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文档简介

2025届宝坻区第一中学高三下学期第六次检测数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.集合,则集合的真子集的个数是A.1个 B.3个 C.4个 D.7个2.已知曲线且过定点,若且,则的最小值为().A. B.9 C.5 D.3.已知l,m是两条不同的直线,m⊥平面α,则“”是“l⊥m”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知正方体的棱长为2,点在线段上,且,平面经过点,则正方体被平面截得的截面面积为()A. B. C. D.5.已知向量,若,则实数的值为()A. B. C. D.6.已知复数在复平面内对应的点的坐标为,则下列结论正确的是()A. B.复数的共轭复数是C. D.7.设,则()A. B. C. D.8.若不相等的非零实数,,成等差数列,且,,成等比数列,则()A. B. C.2 D.9.已知实数,满足约束条件,则目标函数的最小值为A. B.C. D.10.抛物线的焦点为,则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有()A.1个 B.2个 C.0个 D.无数个11.已知函数,,若方程恰有三个不相等的实根,则的取值范围为()A. B.C. D.12.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车,等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,设计两种乘车方案.方案一:不乘坐第一辆车,若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号,就乘坐此车,否则乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1,P2,则()A.P1•P2= B.P1=P2= C.P1+P2= D.P1<P2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设函数,则满足的的取值范围为________.14.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的T的值为________.15.如图,从一个边长为的正三角形纸片的三个角上,沿图中虚线剪出三个全等的四边形,余下部分再以虚线为折痕折起,恰好围成一个缺少上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底,则所得正三棱柱的体积为______.16.已知,那么______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列,,数列满足,n.(1)若,,求数列的前2n项和;(2)若数列为等差数列,且对任意n,恒成立.①当数列为等差数列时,求证:数列,的公差相等;②数列能否为等比数列?若能,请写出所有满足条件的数列;若不能,请说明理由.18.(12分)已知函数.(1)若函数,试讨论的单调性;(2)若,,求的取值范围.19.(12分)已知函数,其中,.(1)函数的图象能否与x轴相切?若能,求出实数a;若不能,请说明理由.(2)若在处取得极大值,求实数a的取值范围.20.(12分)已知动点到定点的距离比到轴的距离多.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设,是轨迹在上异于原点的两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,当,变化且时,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.21.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若函数在区间上的最小值为,求m的值.22.(10分)在底面为菱形的四棱柱中,平面.(1)证明:平面;(2)求二面角的正弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由题意,结合集合,求得集合,得到集合中元素的个数,即可求解,得到答案.【详解】由题意,集合,则,所以集合的真子集的个数为个,故选B.【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解,其中作出集合的运算,得到集合,再由真子集个数的公式作出计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.2、A【解析】

根据指数型函数所过的定点,确定,再根据条件,利用基本不等式求的最小值.【详解】定点为,,当且仅当时等号成立,即时取得最小值.故选:A【点睛】本题考查指数型函数的性质,以及基本不等式求最值,意在考查转化与变形,基本计算能力,属于基础题型.3、A【解析】

根据充分条件和必要条件的定义,结合线面垂直的性质进行判断即可.【详解】当m⊥平面α时,若l∥α”则“l⊥m”成立,即充分性成立,若l⊥m,则l∥α或l⊂α,即必要性不成立,则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件,故选:A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大,属于基础题4、B【解析】

先根据平面的基本性质确定平面,然后利用面面平行的性质定理,得到截面的形状再求解.【详解】如图所示:确定一个平面,因为平面平面,所以,同理,所以四边形是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为,所以,即所以由余弦定理得:所以所以四边形故选:B【点睛】本题主要考查平面的基本性质,面面平行的性质定理及截面面积的求法,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.5、D【解析】

由两向量垂直可得,整理后可知,将已知条件代入后即可求出实数的值.【详解】解:,,即,将和代入,得出,所以.故选:D.【点睛】本题考查了向量的数量积,考查了向量的坐标运算.对于向量问题,若已知垂直,通常可得到两个向量的数量积为0,继而结合条件进行化简、整理.6、D【解析】

首先求得,然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析,由此确定正确选项.【详解】由题意知复数,则,所以A选项不正确;复数的共轭复数是,所以B选项不正确;,所以C选项不正确;,所以D选项正确.故选:D【点睛】本小题考查复数的几何意义,共轭复数,复数的模,复数的乘法和除法运算等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数形结合思想.7、C【解析】试题分析:,.故C正确.考点:复合函数求值.8、A【解析】

由题意,可得,,消去得,可得,继而得到,代入即得解【详解】由,,成等差数列,所以,又,,成等比数列,所以,消去得,所以,解得或,因为,,是不相等的非零实数,所以,此时,所以.故选:A【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.9、B【解析】

作出不等式组对应的平面区域,目标函数的几何意义为动点到定点的斜率,利用数形结合即可得到的最小值.【详解】解:作出不等式组对应的平面区域如图:目标函数的几何意义为动点到定点的斜率,当位于时,此时的斜率最小,此时.故选B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.10、B【解析】

圆心在的中垂线上,经过点,且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等,圆心在抛物线上,直线与抛物线交于2个点,得到2个圆.【详解】因为点在抛物线上,又焦点,,由抛物线的定义知,过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种.故选:.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质,本题解题的关键是求出圆心的位置,看出圆心必须在抛物线上,且在垂直平分线上.11、B【解析】

