陕西省教育联盟2025届高三上学期第一次模拟考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省教育联盟2025届高三上学期第一次模拟考试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】,，所以，故选：B．2.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，则，所以.故选：A.3.已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线方程为，又经过点，故，故双曲线方程为，故选：A4.“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的讲座，共有种排法；再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座，有种排法，故总共有种排法；故选：D.5.已知，，则（）A.8 B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D.6.为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（）参考数据：A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为．故选：A．7.已知定义在R上的函数满足，且f-1=2，则（）A. B.-2 C.4 D.2【答案】B【解析】因为且f-1=2，可得，由，可得，所以函数的一个周期为，则.故选：B.8.如图，在直三棱柱中，，，点，分别为棱，上的动点（不包括端点），若，则三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在直三棱柱中，平面，故为三棱锥的高，设，，则，由，得，故，则，故，故当时，三棱锥的体积有最大值．故选：D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知事件满足，则下列说法正确的是（）A.若，则B若与互斥，则C.若，则与相互独立D.若与相互独立，则【答案】BC【解析】因为．所以．故A错误；若与互斥．则，故B正确；因为．所以与相互独立．故C正确：因与相互独立．所以．所以，故D错误．故选：BC．10.已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为-1，则下列说法正确的是（）A.的所有零点之和是6 B.C. D.【答案】AB【解析】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象，再向右平移1个单位，可得的图象，最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示，则函数y=fx的图象关于直线对称，令，因为函数最小的零点为，且，故当时，方程gx=0有4所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或，由，可得或，设的四个根从小到大依次为，由函数y=fx的图象关于直线对称，可得，所以的所有零点之和是6，故A正确；关于的方程的两个实数根为和，由韦达定理，得，，所以B正确，C､D错误.故选：AB.11.已知曲线的方程为是以点为圆心､1为半径的圆位于轴右侧的部分，则下列说法正确的是（）A.曲线的焦点坐标为B.曲线过点C.若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为D.若曲线在的上方，则【答案】BCD【解析】对于A中，由曲线，抛物线的焦点坐标为，所以A错误；对于B中，圆的标准方程为：，点代入圆的方程得，所以圆过点，所以B正确；对于C中，设被所截得的线段为，中点为，联立方程组，整理得，可得，则，故，所以，代入，可得，解得，所以C正确；对于D中如图所示，曲线在的上方时，抛物线和圆无交点，联立方程组，整理得，由，解得，所以D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一组数据24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位数是____________．【答案】50【解析】先按照从小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78．共12个数据，，第9，10个数据分别为47，53，则第75百分位数为．13.在中，已知，为线段的中点，若，则______．【答案】【解析】根据题意，在中，已知，则，由于为线段的中点，则，又，、不共线，故，，所以．14.已知函数的图象经过点，且在轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有__________个，【答案】6【解析】因为函数的图象经过点，可得，即，又因为，所以，因为在轴右侧的第一个零点为所以，解得，所以，画出与在区间上的图象，如图所示，由图可知曲线与的交点有6个.故答案为：6.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知的内角的对边分别为.（1）求角；（2）若的面积为，求的长.解：（1）由，可得，因为所以，又由正弦定理得，根据余弦定理得，又因为，所以.（2）因为的面积为，可得，所以，由余弦定理可知，所以.16.已知函数在点1,f1处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.解：（1）因为，所以，则，因为函数在点1,f1处的切线与直线垂直，故，解得；（2）因为，所以，令，解得或，令f'x<0得或，令f'x列表如下：3f0+0↘极小值↗极大值↘故的单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.17.如图，已知平行六面体的所有棱长均相等，平面，为的中点，且.（1）求证：；（2）求平面与平面的夹角的正弦值.（1）证明：设是的中点，连接，因为是的中点，则.因为，所以，所以.因为平面，平面，所以，由平行六面体的性质可得：，所以.又因为，平面，所以平面.又平面，所以.（2）解：因为平面，平面，所以，则四边形是正方形，结合（1）的结论可知，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系：不妨设，则，，，，所以，，，.设平面一个法向量为m=x,y,z，则令，可得.设平面的一个法向量为n=a,b,c则，令，可得.设平面与平面夹角为，则.所以，即平面与平面的夹角的正弦值为.18.已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，是上两点（点，不同于点），直线，分别交直线于，两点，若，证明：直线过定点．解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意得，解得，故椭圆的标准方程为.（2）由（1）知F1-1,0，由题意可知直线的斜率不为0，否则位于轴同侧，，不符合题意；设的方程为，代入，得，由，设，则，所以，，直线的方程为，令，得，故，同理可得，所以，由，得，即，所以，所以，解得或（舍去），所以直线的方程为，故直线过定点.19.随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为.（1）试求，的值；（2）设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示（），并探究与和的关系；（3）设数列的通项公式为（），求该数列的前m项的和.解：（1）易得，不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则，不超过7且与7互素的正整数