猜想06 平行线的证明和三角形内角和定理（易错必刷36题9种题型）解析版

猜想06：平行线的证明和三角形内角和定理【聚焦题型】题型一：平行公理及其推论题型二：平行线的判定题型三：平行线的性质定理题型四：平行线性质的应用题型五：平行线的距离问题题型六：与平行线有关的三角形内角和问题题型七：与角平分线有关的三角形内角和问题题型八：三角形折叠的角度问题题型九：平行线和三角形交汇综合问题【题型通关】题型一：平行公理及其推论1．（2022上·河南鹤壁·八年级统考期中）下列命题中是真命题的是（

）A．相等的两个角是对顶角B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C．两边和其中一角分别相等的两个三角形全等D．在同一平面内，若，，则【答案】D【分析】根据对顶角的定义、平行线的性质、平行线的判定方法、三角形全等的判定方法逐项判断即可．【详解】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，故A是假命题；B、两条直线被第三条直线所截，只有当这两条直线平行时，同位角才会相等，故B是假命题；C、两边和两边的夹角分别相等的两个三角形全等，故C是假命题；D、在同一平面内，若，，则，故D是真命题．故选：D．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．（2017下·浙江台州·七年级台州市书生中学校考期中）下列命题中，真命题的个数是（

）①同位角相等；②a，b，c是三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．③a，b，c是三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；②，在同一平面内，a，b，c是三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故原命题是假命题；③a，b，c是三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，是真命题；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题是假命题，综上，真命题只有③一个，故选：A．【点睛】主要考查命题的真假判断，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定理．3．（2011·广东广州·中考真题）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b//a，c//a，那么b//c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c．其中真命题的是．（填写所有真命题的序号）【答案】①②④【详解】①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，②如果b//a，c//a，那么b//c是真命题，③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c是真命题，∴真命题有①②④，故答案为：①②④题型二：平行线的判定4．（2023上·四川成都·八年级统考期末）如图，由下列条件能判定的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线的判定作答即可．【详解】A项，不能判定，故本项不符合题意；B项

，不能判定，故本项不符合题意；C项，根据内错角相等，两直线平行能判定，故本项不符合题意；D.，不能判定，故本项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行，是解答本题的关键．5．（2023下·山东青岛·八年级统考期末）如图，在正六边形中，，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是（

）

A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．①④【答案】A【分析】①连接，交于点，证明，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得出结论；②证明，由全等三角形的性质得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论；③不能证明与全等，则可得出结论；④证明，得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论．【详解】解：①如图，连接，交于点，∵正六边形中，，∴和是等边三角形，∴，，又∵，∴，∴四边形是平行四边形，故①符合题意；②在正六边形中，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，故②符合题意；③∵，，，∴与不一定全等，不能得出四边形是平行四边形，故③不符合题意；④在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，故④符合题意．故选：A．

【点睛】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正六边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．6．（2023下·山东聊城·八年级统考期中）如图，是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行线的判定方法及平行四边形的判定可得出答案．【详解】解：、，，又，四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；、不能判断四边形是平行四边形，故本选项符合题意；、，，又，四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；、，，，，，四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．故选：．【点睛】此题考查了平行线的判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．7．（2023上·江苏淮安·八年级统考期末）如图，已知，，是的一个外角．

(1)用尺规作图法，求作直线，使；（保留作图痕迹，不写作法，并用2B铅笔描粗）(2)请说明（1）中你所作的直线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）作的平分线即可；（2）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角和角平分线的定义得到，进而利用平行线的判定可证得结论．【详解】（1）解：如图，直线即为所求作；

（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∵是的一个外角∴，∴，∴．【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、平行线的判定，涉及到等腰三角形的性质和三角形的外角性质，熟练掌握相关知识的运用，得到作平分线是解答的关键．8．（2023上·河北保定·八年级校考期末）如图，在中，，点F在上，(1)与平行吗？为什么？(2)如果，且，求的度数．【答案】(1)，理由见解答(2)【分析】（1）根据垂直得出，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可．【详解】（1）解：，理由如下：∵，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，能正确运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键，难度适中．9．（2023上·辽宁锦州·八年级统考期末）如图，是的角平分线，点E在的延长线上，交于点F，交于点G，在的延长线上取一点H，使．

(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的定义，通过等量代换证明，再根据平行线的判定可得结论；（2）根据平行四边形的性质求出，再由可得，根据角平分线的定义求出，再由平行线的性质可得，从而可得结论．【详解】（1）∵，∴．∵平分，∴．∵，∴．∴．（2）∵，∴，．∴．∵平分，∴．∵，∴．∴．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，熟练掌握相关性质是解决本题的关键．题型三：平行线的性质定理10．（2023上·河南南阳·八年级统考期末）如图，点，，，在同一直线上，，，，则的长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行线的性质得出，，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【详解】解：，，，，在与中，，，，，，，，故选：．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．11．（2023下·河南平顶山·八年级统考期末）如图，直线，点A和点B分别在直线a和b上，点C在直线a、b之间，且，，，则的度数是（

