时，的值域为，∴当时，的值域为又，当时，，∴综上，当时，函数的值域为.二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.“”是“直线和直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当，则直线分别为和直线满足平行，即充分性成立，若直线和直线平行，当时，直线分别为和，不满足条件，当时，满足，即，解得或，当时，两直线重合，故不满足条件，故，即必要性成立，综上“”是“直线和直线平行”的充要条件，故选：C．14.已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为对任意的，都有成立，所以，所以成立，构造，所以由上述过程可得在单调递增，（1）若，则对称轴，解得；（2）若，在单调递增，满足题意；（3）若，则对称轴恒成立；综上.故选：D.15.在正方体中，是底面的中心，是棱上的点，且，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为4，则，，，＝＝，平面的法向量，∴＝，∴＝，，，设平面的法向量，则，取，得，＝，∵，∴.故选：C.16.如图，将线段AB，CD用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B，C，并且在点B，C处的切线分别为直线AB，CD，那么下列说法正确的是（）命题甲：存在曲线满足要求命题乙：若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求A.甲命题正确，乙命题正确 B.甲命题错误，乙命题正确C.甲命题正确，乙命题错误 D.甲命题错误，乙命题错误【答案】B【解析】由图知点，直线的斜率分别为，则直线AB的方程为，直线CD的方程为，对于命题甲：曲线的导函数为，当时，，当时，，代入得，即，又由，得，而的取值集合为，要，必有，又当时，，，因此不存在，即方程组中a，b没有解，命题甲不正确；对于命题乙：当时，由，求导得，有，即，即当时，曲线满足要求，命题乙正确.故选：B.三、解答题（本大题满分78分）17.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，．（1）求证：平面PBC；（2）求四面体的体积．解：（1）连结，交于点，因为点分别是的中点，所以，因平面，平面，所以平面；（2）因为，所以是等边三角形，取的中点，面内连结，则，因为平面平面，且平面平面，所以平面，，且，所以.18.已知向量，，设函数．（1）当时，求函数的值域；（2）已知在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且，求面积的最大值．解：（1），，又，则，故，因此可得，即函数的值域为．（2）由（1）可知，又，所以，因为，所以，故，因为，由可知，，由基本不等式得，解得，当且仅当时，等号成立，故三角形面积，即面积最大值为1．19.某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表.类别选餐套餐面食选择人数503020平均每份取餐时长（单位：分钟）20.51已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐.（1）根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让80％的同学感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？（2）根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程.解：（1）由题意得，就餐高峰期时选择选餐的总人数为人；这100人平均分布在12个选餐窗口，平均每个窗口等待就餐的人数为人，所以选择选餐同学的最长等待时间为分钟，由可接受等待时长的频率分布直方图可知，分组为的频率分别为，所以可接受等待时长在15分钟以上的同学占，故设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，不能让80％的同学感到满意；（2）假设设置m个选餐窗口，n个套餐窗口，k个面食窗口，则各队伍的同学最长等待时间如下：类别选餐套餐面食高峰期就餐总人数1006040各队伍长度（人）最长等待时间（分钟）依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，则要求每个队伍的最长等待时间大致相同，即得，即有，而，故，因此建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口数分别为个.20.设椭圆的离心率，过点.（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆被直线截得的弦长.（3）直线与椭圆交于两点，当时，求值.（O为坐标原点）解：（1）由题意可知，解得，椭圆的方程为．（2）设椭圆与直线的交点为，，，，联立方程，消去得，，，因此（3）设，，联立方程，消去得，所以，，，得由，即，，均符合，故21.已知函数，若存在实数，使得，则称与gx为“互补函数”，为“互补数”.（1）判断函数与是否为“互补函数”，并说明理由.（2）已知函数为“互补函数”，且为“互补数”.（i）是否存在，使得？说明理由.（ii）