重庆市黔江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

重庆市黔江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题：（共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．已知tanA=1，∠A是锐角，则∠AA．30° B．45° C．60° D．75°2．下列二次根式是最简二次根式的是（）A．13 B．24 C．15 3．设a，b是方程x2+x−2025=0的两个实数根，则A．2022 B．2023 C．2024 D．20254．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：OD=3：7，A．12 B．16 C．21 D．495．如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且OM：OP=4：5，则cosα的值等于()

A．34 B．43 C．456．在平面直角坐标系中，对于二次函数y=xA．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2C．当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x>2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可由y=x7．估算3×(2A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间8．四个完全相同的球上分别标有数字−2，−3，0，5，从这4个球中任意取出一个球记为a，放回后，再取出一个记为b，则a+b能被5整除的概率为（）A．38 B．516 C．589．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A(−3，−1)，B(0A．x<−3或x>0 B．x≤−3或x≥0C．−3<x<0 D．−3≤x≤010．若关于x的一元二次方程(2−a)x2−4x+2=0有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程3yA．20 B．18 C．16 D．14二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．计算：27−61312．已知a2=b3=13．将一元二次方程x2−8x+5=0化成(x+a)2=b（a、b为常数）的形式，则14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=75°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E．若DB=10cm，则AC=cm．15．如图，△ABC中，AB=AC，BC=60cm，AD⊥BC，AD=40cm，四边形PQRS为正方形，则此正方形的边长为cm.16．某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐，则甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率为．17．已知实数m，n满足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，那么求nm+m18．已知二次函数y=ax①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y1）和（−13，y2）在该图象上，则三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，20~26题每题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（1）计算：16−（2）解方程：x220．如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段AD上，AE=AB，完成下列作图和证明过程．（1）尺规作图：作∠BAD的角平分线交线段BC于点F，连接BE，EF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：AF⊥BE．证明：∵BF∥AE，∴▲．又∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠EAF．∴▲．∴AB=FB．又∵AB=AE，∴FB∥AE且FB=AE．∴▲．又∵AB=AE，∴四边形ABFE为菱形．∴AF⊥BE（▲）．21．某学校开展了“交通安全”宣传讲座，并在讲座后进行了满分为100分的交通安全知识测评，为了解测评情况，学校在八、九年级分别随机抽取了20名学生的成绩进行整理、分析（得分用整数x表示，单位：分），且分为A、B、C三个等级，分别是：优秀为A等级：85≤x≤100；合格为B等级：70≤x<85，不合格为C等级：0≤x<70．绘制成如下统计图表，下面给出了部分信息：20名八年级学生测评成绩的众数出现在A组，且八年级A组测评成绩分别为：89，91，92，92，92，92，92，95，97，99，100．20名九年级学生测评成绩的A组中共有a个人．成绩平均数中位数众数八年级86bc九年级869394根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a=，b=，c=；（2）根据以上数据，你认为该学校哪个年级的测评成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）现需从八、九年级A类学生中抽2名学生去参加区级交通安全知识竞赛，已知八年级有2名女生和1名男生报名，九年级有1名女生和2名男生报名，求恰好抽到一男一女参赛的概率．（请用画树状图或列表的方法）22．某长500米的水库大坝的横截面是的四边形ABCD，坝顶CD与坝底BA平行，已知坝高24米，背水坡AD的坡度i=1：0.5．为提高大坝防洪能力，现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽6米（即DF=6米），（1）求坝底加宽的宽度AE；（保留根号）（2）据相关部门统计，现有填筑土石方83130立方米，请问是否足够加固大坝所需？23．树人文具店准备购进甲、乙种软面抄笔记本，计划用2400元购买甲种笔记本，900元购买乙种笔记本，一个甲种笔记本和一个乙种笔记本的进价之和为15元，且购进甲种笔记本的数量是乙种笔记本数量的4倍．（1）求计划分别购买多少个甲种笔记本和乙种笔记本．（2）为回馈客户，生产厂家推出了一系列活动，每个甲种笔记本的售价降低了16，每个乙种笔记本的售价便宜了m10(m≠0)元，现在在（1）的基础上购买乙种笔记本的数量增加了5m个，但甲种笔记本和乙种笔记本的总数量不变，最终的总费用比原计划减少了(300+5m)24．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，动点M，N均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点M沿折线A→D→C方向运动，点N沿折线A→B→C方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点M，N的距离为（1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出点M，N相距超过3个单位长度时x的取值范围．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−1，0)，点B(3，0)（1）求抛物线的函数表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△AQC的周长最小，求点Q的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是抛物线上的一点，当△AQC和△AQP面积相等时，请求出所有点P的坐标.26．△ABC和△DEC是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE．（1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．（2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度α(0°<α<90°)，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．（3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，∠ADC=45°，CD=2，AD=4，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵tanA=1，A为锐角，tan45°=1，

∴∠A=45°．

故答案为：B.