）

A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据角的和差求出，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图，

∵，，∴，∵，∴，∵，∴，故选：D．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记“等腰三角形的两底角相等”是解题的关键．12．（2023下·广西河池·八年级统考期末）如图，是等边三角形，是内一点，，，，，则的周长是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】延长交于，延长交于，由条件推出四边形，四边形是平行四边形，，是等边三角形，得到，即可求出的周长．【详解】解：延长交于，延长交于，∵，，，∴四边形，四边形是平行四边形，∴，，∵是等边三角形，∴，∴，，∴，∴是等边三角形，同理：是等边三角形，∴，，∴，∴，∴的周长为：，即的周长是．故选：B．

【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是由等边三角形的性质，平行四边形的性质证明．13．（2023下·安徽宿州·八年级校考期末）如图，在平行四边形中，，平分交于点，若，则的度数是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行四边形的邻角互补、对边平行求出，，根据角平分线定义及角的和差求出，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，平分，，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．14．（2023下·四川·八年级统考期末）已知直线，将以，为两腰的等腰的顶点P，N按如图所示的方式分别放在a，b上，若，，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】设直线与交于点，如图所示，先利用等腰三角形的性质求得，然后利用三角形的内角和定理求得的度数，再利用平行线的性质求得的度数，即可求得．【详解】解：设直线与交于点，如图所示，

∵，，∴，∴中，，∵，，∴，∴．故选：【点睛】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线性质的正确运用是解题的关键．15．（2023上·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期末）如图，，，则为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形的外角的性质可得，再根据可得，从而解决问题．【详解】

∵，∴．∵，∴．故选：C【点睛】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．题型四：平行线性质的应用16．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，中，点，分别是边，上的点，且，将沿翻折，使点的对称点落在边上，若，，，则的周长是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据折叠的性质和平行线的性质证明，，易得是的中位线，根据中位线的性质即可求解．【详解】解：如图，由翻折的性质可得：，

∵∴，，∴，∴，∴，同理可证：，∴是的中位线，，∵，，∴，，∴的周长是，故选：A．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，中位线的判定，折叠的性质，平行线的性质等，证明出是的中位线是解题的关键．17．（2022下·陕西榆林·八年级统考期末）如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，则下列结论：平分；平分；；．其中正确结论的有（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等边对等角，平行四边形的性质，平行线的性质即可证明正确；根据线段垂直平分线的判定即可证明正确；根据平行线的性质，等角对等边即可证明正确；根据线段垂直平分线的判定即可证明正确；即可得出答案．【详解】解：证明：，，四边形是平行四边形，，，，平分，正确；，，，平分，正确；，，，，，正确；，，点一定在的垂直平分线上，即垂直平分，，故正确．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．18．（2023上·四川成都·八年级统考期末）已知，现将一个含角的直角三角尺按如图方式放置，其中顶点F、分别落在直线，上，交于点，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由对顶角相等可得，再由平行线的性质可得，最后根据平行线的性质可得的度数．【详解】解：交于点，，，，，，，．故选：B．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．题型五：平行线的距离问题19．（2023下·湖南永州·八年级统考期末）如图，线段固定，直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的大小；④直线，之间的距离；⑤的面积．其中随着点的移动而不改变的是（

）

A．①②④ B．①④⑤ C．②③④ D．③④⑤【答案】B【分析】由中位线定理知，故不变；由图知，周长，随点移动而变化；如图，过点M作，垂足为点I，延长，交直线于点J，可证，于是，直线l与直线间的距离，为定值，直线，之间的距离不变；不随点运动而变化．【详解】如图，点，分别为，的中点∴，故不变；周长，，随点移动而变化，故周长变动；由图可知，随点移动而变化；如图，过点M作，垂足为点I，延长，交直线于点J，∵∴，又∴∴长度即直线l与直线间的距离，为定值，不随着点的移动改变；∴长度，即直线，之间的距离不变；∴不随点运动而变化．综上所述：①④⑤不随点P的移动而变化；故选B

