素养提升10⇒天体运动中的三大问题

6/6天体运动中的三大问题题型一卫星的变轨和对接问题1.两类变轨的对比两类变轨离心运动近心运动示意图变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小万有引力与向心力的大小关系GMmr2＜GMmr2＞2.变轨前后各运行参量的比较（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1＜T2＜（4）机械能：在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1＜E2＜E3。①在A点，由圆轨道Ⅰ变至椭圆轨道Ⅱ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；②在B点，由椭圆轨道Ⅱ变至圆轨道Ⅲ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；反之也有相应的规律。卫星变轨问题中各物理量的比较【例1】神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功对接，对接过程如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，当经过A点时，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与核心舱对接，则神舟十二号飞船（）A.沿轨道Ⅰ运行的速度小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的速度B.在轨道Ⅰ上运行的周期大于在轨道Ⅱ上运行的周期C.神舟十二号飞船在飞向核心舱的过程中，引力势能增大，动能减小，机械能守恒D.在轨道Ⅰ上运动经过A点的加速度小于在轨道Ⅱ上运动经过A点的加速度听课记录卫星变轨问题中的能量变化【例2】2020年我国北斗三号组网卫星全部发射完毕。如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球的质量为m地，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为（不计卫星的质量变化）（）A.34mv2＋3Gm地m4rC.58mv2＋3Gm地m4r听课记录飞船对接问题【例3】（2024·南京模拟）2023年1月21日，神舟十五号3名航天员在400km高的空间站向祖国人民送上新春祝福，空间站的运行轨道可近似看作圆形轨道Ⅰ，设地球表面重力加速度为g，地球半径为R，椭圆轨道Ⅱ为载人飞船运行轨道，两轨道相切于A点，下列说法正确的是（）A.在A点时神舟十五号经过点火加速才能从轨道Ⅰ进入轨道ⅡB.飞船在A点的加速度小于空间站在A点的加速度C.空间站在轨道Ⅰ上的速度小于gRD.轨道Ⅰ上的神舟十五号飞船想与前方的空间站对接，只需要沿运动方向加速即可听课记录题型二天体的“追及”问题绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。相距最远当两卫星位于和中心天体连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，两卫星运动关系应满足（ωA－ωB）t'＝（2n－1）π（n＝1，2，3，…）相距最近两卫星的运转方向相同，且位于和中心天体连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，两卫星运动关系应满足（ωA－ωB）t＝2nπ（n＝1，2，3，…）【例4】（多选）我国的北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星共30颗卫星组成。如图所示，A、C为地球静止轨道卫星，B为在赤道平面的中圆地球轨道卫星，绕行方向均与地球自转方向一致。已知地球自转周期为T1，卫星B的运行周期为T2，图示时刻，卫星A与卫星B相距最近。下列说法正确的是（）A.卫星A、B、C的向心加速度的大小关系为aA＝aC＜aBB.卫星C向后喷气加速可沿圆轨道追上卫星AC.经过时间T1T2T1－D.卫星A、C的发射速度小于第一宇宙速度听课记录【例5】地球的两颗卫星绕地球在同一平面内做匀速圆周运动，环绕方向如图所示。已知卫星一运行的周期为T1＝T0，地球的半径为R0，卫星一和卫星二到地球中心的距离分别为R1＝2R0，R2＝8R0，引力常量为G，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为23π，下列说法正确的是（A.卫星二的机械能一定大于卫星一的机械能B.地球的质量M＝30C.卫星二围绕地球做圆周运动的周期T2＝4T0D.从图示时刻开始，经过t＝1621T0听课记录题型三双星、多星问题1.双星模型（1）定义：绕天体连线上某一点转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。（2）特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm1m2L2＝m1ω12r1，②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即m1m2⑤双星的运动周期T＝2πL3⑥双星的总质量m1＋m2＝4π

2.多星模型所研究星体所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星及规律：常见的三星模型①Gm2（2R）②Gm2L2×cos30°×常见的四星模型①Gm2L2×cos45°×2＋G②Gm2L2×cos30°×2＋【例6】如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食（像月亮挡住太阳）而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，地球距A、B很远，可认为地球保持静止，则（）A.恒星A、B运动的周期为T B.恒星A的质量小于B的质量C.恒星A、B的总质量为π2d3GT2 听课记录【例7】宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是（）A.直线形三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为GmB.直线形三星系统中星体做圆