【分析】依据tan45°=1求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：13=33，原式分母中含有二次根式，13不是最简二次根式，故A不符合；

24=4×6=26，原式被开方数中含有可开方的因数，24不是最简二次根式，故B不符合；

15=553．【答案】C【解析】【解答】解：∵a是方程x2+x-2025=0的实数根，

∴a2+a-2025=0，

∴a2+a=2025，

∵a，b是方程x2+x-2025=0的两个实数根，

∴a+b=-1，

∴a2+2a+b=a2+a+a+b=2025+（-1）=2024．故答案为：C.

【分析】先利用方程解的意义求得a2+a的值，再利用根与系数的关系求得a+b，然后整体代入求值.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，AO：AD=3：4，

∴OA：OD=3：7

∴S△ABC：S△DEF=9：49

∴5．【答案】C【解析】【分析】由于PM⊥OA于M，且OM：OP=4：5，所以cosα=OMOP故选：C．6．【答案】B【解析】【解答】解：二次函数y=x2-4x+5=（x-2）2+1，

A、∵a=1＞0，该函数的图象开口向上，

∴当x=2时y的最小值为1，故A不符合题意；

B、∴，对称轴为直线x=2，顶点为（2，1），当x=2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；A、B的说法不符合题意，C的说法符合题意；根据平移的规律，y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y=（x-2）2+1，D的说法不符合题意，故答案为：C．

【分析】将二次函数的一般式转换为顶点式，再利用二次函数的图象和性质及函数平移的特征逐项判断即可。7．【答案】A【解析】【解答】解：3×(273+3)=27+3=28+3，而27=28，25故答案为：A.

【分析】先求出28的范围，再求出28+3的范围即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中a+b能被5整除的概率结果有6种，

∴a+b能被5整除的概率为616=3

【分析】先画树状图，再数出所有等可能的结果数和符合条件的等可能的结果数，求出比值即可.9．【答案】A【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A（-3，-1），B（0，3），

∴不等式ax2+bx+c≥kx+m为：x≤-3或x≥0．故答案为：B.

【分析】利用抛物线的图象，只需写出抛物线在直线上方时x的取值范围．10．【答案】D【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（2-a）x2-4x+2=0有两个不相等的实数根，

∴42-8（2-a）＞0，且a-2≠0，

即a＞0且a≠2，

解关于y的分式方程3yy−2−a−102−y=1，可得y=4-12a且y≠2，

∵故答案为：D.

【分析】先根据一元二次方程有两个不相等的实数根，求得a的取值范围，再解分式方程得到y=4-111．【答案】2【解析】【解答】解：27-6故答案为：23

【分析】先计算开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．12．【答案】25【解析】【解答】解：设a2=故答案为：254

【分析】设a2=b13．【答案】7【解析】【解答】解：∵x2-8x+5=0，

移项得：x2-8x=-5，

∴x2-8x+16=11，

∴（x-4）2=11，

∴a=-4，b=11，

∴a+b=7，故答案为：7.

【分析】将常数项移到等号的右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方即可.14．【答案】5【解析】【解答】解：如图，连接AD，

∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，∠BAC=75°

∴AD=BD=10，∠DBA=∠BAD=15°．

∴∠ADC=30°，

∵∠C=90°，

∴AC＝1故答案为：.

【分析】连接AD，利用线段垂直平分线的性质求得AD与∠DBA，从而利用三角形外角的性质可求得∠ADC，再利用直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AC.15．【答案】24【解析】【解答】解：∵四边形PQRS是正方形，∴SR//PQ，∴△ASR∽△ABC，设正方形的边长为xcm，则SR=xcm，SR=DE=xcm，AE=(40−x)cm，∵△ASR∽△ABC，∴AE：AD=SR：BC，∵BC=60cm，AD=40cm，∴(40−x)：40=x：60，∴解得：x=24，即正方形的边长为24cm.故答案为：24.【分析】由正方形的性质可得SR∥PQ，易得△ASR∽△ABC，设正方形的边长为xcm，则SR=x=DE，AE=40-x，由相似三角形的对应边的比相等得比例式AEAD16．【答案】1【解析】【解答】解：画出树状图如图.一共有8种等可能性，其中甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的可能性有2种，

