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文档简介

2025届广西玉林市玉州区高考适应性考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B.C. D.2.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积是()A. B. C. D.83.设是等差数列的前n项和,且,则()A. B. C.1 D.24.复数的虚部为()A. B. C.2 D.5.已知复数满足,其中是虚数单位,则复数在复平面中对应的点到原点的距离为()A. B. C. D.6.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家、天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是()A. B.C. D.7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.848.若函数的图象过点,则它的一条对称轴方程可能是()A. B. C. D.9.已知定义在上的偶函数满足,且在区间上是减函数,令,则的大小关系为()A. B.C. D.10.如图,圆是边长为的等边三角形的内切圆,其与边相切于点,点为圆上任意一点,,则的最大值为()A. B. C.2 D.11.已知函数()的部分图象如图所示,且,则的最小值为()A. B.C. D.12.已知定义在上的奇函数和偶函数满足(且),若,则函数的单调递增区间为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.记为数列的前项和.若,则______.14.已知点是抛物线的焦点,,是该抛物线上的两点,若,则线段中点的纵坐标为__________.15.已知实数,满足,则的最大值为______.16.已知向量,,若,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,为实数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线交于,两点,线段的中点为.(1)求线段长的最小值;(2)求点的轨迹方程.18.(12分)已知分别是的内角的对边,且.(Ⅰ)求.(Ⅱ)若,,求的面积.(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求的值.19.(12分)2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出的最小值.(结论不要求证明)20.(12分)如图,四棱锥的底面为直角梯形,,,,底面,且,为的中点.(1)证明:;(2)设点是线段上的动点,当直线与直线所成的角最小时,求三棱锥的体积.21.(12分)已知函数,为的导数,函数在处取得最小值.(1)求证:;(2)若时,恒成立,求的取值范围.22.(10分)已知点P在抛物线上,且点P的横坐标为2,以P为圆心,为半径的圆(O为原点),与抛物线C的准线交于M,N两点,且.(1)求抛物线C的方程;(2)若抛物线的准线与y轴的交点为H.过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A,B,且,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

选B.考点:圆心坐标2、A【解析】

由三视图还原出原几何体,得出几何体的结构特征,然后计算体积.【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥,四棱锥底面是边长为2的正方形,高为2,直观图如图所示,.故选:A.【点睛】本题考查三视图,考查棱锥的体积公式,掌握基本几何体的三视图是解题关键.3、C【解析】

利用等差数列的性质化简已知条件,求得的值.【详解】由于等差数列满足,所以,,.故选:C【点睛】本小题主要考查等差数列的性质,属于基础题.4、D【解析】

根据复数的除法运算,化简出,即可得出虚部.【详解】解:=,故虚部为-2.故选:D.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念.5、B【解析】

利用复数的除法运算化简z,复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选:B【点睛】本题考查了复数的除法运算,模长公式和几何意义,考查了学生概念理解,数学运算,数形结合的能力,属于基础题.6、B【解析】

执行给定的程序框图,输入,逐次循环,找到计算的规律,即可求解.【详解】由题意,执行给定的程序框图,输入,可得:第1次循环:;第2次循环:;第3次循环:;第10次循环:,此时满足判定条件,输出结果,故选:B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,得到程序框图的计算功能是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.7、B【解析】

画出几何体的直观图,计算表面积得到答案.【详解】该几何体的直观图如图所示:故.故选:.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8、B【解析】

把已知点坐标代入求出,然后验证各选项.【详解】由题意,,或,,不妨取或,若,则函数为,四个选项都不合题意,若,则函数为,只有时,,即是对称轴.故选:B.【点睛】本题考查正弦型复合函数的对称轴,掌握正弦函数的性质是解题关键.9、C【解析】

可设,根据在上为偶函数及便可得到:,可设,,且,根据在上是减函数便可得出,从而得出在上单调递增,再根据对数的运算得到、、的大小关系,从而得到的大小关系.【详解】解:因为,即,又,设,根据条件,,;若,,且,则:;在上是减函数;;;在上是增函数;所以,故选:C【点睛】考查偶函数的定义,减函数及增函数的定义,根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程:设,通过条件比较与,函数的单调性的应用,属于中档题.10、C【解析】

