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文档简介
2025届河南省高考数学五模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列与函数定义域和单调性都相同的函数是()A. B. C. D.2.一袋中装有个红球和个黑球(除颜色外无区别),任取球,记其中黑球数为,则为()A. B. C. D.3.已知点是双曲线上一点,若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.24.已知等差数列中,,,则数列的前10项和()A.100 B.210 C.380 D.4005.设a,b都是不等于1的正数,则“”是“”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6.已知是等差数列的前项和,若,,则()A.5 B.10 C.15 D.207.“是函数在区间内单调递增”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知与分别为函数与函数的图象上一点,则线段的最小值为()A. B. C. D.69.已知集合,,则()A. B.C. D.10.已知方程表示的曲线为的图象,对于函数有如下结论:①在上单调递减;②函数至少存在一个零点;③的最大值为;④若函数和图象关于原点对称,则由方程所确定;则正确命题序号为()A.①③ B.②③ C.①④ D.②④11.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,其中左视图中三角形为等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积是()A. B.C. D.12.已知函数,若所有点,所构成的平面区域面积为,则()A. B. C.1 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设命题:,,则:__________.14.若,则的最小值是______.15.平行四边形中,,为边上一点(不与重合),将平行四边形沿折起,使五点均在一个球面上,当四棱锥体积最大时,球的表面积为________.16.已知复数z1=1﹣2i,z2=a+2i(其中i是虚数单位,a∈R),若z1•z2是纯虚数,则a的值为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数f(x)=sin(2x-π(I)求f(x)的最小正周期;(II)若α∈(π6,π)且f(18.(12分)已知椭圆:()的离心率为,且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于,两点,为坐标原点.(1)若直线过椭圆的上顶点,求的面积;(2)若,分别为椭圆的左、右顶点,直线,,的斜率分别为,,,求的值.19.(12分)已知是抛物线:的焦点,点在上,到轴的距离比小1.(1)求的方程;(2)设直线与交于另一点,为的中点,点在轴上,.若,求直线的斜率.20.(12分)为增强学生的法治观念,营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围,某学校开展了“宪法小卫士”活动,并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50名学生,统计他们的竞赛成绩,已知这50名学生的竞赛成绩均在[50,100]内,并得到如下的频数分布表:分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数51515123(1)将竞赛成绩在内定义为“合格”,竞赛成绩在内定义为“不合格”.请将下面的列联表补充完整,并判断是否有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关?合格不合格合计高一新生12非高一新生6合计(2)在(1)的前提下,按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样,从这50名学生中抽取5名学生,再从这5名学生中随机抽取2名学生,求这2名学生竞赛成绩都合格的概率.参考公式及数据:,其中.21.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若点在曲线上,点在曲线上,求的最小值及此时点的坐标.22.(10分)如图所示,在四棱锥中,平面,底面ABCD满足AD∥BC,,,E为AD的中点,AC与BE的交点为O.(1)设H是线段BE上的动点,证明:三棱锥的体积是定值;(2)求四棱锥的体积;(3)求直线BC与平面PBD所成角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
分析函数的定义域和单调性,然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性,由此确定正确选项.【详解】函数的定义域为,在上为减函数.A选项,的定义域为,在上为增函数,不符合.B选项,的定义域为,不符合.C选项,的定义域为,在上为减函数,符合.D选项,的定义域为,不符合.故选:C【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性,属于基础题.2、A【解析】
由题意可知,随机变量的可能取值有、、、,计算出随机变量在不同取值下的概率,进而可求得随机变量的数学期望值.【详解】由题意可知,随机变量的可能取值有、、、,则,,,.因此,随机变量的数学期望为.故选:A.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算,考查计算能力,属于基础题.3、A【解析】
设点的坐标为,代入椭圆方程可得,然后分别求出点到两条渐近线的距离,由距离之积为,并结合,可得到的齐次方程,进而可求出离心率的值.【详解】设点的坐标为,有,得.双曲线的两条渐近线方程为和,则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为,所以,则,即,故,即,所以.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率,构造的齐次方程是解决本题的关键,属于中档题.4、B【解析】
设公差为,由已知可得,进而求出的通项公式,即可求解.【详解】设公差为,,,,.故选:B.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前项和,属于基础题.5、C【解析】
根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围,再利用充分必要条件的定义判断即可.【详解】由“”,得,得或或,即或或,由,得,故“”是“”的必要不充分条件,故选C.【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法,考查指数,对数不等式的解法,是基础题.6、C【解析】
利用等差通项,设出和,然后,直接求解即可【详解】令,则,,∴,,∴.【点睛】本题考查等差数列的求和问题,属于基础题7、C【解析】,令解得当,的图像如下图当,的图像如下图由上两图可知,是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念,以及函数图像的画法.8、C【解析】
