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文档简介
2025届安徽定远县炉桥中学高三第五次模拟考试数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数满足,则()A. B. C.2 D.2.设集合则()A. B. C. D.3.点是单位圆上不同的三点,线段与线段交于圆内一点M,若,则的最小值为()A. B. C. D.4.已知复数和复数,则为A. B. C. D.5.已知集合,则元素个数为()A.1 B.2 C.3 D.46.设是虚数单位,复数()A. B. C. D.7.若的展开式中含有常数项,且的最小值为,则()A. B. C. D.8.已知是虚数单位,若,则()A. B.2 C. D.109.若向量,则()A.30 B.31 C.32 D.3310.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是()A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B.全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C.全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势11.甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙、丙、丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是()A. B. C. D.12.已知全集,集合,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.直线过圆的圆心,则的最小值是_____.14.展开式中的系数为_________.15.已知函数在定义域R上的导函数为,若函数没有零点,且,当在上与在R上的单调性相同时,则实数k的取值范围是______.16.在中,已知是的中点,且,点满足,则的取值范围是_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的短轴长为,直线与椭圆相交于两点,线段的中点为.当与连线的斜率为时,直线的倾斜角为(1)求椭圆的标准方程;(2)若是以为直径的圆上的任意一点,求证:18.(12分)已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上,圆心在直线上的圆与轴相切,且关于点对称.(1)求和的标准方程;(2)过点的直线与交于,与交于,求证:.19.(12分)已知函数.(1)若在上单调递增,求实数的取值范围;(2)若,对,恒有成立,求实数的最小值.20.(12分)设函数.(1)若函数在是单调递减的函数,求实数的取值范围;(2)若,证明:.21.(12分)已知函数.(1)若,证明:当时,;(2)若在只有一个零点,求的值.22.(10分)已知数列的前项和为,且点在函数的图像上;(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足:,,求的通项公式;(3)在第(2)问的条件下,若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式计算.【详解】解:由题意知,,,∴,故选:D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法.2、C【解析】
直接求交集得到答案.【详解】集合,则.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.3、D【解析】
由题意得,再利用基本不等式即可求解.【详解】将平方得,(当且仅当时等号成立),,的最小值为,故选:D.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用,考查基本不等式的应用,属于中档题.4、C【解析】
利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出.【详解】z1z2=(cos23°+isin23°)•(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案为C.【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键,复数问题高考必考,常见考点有:点坐标和复数的对应关系,点的象限和复数的对应关系,复数的加减乘除运算,复数的模长的计算.5、B【解析】
作出两集合所表示的点的图象,可得选项.【详解】由题意得,集合A表示以原点为圆心,以2为半径的圆,集合B表示函数的图象上的点,作出两集合所表示的点的示意图如下图所示,得出两个图象有两个交点:点A和点B,所以两个集合有两个公共元素,所以元素个数为2,故选:B.【点睛】本题考查集合的交集运算,关键在于作出集合所表示的点的图象,再运用数形结合的思想,属于基础题.6、D【解析】
利用复数的除法运算,化简复数,即可求解,得到答案.【详解】由题意,复数,故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算,其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.7、C【解析】展开式的通项为,因为展开式中含有常数项,所以,即为整数,故n的最小值为1.所以.故选C点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项,再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.8、C【解析】
根据复数模的性质计算即可.【详解】因为,所以,,故选:C【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质,属于容易题.9、C【解析】
先求出,再与相乘即可求出答案.【详解】因为,所以.故选:C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.10、D【解析】
根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由绘制出的折线图知:在A中,各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关,故A正确;在B中,全年中,2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大,故B正确;在C中,全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5个,故C正确;在D中,从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值,先上升后下降,故D错误.故选:D.【点睛】本题考查了折线图,意在考查学生的理解能力.11、B【解析】