【点睛】本题考查两平行线间的距离，中位线定理，全等三角形判定与性质，理解中位线的性质定理是解题的关键．20．（2022下·浙江金华·八年级统考期末）如图，在中，E点在BC边上，P．Q是AD边上的两点（P在Q的左侧）、若PB与AE相交于R点，QB与AE相交于S点，则下列对的面积大小判断正确的是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平行线之间的距离处处相等，可得△PBE、△QBE有同底和相等的高，即可得△PBE的面积＝△QBE的面积；由图可得△BRE的面积＞△BSE的面积，可得△PRE的面积＜△QSE的面积．即可判断．【详解】解：①△PBE、△QBE如图所示：两个三角形有相同的底BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵平行线之间的距离处处相等，∴△PBE、△QBE有相等的高，∴△PBE的面积＝△QBE的面积；②∵△PBE的面积＝△QBE的面积，

∴△PRE的面积+△BRE的面积＝△QSE的面积+△BSE的面积，由图可知：△BRE的面积＞△BSE的面积，∴△PRE的面积＜△QSE的面积．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，三角形的面积，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．21．（2022下·河北承德·八年级统考期末）如图，点A、B为定点，定直线，点P是l上一动点，点M、N分别为PA、PB的中点，对于下列各值：①线段MN与AB的比值；②的面积；③的周长；④直线MN、AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中随着点P的移动而变化的是（

）A．②③ B．②⑤ C．③⑤ D．①②④【答案】C【分析】求出AB长为定值，P到AB的距离为定值，再根据三角形的中位线即可判断①②④；根据运动得出PA+PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化，即可判断③⑤．【详解】∵A、B为定点，∴AB长为定值，∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN=AB为定值，故①不正确；∵点A，B为定点，定直线l//AB，∴P到AB的距离为定值，∴△PAB的面积为定值．故②④不正确；当P点移动时，PA+PB的长发生变化，∴∆PAB的周长发生变化，故③正确；当P点移动时，∠APB发生变化，故⑤正确；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理的应用，能熟记三角形的中位线定理是解此题的关键，用了运动观点的思想．题型六：与平行线有关的三角形内角和问题22．（2022上·浙江杭州·八年级翠苑中学校联考期中）如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②为等腰三角形；③的周长等于的周长；④．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出∠DBF＝∠DFB；②同理可得②的结论；③用特殊值法，当为等边三角形时，连接，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出，进而得，便可得出；的周长不等于的周长；④利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的和之间的关系式．【详解】解：①∵是的角平分线，∴，又，，，故①正确；②同理，，为等腰三角形故②正确；③假设为等边三角形，则，如图，连接，∵，，的周长，∵F是的平分线的交点，∴第三条平分线必过其点，即平分，∵为等边三角形，∴，∴，，，，，，即的周长的周长，故③错误；④在中，（1），在中，，即（2），得，故④正确；故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，以及三角形内角和定理解答，涉及面较广，需同学们仔细解答．尤其是第③小题在常规方法不能判断正误时，可采用的特殊值法进行判断，也即是举反例的方法．23．（2022上·广东茂名·八年级统考期末）如图，直线AB∥CD，，，则等于（

）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】B【分析】设CD交BE于点F，根据AB∥CD，可得∠CFE=∠B=60°，再根据三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：如图，设CD交BE于点F，∵AB∥CD，，∴∠CFE=∠B=60°，∵∠CFE+∠C+∠E=180°，，∴∠E=180°-∠C-∠CFE=80°．故选：B【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握两直线平行，同位角相等；三角形的内角和等于180°是解题的关键．24．（2021·浙江·九年级专题练习）将一副三角板按如图所示的方式放置，，，，且点在上，点在上，AC∥EF，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】∵AC∥EF，∴∠DBE=∠C=45°，∴∠FBD=135°，∵∠E=60°，∠EDF=90°，∴∠F=30°，∴∠FDC=∠F+∠FBD=30°+135°=165°，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．题型七：与角平分线有关的三角形内角和问题25．（2023·广东揭阳·统考一模）如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（）

A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】由题意推出，在中，，即可求出的长，进而可求出的长．【详解】解：，，，平分，，，，点是的中点，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键在于根据已知推出．26．（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，平分，平分，点是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接并延长，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的外角性质计算，得到．根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，求出．【详解】解：连接并延长，

点是、的垂直平分线的交点，，，，，是的一个外角，，同理，，，，，平分，平分，，，，，故选：B．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．27．（2022上·广东深圳·八年级校考期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积等于的面积；②；③；④．其中正确的是（

）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义和三角形外角性质、等腰三角形的判定可对②进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义可对③进行判断．【详解】解：是中线得到，，故①正确；，是高，∴，，是角平分线，，，，，，故②正确；，，，而，，故③正确．根据已知条件不能推出，即不能推出，故④错误；故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高线等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．题型八：三角形折叠的角度问题28．（2023上·河南周口·八年级校联考期末）如图所示，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置．则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了三角形外角的性质及轴对称的性质，由轴对称的性质得出，再由，，即可得到，从而求出答案．【详解】解：如图所示，