∴甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率为28＝14，

【分析】先画出树状图，再数出所有等可能性数与符合条件的等可能性数，求出比值即可.17．【答案】2或﹣6【解析】【解答】解：∵实数m，n满足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，

∴m、n是方程x2+2x-1=0的两根，

∴m+n=-2，mn=-1，

∴原式=m2+n2mn=(m+n)218．【答案】②④【解析】【解答】解：∵二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方，

∴a＜0，c＞0，

∵对称轴为x=1，

∴-b2a=1，

∴b=-2a＞0，

∴abc＜0，

故①、③都不正确；

∵当x=-1时，y＜0，

∴a-b+c＜0，

故②正确；

由抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一交点在2和3之间，

∴当x=2时，y＞0，

∴4a+2b+c＞0，

故④正确；

∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，

∴当x＜1时，y随x的增大而增大，

∵-2＜-13，

∴y1＜y2，

故⑤故答案为：②④.

【分析】根据二次函数的图象可判断a、b、c的符号，由此可以判断①的正误；根据当x=-1时二次函数的图象在x轴下方可判断②的正误；根据二次函数的图象的对称轴可判断③的正误；根据对称性可知当x=2时，函数值大于0，可判断④；根据二次函数的对称性可判断⑤；可得出答案．19．【答案】（1）解：16=4−1+2×=4−1+=5；（2）解：x2(x−3)(x−4)=0，x−3=0或x−4=0，解得x1=3【解析】【分析】(1)先求出零次方与30度角的余弦值，并判断绝对值内的符号后去掉绝对值，再作其他运算；

（2）利用因式分解法求解.20．【答案】（1）解：如图所示，（2）证明：∵BF∥AE，∴∠BFA=∠EAF，又∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠EAF，∴∠BAF=∠BFA，∴AB=FB，又∵AB=AE，∴FB∥AE且FB=AE，∴四边形ABFE为平行四边形，又∵AB=AE，∴四边形ABFE为菱形，∴AF⊥BE（菱形对角线互相垂直）；【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）先证明四边形ABFE是平行四边形，再说明四边形ABFE是菱形，利用菱形对角线的性质可得出结论．21．【答案】（1）12；90；92（2）解：由题意可得：九年级的测评成绩更好，理由如下：有样本数据可知，八、九年级测评成绩的平均数均为86，但九年级测评成绩的中位数是93，高于八年级测评成绩的中位数90，因此九年级更好；（3）解：列表如下：女1女2女3男1男2男3女1（女1，女2）（女1，女3）（女1，男1）（女1，男2）（女1，男3）女2（女2，女1）（女2，女3）（女2，男1）（女2，男2）（女2，男3）女3（女3，女1）（女3，女2）（女3，男1）（女3，男2）（女3，男3）男1（男1，女1）（男1，女2）（男1，女3）（男1，男2）（男1，男3）男2（男2，女1）（男2，女2）（男2，女3）（男2，男1）（男2，男3）男3（男3，女1）（男3，女2）（男3，女3）（男3，男1）（男3，男2）共有30种等可能的情况，其中恰好是1名男生和1名女生的情况有18种，则P（恰好是1名男生和1名女生）=18【解析】【解答】解：（1）a=20×（1-30%-10%）=12，

20名八年级学生的成绩按由小到大排列，第10个数为89，第11个数为91，

所以中位数为b=89+912=90，

八年级学生测评成绩的众数为c=92，

故答案为：12，90，92.

【分析】（1）先求出九年级学生测评成绩的A组人数a，根据中位数和众数的定义求出b和c的值；

22．【答案】（1）解：过点F作FH∥DA交BE于点H，过点F作FG⊥AB于点G，则FG=24m，∵FH∥DA，CF∥BE，∴四边形DAHF是平行四边形，∴DF=AH=6m，∠FHA=∠DAB，由题意可得，tan∠FHA=tan∠DAB=在Rt△FGH中，tan∠FHA=FGGH∴GH=12m，在Rt△FGE中，tan∠AEF=∴GE=83∴HE=GE−GH=(83∴AE=AH+HE=6+83（2）解：过点D作DM⊥AB于点M，由题意可得，DM=24m，tan∠DAB=2在Rt△DMA中，tan∠DAB=∴AM=12m，∴ME=AM+AE=12+83∴S四边形DAEF∴加固大坝的体积为963答：现有填筑土石方83130立方米，不够加固大坝所需．【解析】【分析】（1）过点F作FG⊥AB于点G，作FH∥AD交AE于点H，根据坡度的概念求出GH，进而求出HE，结合图形计算求出AE；

