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文档简介
福建省福州四中2025届高三下学期联合考试数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的左、右顶点分别为,点是双曲线上与不重合的动点,若,则双曲线的离心率为()A. B. C.4 D.22.如图,在平行四边形中,为对角线的交点,点为平行四边形外一点,且,,则()A. B.C. D.3.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位:分)进行统计得到折线图,下面是关于这两位同学的数学成绩分析.①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,故平均成绩为130分;②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间110,120内;③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关;④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.其中正确的个数为()A.4 B.3 C.2 D.14.若的展开式中的系数为-45,则实数的值为()A. B.2 C. D.5.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B.C. D.6.对于函数,定义满足的实数为的不动点,设,其中且,若有且仅有一个不动点,则的取值范围是()A.或 B.C.或 D.7.新闻出版业不断推进供给侧结构性改革,深入推动优化升级和融合发展,持续提高优质出口产品供给,实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况,则下列说法错误的是()A.2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B.2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C.2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D.2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一8.已知点,点在曲线上运动,点为抛物线的焦点,则的最小值为()A. B. C. D.49.要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有点的()A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度10.设数列是等差数列,,.则这个数列的前7项和等于()A.12 B.21 C.24 D.3611.已知命题,且是的必要不充分条件,则实数的取值范围为()A. B. C. D.12.已知集合A={x|x<1},B={x|},则A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,为虚数单位,且,则=_____.14.已知函数对于都有,且周期为2,当时,,则________________________.15.如图,在平面四边形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,则(AB16.已知函数,若的最小值为,则实数的取值范围是_________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数().(1)讨论函数的单调性;(2)若关于x的方程有唯一的实数解,求a的取值范围.18.(12分)如图,四棱锥中,底面ABCD为菱形,平面ABCD,BD交AC于点E,F是线段PC中点,G为线段EC中点.Ⅰ求证:平面PBD;Ⅱ求证:.19.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)若射线与和分别交于点,求.20.(12分)已知函数(1)若函数在处取得极值1,证明:(2)若恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若恒成立,求的取值范围.22.(10分)已知数列满足(),数列的前项和,(),且,.(1)求数列的通项公式:(2)求数列的通项公式.(3)设,记是数列的前项和,求正整数,使得对于任意的均有.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
设,,,根据可得①,再根据又②,由①②可得,化简可得,即可求出离心率.【详解】解:设,,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故选:D.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质,考查了斜率的计算,离心率的求法,属于基础题和易错题.2、D【解析】
连接,根据题目,证明出四边形为平行四边形,然后,利用向量的线性运算即可求出答案【详解】连接,由,知,四边形为平行四边形,可得四边形为平行四边形,所以.【点睛】本题考查向量的线性运算问题,属于基础题3、C【解析】
利用图形,判断折线图平均分以及线性相关性,成绩的比较,说明正误即可.【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,最高130分,平均成绩为低于130分,①错误;②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间[110,120]内,②正确;③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关,③正确;④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步,故④不正确.故选:C.【点睛】本题考查折线图的应用,线性相关以及平均分的求解,考查转化思想以及计算能力,属于基础题.4、D【解析】
将多项式的乘法式展开,结合二项式定理展开式通项,即可求得的值.【详解】∵所以展开式中的系数为,∴解得.故选:D.【点睛】本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用,指定项系数的求法,属于基础题.5、B【解析】
选B.考点:圆心坐标6、C【解析】
根据不动点的定义,利用换底公式分离参数可得;构造函数,并讨论的单调性与最值,画出函数图象,即可确定的取值范围.【详解】由得,.令,则,令,解得,所以当时,,则在内单调递增;当时,,则在内单调递减;所以在处取得极大值,即最大值为,则的图象如下图所示:由有且仅有一个不动点,可得得或,解得或.故选:C【点睛】本题考查了函数新定义的应用,由导数确定函数的单调性与最值,分离参数法与构造函数方法的应用,属于中档题.7、C【解析】
