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文档简介
安徽省淮南二中2025届高考冲刺模拟数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数是定义在上的奇函数,函数满足,且时,,则()A.2 B. C.1 D.2.的展开式中,满足的的系数之和为()A. B. C. D.3.若函数在处取得极值2,则()A.-3 B.3 C.-2 D.24.二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是()A.180 B.90 C.45 D.3605.若,则的虚部是A.3 B. C. D.6.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,若三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为()A.12 B. C. D.107.在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.设为锐角,若,则的值为()A. B. C. D.9.已知点是双曲线上一点,若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.210.已知函数(其中,,)的图象关于点成中心对称,且与点相邻的一个最低点为,则对于下列判断:①直线是函数图象的一条对称轴;②点是函数的一个对称中心;③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.其中正确的判断是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③11.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体,小圆柱底面半径为,大圆柱底面半径为,如图1放置容器时,液面以上空余部分的高为,如图2放置容器时,液面以上空余部分的高为,则()A. B. C. D.12.函数在的图象大致为A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知两点,,若直线上存在点满足,则实数满足的取值范围是__________.14.已知函数的图象在处的切线斜率为,则______.15.在的展开式中的系数为,则_______.16.已知向量满足,且,则_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),为上的动点,点满足,点的轨迹为曲线.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.18.(12分)如图,为坐标原点,点为抛物线的焦点,且抛物线上点处的切线与圆相切于点(1)当直线的方程为时,求抛物线的方程;(2)当正数变化时,记分别为的面积,求的最小值.19.(12分)已知椭圆过点且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为.(1)求椭圆C的标准方程:(2)设A是椭圆的左顶点,过右焦点F的直线,与椭圆交于P,Q,直线AP,AQ与直线交于M,N,线段MN的中点为E.①求证:;②记,,的面积分别为、、,求证:为定值.20.(12分)已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,,直线过点,且与抛物线交于,两点.(1)求抛物线的方程及点的坐标;(2)求的最大值.21.(12分)已知为坐标原点,单位圆与角终边的交点为,过作平行于轴的直线,设与终边所在直线的交点为,.(1)求函数的最小正周期;(2)求函数在区间上的值域.22.(10分)已知中,角所对边的长分别为,且(1)求角的大小;(2)求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
说明函数是周期函数,由周期性把自变量的值变小,再结合奇偶性计算函数值.【详解】由知函数的周期为4,又是奇函数,,又,∴,∴.故选:D.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性,掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础.2、B【解析】
,有,,三种情形,用中的系数乘以中的系数,然后相加可得.【详解】当时,的展开式中的系数为.当,时,系数为;当,时,系数为;当,时,系数为;故满足的的系数之和为.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理,掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键.3、A【解析】
对函数求导,可得,即可求出,进而可求出答案.【详解】因为,所以,则,解得,则.故选:A.【点睛】本题考查了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.4、A【解析】试题分析:因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以,,令,则,.考点:1.二项式定理;2.组合数的计算.5、B【解析】
因为,所以的虚部是.故选B.6、C【解析】
取B1C1的中点Q,连接PQ,BQ,CQ,PD,则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱,此直三棱柱和三棱锥P−ABC有相同的外接球,求出等腰三角形的外接圆半径,然后利用勾股定理可求出外接球的半径【详解】如图,取B1C1的中点Q,连接PQ,BQ,CQ,PD,则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱,所以该直三棱柱的六个顶点都在球O的球面上,的外接圆直径为,球O的半径R满足,所以球O的表面积S=4πR2=,故选:C.【点睛】此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系,及球的表面积公式,解题时要注意审题,注意空间思维能力的培养,属于中档题.7、D【解析】
将复数化简得,,即可得到对应的点为,即可得出结果.【详解】,对应的点位于第四象限.故选:.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.8、D【解析】
用诱导公式和二倍角公式计算.【详解】.故选:D.【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式,解题关键是找出已知角和未知角之间的联系.9、A【解析】