利用导数法和两直线平行性质,将线段的最小值转化成切点到直线距离.【详解】已知与分别为函数与函数的图象上一点,可知抛物线存在某条切线与直线平行,则,设抛物线的切点为,则由可得,,所以切点为,则切点到直线的距离为线段的最小值,则.故选:C.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用,以及点到直线的距离公式的应用,考查转化思想和计算能力.9、C【解析】
求出集合,计算出和,即可得出结论.【详解】,,,.故选:C.【点睛】本题考查交集和并集的计算,考查计算能力,属于基础题.10、C【解析】
分四类情况进行讨论,然后画出相对应的图象,由图象可以判断所给命题的真假性.【详解】(1)当时,,此时不存在图象;(2)当时,,此时为实轴为轴的双曲线一部分;(3)当时,,此时为实轴为轴的双曲线一部分;(4)当时,,此时为圆心在原点,半径为1的圆的一部分;画出的图象,由图象可得:对于①,在上单调递减,所以①正确;对于②,函数与的图象没有交点,即没有零点,所以②错误;对于③,由函数图象的对称性可知③错误;对于④,函数和图象关于原点对称,则中用代替,用代替,可得,所以④正确.故选:C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,函数的图象与性质,函数的零点概念,考查了数形结合的数学思想.11、C【解析】
作出三视图所表示几何体的直观图,可得直观图为直三棱柱,并且底面为等腰直角三角形,即可求得外接球的半径,即可得外接球的体积.【详解】如图为几何体的直观图,上下底面为腰长为的等腰直角三角形,三棱柱的高为4,其外接球半径为,所以体积为.故选:C【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意球心的确定.12、D【解析】
依题意,可得,在上单调递增,于是可得在上的值域为,继而可得,解之即可.【详解】解:,因为,,所以,在上单调递增,则在上的值域为,因为所有点所构成的平面区域面积为,所以,解得,故选:D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,理解题意,得到是关键,考查运算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、,【解析】
存在符号改任意符号,结论变相反.【详解】命题是特称命题,则为全称命题,故将“”改为“”,将“”改为“”,故:,.故答案为:,.【点睛】本题考查全(特)称命题.对全(特)称命题进行否定的方法:(1)改写量词:全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;(2)否定结论:对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.14、8【解析】
根据,利用基本不等式可求得函数最值.【详解】,,当且仅当且,即时,等号成立.时,取得最小值.故答案为:【点睛】本题考查基本不等式,构造基本不等式的形式是解题关键.15、【解析】
依题意可得、、、四点共圆,即可得到,从而得到三角形为正三角形,利用余弦定理可得,且,要使四棱锥体积最大,当且仅当面面时体积取得最大值,利用正弦定理求出的外接圆的半径,再又可证面,则外接球的半径,即可求出球的表面积;【详解】解:依题意可得、、、四点共圆,所以因为,所以,,所以三角形为正三角形,则,,利用余弦定理得即,解得,则所以,当面面时,取得最大,所以的外接圆的半径,又面面,,且面面,面所以面,所以外接球的半径所以故答案为:【点睛】本题考查多面体的外接球的相关计算,正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.16、-1【解析】
由题意,令即可得解.【详解】∵z1=1﹣2i,z2=a+2i,∴,又z1•z2是纯虚数,∴,解得:a=﹣1.故答案为:﹣1.【点睛】本题考查了复数的概念和运算,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(I)π;(II)-【解析】
(I)化简得到fx(II)f(α2)=2sin【详解】(I)f(x)==2sin2x+(II)f(α2)=2sinα∈(π6,π),故α+故α+π12∈sin(2α+【点睛】本题考查了三角函数的周期,三角恒等变换,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18、(1)(2)【解析】
(1)根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点,由此求得,结合椭圆离心率求得,进而求得,从而求得椭圆的标准方程,求得椭圆上顶点的坐标,由此求得直线的方程.联立直线的方程和椭圆方程,求得两点的纵坐标,由此求得的面积.(2)求得两点的坐标,设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理,由此求得的值,根据在椭圆上求得的值,由此求得的值.【详解】(1)因为抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的右焦点的坐标为,所以,因为椭圆的离心率为,所以,解得,所以,故椭圆的标准方程为.其上顶点为,所以直线:,联立,消去整理得,解得,,所以的面积.(2)由题知,,,设,.由题还可知,直线的斜率不为0,故可设:.由,消去,得,所以所以,又因为点在椭圆上,所以,所以.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点,椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆,三角形的面积等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.19、(1)(2)【解析】
(1)由抛物线定义可知,解得,故抛物线的方程为;(2)设直线:,联立,利用韦达定理算出的中点,又,所以直线的方程为,求出,利用求解即可.【详解】(1)设的准线为,过作于,则由抛物线定义,得,因为到的距离比到轴的距离大1,所以,解得,所以的方程为(2)由题意,设直线方程为,由消去,得,设,,则,所以,又因为为的中点,点的坐标为,直线的方程为,令,得,点的坐标为,所以,解得,所以直线的斜率为.【点睛】本题主要考查抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查学生的运算求解能力.涉及抛物线的弦的中点,斜率问题时,可采用韦达定理或“点差法”求解.20、(1)见解析;(2)【解析】
(1)补充完整的列联表如下:合格不合格合计高一新生121426非高一新生18624合计302050则的观测值,所以有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关.(2)抽取的5名学生中竞赛成绩合格的有名学生,记为,竞赛成绩不合格的有名学生,记为,从这5名学生中随机抽取2名学生的基本事件有:,共10种,这2名学生竞赛成绩都合格的基本事件有:,共3种,所以这2名学生竞赛成绩都合格的概率为.21、(1);(2)最小值为,此时【解析】
(1)消
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