陕西省咸阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省咸阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列…的一个通项公式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由已知a1=1，可排除A、B、D，故选C.2.设数列为等比数列，若，，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则，解得，因此，数列的前项和为.故选：C.3.已知直线的方程是，的方程是（，），则下列各图形中，正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，直线与直线的斜率均存在直线的斜截式方程为；直线的斜截式方程为对于A选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应小于0，直线的纵截距应小于0，故A图象不符合；对于B选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应小于0，故B图象不符合；对于C选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故C图象不符合；对于D选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故D图象符合．故选：D．4.双曲线：的右顶点为A，点A到直线距离为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得，，且，所以.又，所以，，所以，.故选：C.5.已知两条异面直线的方向向量分别是，，这两条异面直线所成的角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设两条异面直线所成角为，且这两条异面直线的方向向量分别是，，则，且，所以两条异面直线所成的角，故选：A.6.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（）A.10 B.3 C. D.【答案】C【解析】由题得，所以到平面距离为，故选：C.7.已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称，得到直线与垂直，结合的斜率为1，得直线的斜率为，所以，化简得①再由的中点在直线上，，化简得②联立①②，可得，所以圆心的坐标为，所以半径为3的圆的标准方程为.故选：C8.中国自古就有“桥的国度”之称，福建省宁德市保留着50多座存世几十年甚至数百年的木拱廊桥，堪称木拱廊桥的宝库.如图是某木拱廊桥的剖面图是拱骨，是相等的步，相邻的拱步之比分别为,若是公差为的等差数列，且直线的斜率为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知因为所以，又是公差为的等差数列，所以，所以，故选:B二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知数列的前项和，则下列说法正确的有（）A.是递减数列 B.是等比数列C. D.【答案】ABC【解析】对于A，因为，所以，故，则，所以是递减数列，故A正确；对于B，当时，，当时，，经检验，满足，所以，故当时，，所以是等比数列，故B正确；对于C，由选项B知，故C正确；对于D，因为，，所以，故D错误.故选：ABC.10.已知三条直线：直线不能围成一个封闭图形，则实数的值可以是（）A. B.1 C.2 D.3【答案】ABC【解析】若中有两条相互平行，或三条线过同一点都不可以围成封闭图形，若，由两直线平行与斜率之间的关系可得；若，由两直线平行与斜率之间的关系可得；联立可得，可知的交点为，若交于同一点，可得，故选：ABC.11.在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由题意得.设的坐标为，若四边形为平行四边形，则，则，此时的坐标为.若四边形为平行四边形，则，则，，此时的坐标为.若四边形为平行四边形，则，则，此时的坐标为，故选：ABC12.新定义：如图，与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，交于P，Q两点（Q在P，H之间），我们把点Q称为关于直线a的“近点”，把的值称为关于直线a的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，1为半径作.若与直线l相离，点是关于直线l的“近点”，且关于直线l的“秘钥数”是6，则直线l的表达式为（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】过圆心作直线l的垂线，垂足为，直线与的交点分别为，其中点是关于直线l的“近点”，1.若直线l与x轴垂直，则，此时，不合题意；2.若直线l不与x轴垂直，设直线，则有：（1）若，则，，符合题意；（2）若，设直线l与x轴的交点为，因为，由，可得，结合（1）可知，分别过作x轴垂线，垂足分别为，可知，，可得，则，即，解得，可知直线l过，，则，解得，所以直线；综上所述：直线l的表达式为或.故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在等差数列中.若，则______．【答案】52【解析】由于数列是等差数列，则，得，所以，故答案是：52.14.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则______．【答案】4【解析】由抛物线方程，得其焦点坐标为，准线方程为，由抛物线的定义知，点在抛物线上，点到焦点的距离等于其到准线的距离，设点，得：，即，因为垂直轴于点，所以点的横坐标也为，则.故答案是：.15.当直线被圆截得的弦长最短时，实数______．【答案】【解析】将直线，化为，令，解得，所以直线过定点，又圆的标准方程为，则圆心为，由，则点在圆内，故当时，圆心到直线的距离取得最大值，此时直线被圆截得的弦长最短，则，解得．故答案为：．16.已知椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，若以为直径的圆与椭圆在第一象限交于点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为______．【答案】【解析】因为是等边三角形，所以，又，所以，则是直角三角形，且，又，，则，又P在椭圆上，故，即，所以，即椭圆E的离心率为.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知三角形三顶点，求：（1）边上的高所在的直线方程；（2）边的中线所在的直线方程.解：（1）边所在直线的斜率为，边上的高所在的直线的斜率为2.边上的高所在的直线方程为，即.（2）易知边的中点为，则边的中线过点和.所以边的中线所在直线方程为，即.18.圆锥曲线的方程是.（1）若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线，求的值.解：（1）若表示焦点在轴上的椭圆，则，解得（2）若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线，则，解得19.如图,在平行六面体中,,.设，，．（1）用基底表示向量，，；（2）证明：平面．解：（1）已知，，，得：，，．（2）设，又，则，且，则，得，即，同理可得，因为，，平面，平面，且，所以平面．20.已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8.（1）求等差数列的通项公式；（2）若，，成等比数列，求数列的前10项和.解：（1）设等差数列的公差为，则，，由题意得，解得或，所以或.故或；（2）当时，分别为，不成等比数列；当时，分别为成等比数列，满足条件.故，记数列的前项和为，..故数列的前10项和为.21.如图，在直角梯形中，，，.以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（1）将直角梯形绕着旋转得到直角梯形，故且，故四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因为，，，所以两两垂直，故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，设，则，设，则，设，则，解得，故，当时，此时与重合，直线和平面垂直，不满足所成角的正弦值为，舍去；当时，设平面的法向量为，则，令，则，故，设直线和平面所成角的正弦值为，则，解得或（舍去），综上，在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为，此时.22.已知抛物线：上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大1．（1）求抛物线的方程；（2）直线，满足，，交于，两点，交于，两点．求四边形面