（2）根据梯形面积公式求出梯形DAEF的面积，进而求出需要的填筑土石方，比较大小得到答案．23．【答案】（1）解：设购买x个乙种笔记本，则购买4x个甲种笔记本，根据题意得：24004x解得：x=100，经检验：x=100是原方程的解，且符合题意，∴4x=400，答：购买400个甲种笔记本，则购买100个乙种笔记本；（2）解：根据题意得：现在每个甲种笔记本的售价为2400400每个乙种笔记本的售价为9001005×(400−5m)+(9−m整理得：m2解得：m1即m的值为10或20．【解析】【分析】（1）设计划购买x个乙种笔记本，则购买4x个甲种笔记本，根据一个甲种笔记本和一个乙种笔记本的进价之和为15元，列出分式方程，解方程即可；

（2）根据最终的总费用比原计划减少了（300+5m）元，列出一元二次方程，解方程即可．24．【答案】（1）解：y=x（2）解：对于y=x，当x=4时，y=4，对于y=8−x，当x=8时，y=0，函数图象如图：当0<x≤4时，y随x的增大而增大；（3）解：点M，N相距超过3个单位长度时，3<x<5．【解析】【解答】解：（1）∵菱形ABCD，AB=4，∴AD+DC=AB+BC=8，∠A=∠C=60°，∴总的运动时间为：8÷1=8秒，当点M在AD，点N在AB上运动时，即0<x≤4时，连接MN，由题意得AM=AN，∠A=60°，∴△AMN是等边三角形，∴y=x；当点M在CD，点N在CB上运动时，即4<x≤8时，如图所示：△CMN是等边三角形，∴CM=8−x，∴y=8−x；综上可得：y=

【分析】（1）根据菱形的性质得出AD+DC=AB+BC=8，∠A=∠C=60°，得出总的运动时间为8秒，分两种情况：当0＜x≤4时，当4＜x≤8时，根据等边三角形的性质解答即可；

（2）在直角坐标系中描点连线即可，再根据函数的增减性即可得出其性质；

（3）结合图象利用y=3分别求解即可．25．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−1，0)∴a−b+c=09a+3b+c=0∴a=1b=−2∴抛物线解析式为y=x（2）解：如图，连接CB交对称轴于点Q，∵抛物线解析式为y=x∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵点A，B关于对称轴x=1对称，∴AQ=BQ，∴AC+AQ+CQ=AC+CQ+BQ≥AC+BC，∴当C，B，Q三点共线时，△AQC的周长最小，∵C(0，−3)，设直线BC的解析式为y=kx+b∴3k+b∴k=1∴直线BC的解析式为y=x−3，在y=x−3中，当x=1时，y=−2，∴Q(1，（3）解：同理可求出直线AQ的解析式y=−x−1，过点C作AQ的平行线，交抛物线于点P1同理可求出直线P1C的解析式为联立y=−x−3y=x2−2x−3，解得∴P1∵直线AQ与y轴的交点为(0，−1)，点C(0，−3)到(0，−1)的距离为2个单位，根据平行线间间距相等可知将直线AQ向上平移2个单位，得到直线y=−x+1，其与抛物线的两个交点也符合题意，联立y=−x+1y=x2−2x−3同理可得P2(1+综上所述：点P的坐标为P1(1，−4【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入y=ax2+bx+c中可求出a、b、c的值，据此可得抛物线的解析式；

（2）连接CB交对称轴于点Q，根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=1，由轴对称的性质可得AQ=BQ，则AC+AQ+CQ=AC+CQ+BQ≥AC+BC，故当C，B，Q三点共线时，△AQC的周长最小，利用待定系数法求出直线BC的解析式，令x=1，求出y的值，据此可得点Q的坐标；

（3）同理可求出直线AQ的解析式，过点C作AQ的平行线，交抛物线于点P1，求出直线P1C的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，得到点P1的坐标，求出直线AQ的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，可得点P2、P3的坐标.26．【答案】（1）解：BD=AE，BD⊥AE，证明如下：在△BCD和△ACE中，∵∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE，∴△BCD≅△ACE，∴BD=AE，∵