由题意得：，，，，．故选：A．29．（2023上·重庆开州·八年级统考期末）如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】设，由翻折得，根据三角形内角和得到，求出，再利用三角形内角和求出的度数．【详解】解：设，由翻折得∵，∴解得，∴∴∴故选：A．【点睛】此题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，一元一次方程，正确掌握翻折的性质是解题的关键．30．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在中，，，平分，点E在上，把沿直线折叠，使点B落在点F处，连接，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，，平分，得，，根据折叠的性质得，，可得，即可得，根据得，即可得出结论．【详解】解：∵，，平分，∴，，∵沿直线折叠，使点B落在点F处，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了等边对等角，角平分线的性质，翻折的性质，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，正确计算．题型九：平行线和三角形交汇综合问题31．（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）如图，的三个内角的角平分线交于点O，过点O作，交于点D，的外角的角平分线交的延长线于点F．

(1)试判断与的位置关系，并说明理由．(2)求证：．【答案】(1)，理由见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再结合三角形外角的定义可得，即可求解；（2）根据角平分线的定义可得，再结合第（1）问的结果即可证明．【详解】（1）解：．∵三角形的三条角平分线交于点O，，∵，∴，又∵，∴，∴；（2）解：∵平分，平分，∴，∴．即．∵，∴．∴．【点睛】本题考查了几何证明题，涉及到角平分线的性质和三角形外角的性质等，灵活运用所学知识是关键．32．（2023下·江苏徐州·八年级统考期末）如图，在中，点在线段上，点在线段上，交于点，．

(1)求证：；(2)若平分，平分，交于点，且，求的度数．(3)若平分，平分，交于点，求和关系并说明理由．【答案】(1)见解答过程；(2)；(3)，理由见解答过程．【分析】（1）由，得出，结合，得出，即可证明；（2）由，，得出，，由平分，得出，进而得出，由平分，即可得出；（3）由平分，平分，得出，，由，得出，进而得出，根据三角形内角和定理得出，继而得出，即可得出．【详解】（1）证明：，，，，；（2）解：，，，，平分，，，平分，；（3）解：，理由如下：平分，平分，，，，，，在中，，，．【点睛】本题考查了三角形内角和定理及平行线的判定与性质，掌握角平分线的性质，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．33．（2023上·广东汕头·八年级统考期末）（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________，中线的取值范围是___________；（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系．

【答案】（1），；（2）见解析；（3）【分析】（1）通过证明，得到，在中，根据三角形三边关系可得：，即，从而可得到中线的取值范围；（2）延长至点，使，连接，通过证明，得到，由，，得到，在中，由三角形的三边关系得：；（3）延长于，使得，连接，延长交于，证明得到，证明得到，，在通过三角形内角和进行角度的转化即可得到．【详解】解（1）：如图1，延长至，使，连接，为边上的中线，，在和中，，，，在中，根据三角形三边关系可得：，即，，，，故答案为：，；（2）如图2中，延长至点，使，连接，

点是的中点，，在和中，，∴，∴，∵，，∴，在中，由三角形的三边关系得：，∴；（3）结论：，，如图3，延长于，使得，连接，延长交于，

，点是的中点，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，，，

，，即．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系以及三角形内角和定理，作出恰当的辅助线是解题的关键．34．（2023上·吉林·八年级校考期末）【感知】如图①，是等边三角形，是边上一点（点不与点，重合），作，使角的两边分别交边，于点，，且．若，则的大小是______度；【探究】如图②，是等边三角形，是边上一点（点不与点，重合），作，使角的两边分别交边，于点，，且．求证：；【应用】若是边的中点，且，其它条件不变，如图③所示，则四边形的周长为______．

【答案】；证明见解析；【分析】【感知】根据等边三角形的性质可知，求得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数；【探究】根据等边三角形的性质可知，推得，根据三角形的外角性质可推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明；【应用】根据等边三角形的性质可知，，推得，根据全等三角形的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，即可求出四边形的周长．【详解】【感知】解：∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：；【探究】证明：∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵是的外角，∴，∴，在△BED和中，，∴，∴；【应用】解：∵是等边三角形，，∴，，∵是的中点，，∴，由探究可知，∴，，∵，∴是等边三角形，∴，∴四边形的周长，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．35．（2023下·河北保定·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，连接，，，，动点从点出发，沿射线方向匀速运动，同时动点从点出发，沿线段匀速运动，当运动到点时停止运动，设运动的时间为(1)求证：四边形为平行四边形.(2)若点的运动速度为，点的运动速度为，当运动到以，，，为顶点的四