清单01 三角形（10个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）原卷版

清单01三角形（10个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）【知识导图】【知识清单】考点一．三角形（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．（4）三角形具有稳定性．1．（2022秋•金平区期末）如图，图中三角形的个数共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．（2022秋•岳麓区校级期末）已知一个三角形的周长为15厘米，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为．考点二．三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．3．（2022秋•龙马潭区期末）画△ABC的BC边上的高，正确的是（）A． B． C． D．4．（2022秋•荣昌区期末）下列说法中正确的是（）A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线 B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 C．钝角三角形的三条高都在三角形外 D．三角形的三条中线总在三角形内5．（2022秋•南阳期末）已知△ABC（如图），按下列要求画图：（1）△ABC的中线AD；（2）△ABD的角平分线DM；（3）△ACD的高线CN；（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周长）且AB＝4，则AC＝．考点三．三角形的稳定性当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．6．（2022秋•白云区期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性7．（2022秋•北仑区期末）生活中，自行车的车架大多设计成如图所示的三角形，这是因为三角形具有．考点四．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）8．（2021秋•翔安区期末）如图，G是△ABC的重心，则下列结论正确的是（）A．AD⊥BC B．BD＝CD C．∠BAD＝∠CAD D．BD＝CD且AD⊥BC9．如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F，FH⊥BC，垂足为H．若S△ABC＝15，BC＝6，则FH长为．考点五．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．10．（2022秋•青秀区校级期末）三角形的三边长可以是（）A．2，2，4 B．2，3，5 C．2，4，5 D．2，4，611．（2022秋•新乡期末）如图，将长为8的线段AB分成三条线段AC，CD，BD，且AC＝BD＝a，若这三条线段首尾相连能够围成一个三角形，则a的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．512．（2022秋•安次区期末）在△ABC中，AB＝8，AC＝1．（1）若BC是整数，求BC的长；（2）已知AD是△ABC的中线，若△ACD的周长为10，求三角形ABD的周长．考点六．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．13．（2022秋•嘉鱼县期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点I．∠BIC＝115°，则∠A为（）A．70° B．65° C．50° D．30°14．（2022秋•莘县期末）如图，△ABC中，点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，若∠P＝2∠A，则∠A＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°15．（2022秋•花溪区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠A＝70°，求∠D的度数．16．（2022秋•章贡区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB．17．（2022秋•潍坊期末）通过学习第5章《几何证明初步》知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路．例如：在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，如图2，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角．求证：∠A+∠B+∠C＝180°．证明：延长BC，过点C作CM∥BA．∴∠A＝∠1，∠B＝∠2．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．（1）小明的证明过程依据有哪些？（写两条即可）（2）请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程．考点七．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．18．（2022秋•新华区校级期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70° B．80° C．90° D．100°19．（2022秋•昭阳区校级期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠DCE＝55°，则∠A等于（）A．65° B．75° C．85° D．95°考点八．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．20．（2022秋•江门期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E处，若∠B＝65°，则∠ADE的大小为（）A．40° B．50° C．65° D．75°21．（2022秋•宁波期末）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，则∠A的度数为（）A．25° B．75° C．55° D．65°22．（2022秋•岳麓区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，则∠B的度数为（）A．5 B．25° C．35° D．45°考点九．多边形（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．23．（2022秋•柳州期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．624．（2023秋•德惠市校级期末）一个凸多边形的内角中，最多有个锐角．25．（2022秋•西城区期末）在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，多边形边上的格点数为L．（1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：多边形面积S内部格点数N边上格点数LN+ⅠⅡ7488ⅢⅣ951010Ⅴ15.5111116.5（2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S与N+的数量关系可用等式表示为；（3）已知格点长方形ABCD，设其边长AB＝m，BC＝n，其中m，n为正整数．请以格点长方形ABCD为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．考点十．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．26．（2022秋•巩义市期末）如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的外角，则∠1+∠2+∠3的度数为（）A．180° B．210° C．240° D．270°27．（2022秋•密山市校级期末）十二边形的外角和是（）A．180° B．360° C．1800° D．2160°28．（2022秋•周村区期末）如果一个多边形的内角和等于其外角和的2倍，那么这个多边形是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形29．（2022秋•青云谱区期末）已知一个正多边形的内角和比外角和的3倍多180°，求这个正多边形的边数和每个内角的度数．30．（2022秋•新乡期末）一个各内角都相等的多边形截去一个角以后（截线不经过多边形的顶点），形成的另一个多边形的内角和比五边形的内角和多720°，求原多边形的边数及每个外角的度数．【核心素养提升】数学建模-构建方程模型求角度1．（2022秋•盐湖区期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．分类讨论思想2．（2022秋•番禺区校级期末）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为14，则它的周长为（）A．26 B．26或34 C．34 D．203．（2022秋•公安县期末）已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（）A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或80°4．（2022秋•睢阳区期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．所以m+n＝0，n﹣3＝0．所以m＝﹣3，n＝3．问题：（1）若x2+4y2+2xy﹣12y+12＝0，求xy的值；已知a，b，c是等腰△ABC的三边长，且a，b满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周长．数学运算-用转化的思想方法解决问题5．（2023春•侯马市期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的