陕西省西安市鄠邑区2024届高三上学期期末考试理科数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省西安市鄠邑区2024届高三上学期期末考试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，故选：C2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，解得，所以，则．故选：D3.跑步是一项健康的运动，可以让我们的身体更加强壮.某跑步爱好者坚持每天跑步，如图，这是该跑步爱好者某周跑步时长的折线图.该跑步爱好者这周跑步时长的中位数是（）A.25 B.35 C.37.5 D.39【答案】B【解析】将该跑步爱好者这周的跑步时长按从小到大的顺序排列为，则该跑步爱好者这周跑步时长的中位数是35.故选：B.4.已知抛物线的焦点为，点在上，且，则（）A.8 B.10 C.11 D.15【答案】B【解析】由抛物线的焦点为，点在上，且，根据抛物线的定义可得，解得，将代入抛物线，可得，所以．故选：B.5.已知是奇函数，则（）A.－1 B.1 C.－2 D.2【答案】B【解析】由函数，因为是奇函数，所以，即，整理得，解得，所以．故选：B.6.设数列是递增的等比数列，公比为，前项和为.若，则（）A.31 B.32 C.63 D.64【答案】A【解析】由题意可得，整理得，解得或，而，且数列是递增的等比数列，所以不符合题意，所以，则1，故.故选：A.7.如图，在长方体中，，异面直线与所成的的余弦值为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】连接，交于点，取的中点，连接.因为，所以与所成的角为（或其补角）.令，在中，由，得.又，，由余弦定理得，即，解得，所以.故选：C8.在中，在上，且在上，且．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，则．因为，所以，则．故选：C9.已知函数若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，作出的大致图象，如图所示，要使得，即函数与的图象有4个不同交点，则，所以实数的取值范围是．故选：A.10.已知为第一象限角，若函数的最大值是，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，则，解得，且为第一象限角，则，故.故选：D.11.已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在三棱锥中，平面，由二面角为，，得是正三角形，令其外接圆圆心为，则，令三棱锥外接球的球心为，球半径为，则平面，即有，显然球心在线段的中垂面上，令线段的中垂面交于，则，显然，于是，四边形是平行四边形，且是矩形，而，因此，所以三棱锥外接球表面积.故选：C12.若函数，的导函数都存在，恒成立，且，则必有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，设函数，则，所以单调递增，所以，即，因，所以，即.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.展开式的系数之和是______．（用数字作答）【答案】256【解析】令，得．故答案为：.14.设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则__________.【答案】【解析】由等差数列性质可得，则，又.故答案为：15.某企业举办职工技能大赛，经过层层选拔，最终等5名职工进入决赛．假设这5名职工的水平相当，则两人中至少有1人进入前3名的概率是______．【答案】【解析】由题意可知这5名职工最终的排名情况有种，其中两人中恰有1人进入前3名的情况有种，两人都进入前3名的情况有种，故所求概率．故答案为：.16.已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是______．【答案】【解析】如图所示，直线与轴交于点，设，则，因为，所以，又因为，当且仅当时，等号成立，所以，整理得，则，解得，所以双曲线的离心率为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在中，内角的对边分别是，且.（1）求的值；（2）若的周长为18，求的面积.解：（1）因为，，所以因为，所以，则.（2）因为，所以.因为，所以，解得.因为的周长为18，所以，解得，则.故的面积为.18.中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙．为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示：规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高．（1）从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；（2）将频率视为概率，现从该地41岁50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望．解：（1）抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为．（2）根据表格可知从41岁~50岁年龄段中随机抽取1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率，了解程度低的概率．由题意可知的可能取值为，则，，，，故的分布列为0123的数学期望．（也可以写成．）19.如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.证明：（1）证明：取的中点，连接.因为为圆弧的两个三等分点，所以.因为分别为中点，所以，则，从而四边形为平行四边形，故.因为平面平面，所以平面.解：（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，，则.设平面的法向量为，则令，得.设平面的法向量为，则令，得.设平面与平面所成锐二面角为，则.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.20.已知椭圆的离心率是，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程.（2）直线与椭圆交于（异于点）两点，记直线的斜率分别为，且，试问直线是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.解：（1）由题意可得，解得，，，则椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率为时，设，因为，则，从而，因为在椭圆上，所以，所以，则，不符合题意;当直线的斜率不为0时，设直线，联立，整理得，由题意可知，则，因为，所以，则，因为，所以，所以，将代入上式，得，则，整理得，即，因为，所以，故直线过定点.21.已知函数，.（1）讨论的单调性.（2）是否存在两个正整数，，使得当时，？若存在，求出所有满足条件的，的值；若不存在，请说明理由.解：（1），当时，，在上单调递减.当时，令，得.，，则在上单调递增，，，则在上单调递减.（2）由（1）知，令，得在上单调递增，在上单调递减，则.因为，所以，即，即，因为，为正整数，所以.当时，，因为，，所以，这与矛盾，不符合题意.当时，因为，，所以，所以，得，即.经检验，当，时，不符合题意，当，时，符合题意，当，时，因为，所以，当时，，，所以.综上，仅存在，满足条件.（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．［选修4－4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程是.（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）是圆上的动点，求点到直线的距离的最大值.解：（1）由（为参数），得，即，则直线的普通方程为.由，得，即，则圆的直角坐标方程为.（2）由（1）可知圆的圆心坐标为，半径为2，则圆心到直