通过图表所给数据,逐个选项验证.【详解】根据图示数据可知选项A正确;对于选项B:,正确;对于选项C:,故C不正确;对于选项D:,正确.选C.【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析,题目较为简单.8、D【解析】
如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,,则,利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,,则,当,即时等号成立.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.9、C【解析】
根据三角函数图像的变换与参数之间的关系,即可容易求得.【详解】为得到,将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),故可得;再将向左平移个单位长度,故可得.故选:C.【点睛】本题考查三角函数图像的平移,涉及诱导公式的使用,属基础题.10、B【解析】
根据等差数列的性质可得,由等差数列求和公式可得结果.【详解】因为数列是等差数列,,所以,即,又,所以,,故故选:B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,性质,等差数列的和,属于中档题.11、D【解析】
求出命题不等式的解为,是的必要不充分条件,得是的子集,建立不等式求解.【详解】解:命题,即:,是的必要不充分条件,,,解得.实数的取值范围为.故选:.【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围,其思路方法:(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验.12、A【解析】∵集合∴∵集合∴,故选A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】
解:利用复数相等,可知由有.14、【解析】
利用,且周期为2,可得,得.【详解】∵,且周期为2,∴,又当时,,∴,故答案为:【点睛】本题考查函数的周期性与对称性的应用,考查转化能力,属于基础题.15、-7【解析】
由题意得AB+【详解】由题意得ABBC+∴AB+【点睛】突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点,利用平面向量基本定理和向量的加减运算,将所给向量统一用AC,16、【解析】
,可得在时,最小值为,时,要使得最小值为,则对称轴在1的右边,且,求解出即满足最小值为.【详解】当,,当且仅当时,等号成立.当时,为二次函数,要想在处取最小,则对称轴要满足并且,即,解得.【点睛】本题考查分段函数的最值问题,对每段函数先进行分类讨论,找到每段的最小值,然后再对两段函数的最小值进行比较,得到结果,题目较综合,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)当时,递增区间时,无递减区间,当时,递增区间时,递减区间时;(2)或.【解析】
(1)求出,对分类讨论,先考虑(或)恒成立的范围,并以此作为的分类标准,若不恒成立,求解,即可得出结论;(2)有解,即,令,转化求函数只有一个实数解,根据(1)中的结论,即可求解.【详解】(1),当时,恒成立,当时,,综上,当时,递增区间时,无递减区间,当时,递增区间时,递减区间时;(2),令,原方程只有一个解,只需只有一个解,即求只有一个零点时,的取值范围,由(1)得当时,在单调递增,且,函数只有一个零点,原方程只有一个解,当时,由(1)得在出取得极小值,也是最小值,当时,,此时函数只有一个零点,原方程只有一个解,当且递增区间时,递减区间时;,当,有两个零点,即原方程有两个解,不合题意,所以的取值范围是或.【点睛】本题考查导数的综合应用,涉及到单调性、零点、极值最值,考查分类讨论和等价转化思想,属于中档题.18、(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析:(1)先证明,再证明FG//平面PBD.(2)先证明平面,再证明BD⊥FG.详解:证明:(1)连结PE,因为G.、F为EC和PC的中点,,又平面,平面,所以平面(II)因为菱形ABCD,所以,又PA⊥面ABCD,平面,所以,因为平面,平面,且,平面,平面,∴BD⊥FG.点睛:(1)本题主要考查空间位置关系的证明,意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2)证明空间位置关系,一般有几何法和向量法,本题利用几何法比较方便.19、(1):;:.(2)【解析】
(1)由可得,由,消去参数,可得直线的普通方程为.由可得,将,代入上式,可得,所以曲线的直角坐标方程为.(2)由(1)得,的普通方程为,将其化为极坐标方程可得,当时,,,所以.20、(1)证明见详解;(2)【解析】
(1)求出函数的导函数,由在处取得极值1,可得且.解出,构造函数,分析其单调性,结合,即可得到的范围,命题得证;
(2)由分离参数,得到恒成立,构造函数,求导函数,再构造函数,进行二次求导.由知,则在上单调递增.根据零点存在定理可知有唯一零点,且.由此判断出时,单调递减,时,单调递增,则,即.由得,再次构造函数,求导分析单调性,从而得,即,最终求得,则.【详解】解:(1)由题知,∵函数在,处取得极值1,,且,,,令,则为增函数,,即成立.(2)不等式恒成立,即不等式恒成立,即恒成立,令,则令,则,,,在上单调递增,且,有唯一零点,且,当时,,,单调递减;当时,,,单调递增.,由整理得,令,则方程等价于而在上恒大于零,在上单调递增,.,∴实数的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的极值,利用导函数判断函数的单调性,函数的零点存在定理,证明不等式,解决不等式恒成立问题.其中多次构造函数,是解题的关键,属于综合性很强的难题.21、(1);(2).【解析】
分析:(1)先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组,分别求解,最后求并集,(2)先化简不等式为,再根据绝对值三角不等式得最小值,最后解不等式得的取值范围.详解:(1)当时,可得的解集为.(2)等价于.而,且当时等号成立.故等价于.由可得或,所以的取值范围是.点睛:含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.22、(1)().(2),.(3)【解析】
(1)依题意先求出,然后根据,求出的通项公式为,再检验的情况即可;(2)由递推公式,得,结合数列性质可得数列相邻项之间的关系,从而可求出结果;(3)通过(1)、(2)可得,所以,,,,.记,利用函数单调性可求的范围,从而列不等式可解
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