设点的坐标为,代入椭圆方程可得,然后分别求出点到两条渐近线的距离,由距离之积为,并结合,可得到的齐次方程,进而可求出离心率的值.【详解】设点的坐标为,有,得.双曲线的两条渐近线方程为和,则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为,所以,则,即,故,即,所以.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率,构造的齐次方程是解决本题的关键,属于中档题.10、C【解析】分析:根据最低点,判断A=3,根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T,再代入最低点可求得解析式为,依次判断各选项的正确与否.详解:因为为对称中心,且最低点为,所以A=3,且由所以,将带入得,所以由此可得①错误,②正确,③当时,,所以与有6个交点,设各个交点坐标依次为,则,所以③正确所以选C点睛:本题考查了根据条件求三角函数的解析式,通过求得的解析式进一步研究函数的性质,属于中档题.11、B【解析】
根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】在图1中,液面以上空余部分的体积为;在图2中,液面以上空余部分的体积为.因为,所以.故选:B【点睛】本题考查圆柱的体积,属于基础题.12、A【解析】
因为,所以排除C、D.当从负方向趋近于0时,,可得.故选A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
问题转化为求直线与圆有公共点时,的取值范围,利用数形结合思想能求出结果.【详解】解:直线,点,,直线上存在点满足,的轨迹方程是.如图,直线与圆有公共点,圆心到直线的距离:,解得.实数的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,属于中档题.14、【解析】
先对函数f(x)求导,再根据图象在(0,f(0))处切线的斜率为﹣4,得f′(0)=﹣4,由此可求a的值.【详解】由函数得,∵函数f(x)的图象在(0,f(0))处切线的斜率为﹣4,,.故答案为4【点睛】本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题,属于基础题.15、2【解析】
首先求出的展开项中的系数,然后根据系数为即可求出的取值.【详解】由题知,当时有,解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查了二项式展开项的系数,属于简单题.16、【解析】
由数量积的运算律求得,再由数量积的定义可得结论.【详解】由题意,∴,即,∴.故答案为:.【点睛】本题考查求向量的夹角,掌握数量积的定义与运算律是解题关键.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)(为参数);(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)设点,,则,代入化简得到答案.(Ⅱ)分别计算,的极坐标方程为,,取代入计算得到答案.【详解】(Ⅰ)设点,,,故,故的参数方程为:(为参数).(Ⅱ),故,极坐标方程为:;,故,极坐标方程为:.,故,,故.【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,弦长,意在考查学生的计算能力和转化能力.18、(1)x2=4y.(2).【解析】试题解析:(Ⅰ)设点P(x0,),由x2=2py(p>0)得,y=,求导y′=,因为直线PQ的斜率为1,所以=1且x0--√2=0,解得p=2,所以抛物线C1的方程为x2=4y.(Ⅱ)因为点P处的切线方程为:y-=(x-x0),即2x0x-2py-x02=0,∴OQ的方程为y=-x根据切线与圆切,得d=r,即,化简得x04=4x02+4p2,由方程组,解得Q(,),所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=点F(0,)到切线PQ的距离是d=,所以S1==,S2=,而由x04=4x02+4p2知,4p2=x04-4x02>0,得|x0|>2,所以==+1≥2+1,当且仅当时取“=”号,即x02=4+2,此时,p=.所以的最小值为2+1.考点:求抛物线的方程,与抛物线有关的最值问题.19、(1);(2)①证明见解析;②证明见解析【解析】
(1)解方程即可;(2)①设直线,,,将点的坐标用表示,证明即可;②分别用表示,,的面积即可.【详解】(1)解之得:的标准方程为:(2)①,,设直线代入椭圆方程:设,,,直线,直线,,,,,.②,所以.【点睛】本题考查了直接法求椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系中的定值问题,在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系,本题思路简单,但计算量比较大,是一道有一定难度的题.20、(1),;(2)1.【解析】
(1)根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等,可得p值,即可求抛物线C的方程从而可得解;(2)设直线l的方程为:x+my﹣1=0,代入y2=4x,得,y2+4my﹣4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=2+4m2,x1x2=1,(),(x2﹣2,),由此能求出的最大值.【详解】(1)∵点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,P(2,y0)是抛物线上一点,|PF|=3,∴23,解得:p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x,∵点P(2,n)(n>0)在抛物线C上,∴n2=4×2=8,由n>0,得n=2,∴P(2,2).(2)∵F(1,0),∴设直线l的方程为:x+my﹣1=0,代入y2=4x,整理得,y2+4my﹣4=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是y2+4my﹣4=0的两个不同实根,∴y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=(1﹣my1)+(1﹣my2)=2﹣m(y1+y2)=2+4m2,x1x2=(1﹣my1)(1﹣my2)=1﹣m(y1+y2)+m2y1y2=1+4m2﹣4m2=1,(),(x2﹣2,),(x1﹣2)(x2﹣2)+()()=x1x2﹣2(x1+x2)+4=1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8=﹣8m2+8m+5=﹣8(m)2+1.∴当m时,取最大值1.【点睛】本题考查抛物线方程的求法,考查向量的数量积的最大值的求法,考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.21、(1);(2).【解析】
(1)根据题意,求得,,因而得出,利用降幂公式和二倍角的正弦公式化简函数,最后利用,求出的最小正周期;(2)由(1)得,再利用整体代入求出函数的值域.【详解】(1)因为,,所以,,所以函数
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