建立坐标系,写出相应的点坐标,得到的表达式,进而得到最大值.【详解】以D点为原点,BC所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立坐标系,设内切圆的半径为1,以(0,1)为圆心,1为半径的圆;根据三角形面积公式得到,可得到内切圆的半径为可得到点的坐标为:故得到故得到,故最大值为:2.故答案为C.【点睛】这个题目考查了向量标化的应用,以及参数方程的应用,以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.11、A【解析】

是函数的零点,根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得.【详解】由题意,,∴函数在轴右边的第一个零点为,在轴左边第一个零点是,∴的最小值是.故选:A.【点睛】本题考查三角函数的周期性,考查函数的对称性.函数的零点就是其图象对称中心的横坐标.12、D【解析】

根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式,进而求出,再根据复合函数的单调性,即可求出结论.【详解】依题意有,①,②①②得,又因为,所以,在上单调递增,所以函数的单调递增区间为.故选:D.【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质,要熟记复合函数单调性判断方法,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】

由已知数列递推式可得数列是以16为首项,以为公比的等比数列,再由等比数列的前项和公式求解.【详解】由,得,.且,则,即.数列是以16为首项,以为公比的等比数列,则.故答案为:1.【点睛】本题主要考查数列递推式,考查等比数列的前项和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14、2【解析】

运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离,然后求解结果.【详解】抛物线的标准方程为:,则抛物线的准线方程为,设,,则,所以,则线段中点的纵坐标为.故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的定义,由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离,需要熟练掌握定义,并能灵活运用,本题较为基础.15、【解析】

画出不等式组表示的平面区域,将目标函数理解为点与构成直线的斜率,数形结合即可求得.【详解】不等式组表示的平面区域如下所示:因为可以理解为点与构成直线的斜率,数形结合可知,当且仅当目标函数过点时,斜率取得最大值,故的最大值为.故答案为:.【点睛】本题考查目标函数为斜率型的规划问题,属基础题.16、1【解析】

根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值.【详解】向量,则,则因为即,化简可得解得故答案为:【点睛】本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

(1)将曲线的方程化成直角坐标方程为,当时,线段取得最小值,利用几何法求弦长即可.(2)当点与点不重合时,设,由利用向量的数量积等于可求解,最后验证当点与点重合时也满足.【详解】解曲线的方程化成直角坐标方程为即圆心,半径,曲线为过定点的直线,易知在圆内,当时,线段长最小为当点与点不重合时,设,化简得当点与点重合时,也满足上式,故点的轨迹方程为【点睛】本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程,属于基础题.18、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】

(Ⅰ)由已知结合正弦定理先进行代换,然后结合和差角公式及正弦定理可求;(Ⅱ)由余弦定理可求,然后结合三角形的面积公式可求;(Ⅲ)结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解.【详解】(Ⅰ)因为,所以,所以,由正弦定理可得,;(Ⅱ)由余弦定理可得,,整理可得,,解可得,,因为,所以;(Ⅲ)由于,.所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式,二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19、(Ⅰ)万;(Ⅱ)分布列见解析,;(Ⅲ)【解析】

(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ)的可能取值为,计算概率得到分布列,再计算数学期望得到答案.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为,故,解得答案.【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人,故人数为:万人.(Ⅱ)8名男生中,测试成绩在70分以上的有人,的可能取值为:.,,.故分布列为:.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为,故,故.故的最小值为.【点睛】本题考查了样本估计总体,分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20、(1)见解析;(2).【解析】

(1)要证明,只需证明平面即可;(2)以C为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,利用向量法求,并求其最大值从而确定出使问题得到解决.【详解】(1)连结AC、AE,由已知,四边形ABCE为正方形,则①,因为底面,则②,由①②知平面,所以.(2)以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,,,设,,则,所以,设,则,所以当,即时,取最大值,从而取最小值,即直线与直线所成的角最小,此时,则,因为,,则平面,从而M到平面的距离,所以.【点睛】本题考查线面垂直证线线垂直、异面直线直线所成角计算、换元法求函数最值以及等体积法求三棱锥的体积,考查的内容较多,计算量较大,解决此类问题最关键是准确写出点的坐标,是一道中档题.21、(1)见解析;(2).【解析】

(1)对求导,令,求导研究单调性,分析可得存在使得,即,即得证;(2)分,两种情况讨论,当时,转化利用均值不等式即得证;当,有两个不同的零点,,分析可得的最小值为,分,讨论即得解.【详解】(1)由题意,令,则,知为的增函数,因为,,所以,存在使得,即.所以,当时,为减函数,当时,为增函数,故当时,取得

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