将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.【详解】设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为,则基本事件有,,,,,,,,,,共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为,故选:B.【点睛】本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.12、B【解析】
直接利用集合的基本运算求解即可.【详解】解:全集,集合,,则,故选:.【点睛】本题考查集合的基本运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
直线mx﹣ny﹣1=0(m>0,n>0)经过圆x2+y2﹣2x+2y﹣1=0的圆心(1,﹣1),可得m+n=1,再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.【详解】∵mx﹣ny﹣1=0(m>0,n>0)经过圆x2+y2﹣2x+2y﹣1=0的圆心(1,﹣1),∴m+n﹣1=0,即m+n=1.∴()(m+n)=22+2=4,当且仅当m=n时取等号.∴则的最小值是4.故答案为:4.【点睛】本题考查了圆的标准方程、“乘1法”和基本不等式的性质,属于基础题.14、【解析】
变换,根据二项式定理计算得到答案.【详解】的展开式的通项为:,,取和,计算得到系数为:.故答案为:.【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力.15、【解析】
由题意可知:为上的单调函数,则为定值,由指数函数的性质可知为上的增函数,则在,单调递增,求导,则恒成立,则,根据函数的正弦函数的性质即可求得的取值范围.【详解】若方程无解,则或恒成立,所以为上的单调函数,都有,则为定值,设,则,易知为上的增函数,,,又与的单调性相同,在上单调递增,则当,,恒成立,当,时,,,,,,此时,故答案为:【点睛】本题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数的单调性,正弦函数的性质,辅助角公式,考查计算能力,属于中档题.16、【解析】
由中点公式的向量形式可得,即有,设,有,再分别讨论三点共线和不共线时的情况,找到的关系,即可根据函数知识求出范围.【详解】是的中点,∴,即设,于是(1)当共线时,因为,①若点在之间,则,此时,;②若点在的延长线上,则,此时,.(2)当不共线时,根据余弦定理可得,解得,由,解得.综上,故答案为:.【点睛】本题主要考查学中点公式的向量形式和数量积的定义的应用,以及余弦定理的应用,涉及到函数思想和分类讨论思想的应用,解题关键是建立函数关系式,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)详见解析.【解析】
(1)由短轴长可知,设,,由设而不求法作差即可求得,将相应值代入即求得,椭圆方程可求;(2)考虑特殊位置,即直线与轴垂直时候,成立,当直线斜率存在时,设出直线方程,与椭圆联立,结合中点坐标公式,弦长公式,得到与的关系,将表示出来,结合基本不等式求最值,证明最后的结果【详解】解:(1)由已知,得由,两式相减,得根据已知条件有,当时,∴,即∴椭圆的标准方程为(2)当直线斜率不存在时,,不等式成立.当直线斜率存在时,设由得∴,∴由化简,得∴令,则当且仅当时取等号∴∵∴当且仅当时取等号综上,【点睛】本题为直线与椭圆的综合应用,考查了椭圆方程的求法,点差法处理多未知量问题,能够利用一元二次方程的知识转化处理复杂的计算形式,要求学生计算能力过关,为较难题18、(1),;(2)证明见解析.【解析】分析:(1)设的标准方程为,由题意可设.结合中点坐标公式计算可得的标准方程为.半径,则的标准方程为.(2)设的斜率为,则其方程为,由弦长公式可得.联立直线与抛物线的方程有.设,利用韦达定理结合弦长公式可得.则.即.详解:(1)设的标准方程为,则.已知在直线上,故可设.因为关于对称,所以解得所以的标准方程为.因为与轴相切,故半径,所以的标准方程为.(2)设的斜率为,那么其方程为,则到的距离,所以.由消去并整理得:.设,则,那么.所以.所以,即.点睛:(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系;(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.19、(1)(2)【解析】
(1)求得,根据已知条件得到在恒成立,由此得到在恒成立,利用分离常数法求得的取值范围.(2)构造函数设,利用求二阶导数的方法,结合恒成立,求得的取值范围,由此求得的最小值.【详解】(1)因为在上单调递增,所以在恒成立,即在恒成立,当时,上式成立,当,有,需,而,,,,故综上,实数的取值范围是(2)设,,则,令,,在单调递增,也就是在单调递增,所以.当即时,,不符合;当即时,,符合当即时,根据零点存在定理,,使,有时,,在单调递减,时,,在单调递增,成立,故只需即可,有,得,符合综上得,,实数的最小值为【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查化归与转化的数学思想方法,考查分类讨论的数学思想方法,属于难题.20、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)求出导函数,由在上恒成立,采用分离参数法求解;(2)观察函数,不等式凑配后知,利用时可证结论.【详解】(1)因为在上单调递减,所以,即在上恒成立因为在上是单调递减的,所以,所以(2)因为,所以由(1)知,当时,在上单调递减所以即所以.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,考查用导数证明不等式.解题关键是把不等式与函数的结论联系起来,利用函数的特例得出不等式的证明.21、(1)见解析;(2)【解析】
分析:(1)先构造函数,再求导函数,根据导函数不大于零得函数单调递减,最后根据单调性证得不等式;(2)研究零点,等价研究的零点,先求导数:,这里产生两个讨论点,一个是a与零,一个是x与2,当时,,没有零点;当时,先减后增,从而确定只有一个零点的必要条件,再利用零点存在定理确定条件的充分性,即得a的值.详解:(1)当时,等价于.设函数,则.当时,,所以在单调递减.而,故当时,,即.(2)设函数.在只有一个零点当且仅当在只有一个零点.(i)当时,,没有零点;(ii)当时,.当时,;当时,.所以在单调递减,在单调递增.故是在的最小值.①若,即,在没有零点;②若,即,在只有一个零点;③若,即,由于,所以在有一个零点,由(1)知,当时,,所以.故在有一个零点,因此在有两个零点.综上,在只有一个零点时,.点睛:利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转
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