上海市2025年普通高校春季招生统一文化考试仿真模拟数学试卷01（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市2025年普通高校春季招生统一文化考试数学仿真模拟卷01一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．函数的定义域为．【答案】【解析】函数，则，解得且．故答案为：．2．直线的倾斜角是．【答案】【解析】因为直线的斜率为：，所以，所以直线的倾斜角为：．3．已知为虚数单位，复数，则．【答案】【解析】．4．的展开式中的常数项为.（用数字作答）．【答案】135【解析】根据二项式的展开式，1，，；令时，解得；故常数项为．5．在中，，，，的面积为．【答案】【解析】由正弦定理得，解得，因为，所以，所以．所以，所以的面积为．6．函数的最小值为．【答案】【解析】当时，，当且仅当，即时取等号．故答案为：．7．已知等差数列的前项和为，，，则的取值范围为．【答案】【解析】设等差数列的公差为，所以，由于，，所以，且，即，则，由得，故，即的取值范围为．8．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为．【答案】2【解析】圆化为，圆心为，半径为1，的渐近线方程为，双曲线的渐近线与圆相切，则，解得：，即，故．9．设若实数满足：，则的取值范围是．【答案】，【解析】的大致图像如图：设，则，且，，，故，当且仅当时，等号成立；故的取值范围是，．10．三棱锥中，，，两两垂直且相等，点，分别是和上的动点，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是．【答案】【解析】分别以，，为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则：，0，，，1，，设，，，，，0，，，，，，设和所成角为，则，，，即时，取最小值；，即时，取最大值，和所成角余弦值的取值范围是．11．已知圆，圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为．【答案】【解析】在直线上，设，圆与轴相切，圆为：，，又圆与圆外切，，解得，圆的标准方程为．12．我们称元有序实数组，，，为维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，0，，，2，，记范数为奇数的的个数为，则（用含的式子表示，【答案】【解析】当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，即0的个数为1，3，5，，，根据乘法原理和加法原理可得，，，两式相减可得；当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，即0的个数为0，2，4，，，根据乘法原理和加法原理可得，，，两式相减可得．综上可得：．二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13．已知，，是任意实数，且，则下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，均不成立，，则，，故，故正确；，，，满足，但，故错误．故选：．14．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项：对于，平行于同一个平面的两条直线可以平行、异面或相交，错误；对于，垂直于同一个平面的两条直线平行，正确；对于，平行于同一直线的两个平面可能相交，错误；对于，若，，则或，错误；故选：．15．设，为两个随机事件，以下命题正确的为A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则【答案】C【解析】对于：若，是对立事件，则，故错误；对于，若，是互斥事件，，，则，故错误；对于：若，则，则，是独立事件，故，也是独立事件，故正确；对于：若，是独立事件，，，则，也是独立事件，，，则，故错误．故选：．16．记，分别为函数，的导函数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“真实点”．若函数与有且只有一个“真实点”，则实数的值为A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，设是函数与的“真实点”，则，，则有，变形可得，若两个函数有且只有一个“真实点”，即方程有且只有一解，则有△，解可得，方程的唯一解，则有，解可得，故选：．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17．已知．（1）函数的最小正周期是，求，并求此时的解集；（2）已知，，求函数，的值域．解：（1）依题意，，解得，则，由，得，解得或，即或，所以的解集为或．（2）依题意，，，当时，，则有，，所以函数，的值域为．18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小．（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设，依题意得，0，，，1，，，0，，，1，，，所以，，则，所以，由已知，且，，平面，所以平面；（2）解：已知，由（1）可知平面，又平面，所以，故即为平面与平面的夹角，设点的坐标为，，，则，设，则有，，，1，，即，，，设，则有，解得，则点的坐标为，即，又点的坐标为，所以，所以，又为锐角，所以，即平面与平面的夹角大小为．19．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表：初一年级初二年级初三年级女生373男生377370已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的频率是0.19．（1）求的值；（2）现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？（3）在（2）中，若所抽取的初一年级、初二年级、初三年级三个年级学生的体重的平均数分别是，，，方差分别是1，2，3，估计该校所有学生体重的平均数和方差．解：（1），．（2）初三年级人数为，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为，（3）初一年级应抽取的学生的人数为，初二年级应抽取的学生的人数为，该校所有学生体重的平均数约为，该校所有学生体重的方差约为．20．已知椭圆与抛物线在第一象限交于点，，，分别为的左、右顶点．（1）若，且椭圆的焦距为2，求的准线方程；（2）设点是和的一个共同焦点，过点的一条直线与相交于，两点，与相交于，两点，，若直线的斜率为1，求的值；（3）设直线，直线分别与直线交于，两点，与的面积分别为，，若的最小值为，求点的坐标．解：（1）因为椭圆的焦距为2，所以，解得，则，解得，则椭圆，因为，在第一象限，，所以，所以，将点的坐标代入中，解得，则的准线方程为；（2）因为点是和的一个共同焦点，所以，解得，，则，，此时直线的方程为，联立，消去并整理得，设，，，，由韦达定理得，，所以，联立，消去并整理得，设，，，，由韦达定理得，，所以，若方向相同，此时，若方向相反，此时，故；（3）因为，，，三点共线，所以，解得，同理，由，，，三点共线，可得，此时，因为，所以，所以，又，则，因为，令，此时，所以，其中，因为，所以的开口向下，对称轴为，其中，故当时，取得最大值，最大值为，则的最小值为，令，解得，负值舍去，所以，解得，此时，又，所以，故点的坐标为．21．设函数在，上有定义，实数，满足．若在区间，上不存在最小值，则称在区间，上具有性质．（1）若函数，且在区间，上具有性质时，求常数的取值范围；（2）已知，且当时，，判别在区间，上是否具有性质，并说明理由；（3）若对于的任意实数和；函数在区间，上具有性质，且对于任意，当时，有：，证明：当时，．解：（1）当，时，在，上存在最小值；当，即时，在，上存在最小值（2）；当，即时，在，上单调递增，所以不存在最小值，所以的取值范围为，．（2）因为时，，所以在区间，上如果有最小值，则最小值必在区间，上取到；另一方面，当时，；当时，，此时在区间，上不存在最小值，所以在区间，上具有性质．（3）①首先证明对于任意，．当时，由，可知介于和之间．若，则在区间，上存在最小值，矛盾．利用归纳法和上面结论可得：对于任意，，当时，．②其次证明当且时，；当且时，．任取，设正整数满足，则．若存在使得，则，即．由于当时，，所以在区间，有最小值，矛盾．类似可证，当且时，．③最后证明：当时，．当时，（2）（1）成立．当时，由可知，存在