由题意可将方程转化为,令,,进而将方程转化为,即或,再利用的单调性与最值即可得到结论.【详解】由题意知方程在上恰有三个不相等的实根,即,①.因为,①式两边同除以,得.所以方程有三个不等的正实根.记,,则上述方程转化为.即,所以或.因为,当时,,所以在,上单调递增,且时,.当时,,在上单调递减,且时,.所以当时,取最大值,当,有一根.所以恰有两个不相等的实根,所以.故选:B.【点睛】本题考查了函数与方程的关系,考查函数的单调性与最值,转化的数学思想,属于中档题.12、C【解析】

将三辆车的出车可能顺序一一列出,找出符合条件的即可.【详解】三辆车的出车顺序可能为:123、132、213、231、312、321方案一坐车可能:132、213、231,所以,P1=;方案二坐车可能:312、321,所以,P1=;所以P1+P2=故选C.【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法,常用列举法得到各种情况下基本事件的个数,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

当时,函数单调递增,当时,函数为常数,故需满足,且,解得答案.【详解】,当时,函数单调递增,当时,函数为常数,需满足,且,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了根据函数单调性解不等式,意在考查学生对于函数性质的灵活运用.14、【解析】

由程序中的变量、各语句的作用,结合流程图所给的顺序,模拟程序的运行,即可得到答案.【详解】根据题中的程序框图可得:,执行循环体,,不满足条件,执行循环体,,此时,满足条件,退出循环,输出的值为.故答案为:【点睛】本题主要考查了程序和算法,依次写出每次循环得到的,的值是解题的关键,属于基本知识的考查.15、1【解析】

由题意得正三棱柱底面边长6,高为,由此能求出所得正三棱柱的体积.【详解】如图,作,交于,,由题意得正三棱柱底面边长,高为,所得正三棱柱的体积为:.故答案为:1.【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意翻折前后的不变量.16、【解析】

由已知利用诱导公式可求,进而根据同角三角函数基本关系即可求解.【详解】∵,∴,,∴.故答案为:.【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)①见解析②数列不能为等比数列,见解析【解析】

(1)根据数列通项公式的特点,奇数项为等差数列,偶数项为等比数列,选用分组求和的方法进行求解;(2)①设数列的公差为,数列的公差为,当n为奇数时,得出;当n为偶数时,得出,从而可证数列,的公差相等;②利用反证法,先假设可以为等比数列,结合题意得出矛盾,进而得出数列不能为等比数列.【详解】(1)因为,,所以,且,由题意可知,数列是以1为首项,2为公差的等差数列,数列是首项和公比均为4的等比数列,所以;(2)①证明:设数列的公差为,数列的公差为,当n为奇数时,,若,则当时,,即,与题意不符,所以,当n为偶数时,,,若,则当时,,即,与题意不符,所以,综上,,原命题得证;②假设可以为等比数列,设公比为q,因为,所以,所以,,因为当时,,所以当n为偶数,且时,,即当n为偶数,且时,不成立,与题意矛盾,所以数列不能为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的求和及数列的综合,数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法,数列综合题要回归基本量,充分挖掘题目已知信息,细思细算,本题综合性较强,难度较大,侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.18、(1)答案不唯一,具体见解析(2)【解析】

(1)由于函数,得出,分类讨论当和时,的正负,进而得出的单调性;(2)求出,令,得,设,通过导函数,可得出在上的单调性和值域,再分类讨论和时,的单调性,再结合,恒成立,即可求出的取值范围.【详解】解:(1)因为,所以,①当时,,在上单调递减.②当时,令,则;令,则,所以在单调递增,在上单调递减.综上所述,当时,在上单调递减;当时,在上单调递增,在上单调递减.(2)因为,可知,,令,得.设,则.当时,,在上单调递增,所以在上的值域是,即.当时,没有实根,且,在上单调递减,,符合题意.当时,,所以有唯一实根,当时,,在上单调递增,,不符合题意.综上,,即的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围,还运用了构造函数法,还考查分类讨论思想和计算能力,属于难题.19、(1)答案见解析(2)【解析】

(1)假设函数的图象与x轴相切于,根据相切可得方程组,看方程是否有解即可;(2)求出的导数,设(),根据函数的单调性及在处取得极大值求出a的范围即可.【详解】(1)函数的图象不能与x轴相切,理由若下:.假设函数的图象与x轴相切于则即显然,,代入中得,无实数解.故函数的图象不能与x轴相切.(2)(),,设(),恒大于零.在上单调递增.又,,,∴存在唯一,使,且时,时,①当时,恒成立,在单调递增,无极值,不合题意.②当时,可得当时,,当时,.所以在内单调递减,在内单调递增,所以在处取得极小值,不合题意.③当时,可得当时,,当时,.所以在内单调递增,在内单调递减,所以在处取得极大值,符合题意.此时由得即,综上可知,实数a的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,属于难题.20、(1)或;(2)证明见解析,定点【解析】

(1)设,由题意可知,对的正负分情况讨论,从而求得动点的轨迹的方程;(2)设其方程为,与抛物线方程联立,利用韦达定理得到,所以,所以直线的方程可表示为,即,所以直线恒过定点.【详解】(1)设,动点到定点的距离比到轴的距离多,,时,解得,时,解得.动点的轨迹的方程为或(2)证明:如图,设,,由题意得(否则)且,所以直线的斜率存在,设其方程为,将与联立消去,得,由韦达定理知,,①显然,,,,将①式代入上式整理化简可得:,所以,此时,直线的方程可表示为,即,所以直线恒过定点.【点睛】本题主要考查了动点轨迹,考查了直线与抛物线的综合,是中档题.21、(1)见解析

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