专题07 等差数列与等比数列（考点清单+知识导图+ 13个考点清单-题型解读）（解析版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

清单07等差数列与等比数列（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】等差数列的有关概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．【清单02】等差数列的通项公式首项为,公差为的等差数列的通项公式为.【清单03】等差数列的四种判断方法和两种证明方法(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．(2)等差中项法：()是等差数列．(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法【清单04】等差数列的性质①②若，则（特别的，当，有）【清单05】等差数列的前项和公式1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式【清单06】等差数列前项和性质(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则(4)若等差数列的项数为,则，。(5)若等差数列的项数为,则，，，【清单07】等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示()符号语言（或者）(为常数，，)【清单08】等比数列的判断（证明）1、定义：（或者）（可判断，可证明）2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明）3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）【清单09】等比数列常用性质设数列是等比数列，是其前项和．（1）(2)若，则，其中.特别地，若，则，其中.【清单10】等比数列前项和公式若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和【清单11】等比数列前项和的性质公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类:(1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列(2)当是偶数时,;当是奇数时,(3)【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列核心方法：定义法【例1】（23-24高一下·上海·阶段练习）对于数列，以下命题正确的个数有（

）①若，则为等比数列；②若，则为等比数列；③若，则为等比数列.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【知识点】由定义判定等比数列【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断各选项.【详解】由若，得，，，即后一项与前一项的比不一定为常数，故①错误.当时，满足，但数列不是等比数列，故②错误.，则，，所以，则数列为2为公比的等比数列，故③正确.故选：B.【变式1-1】（多选）（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知数列为等比数列，下列结论正确的是（

）A．数列为等比数列 B．数列为等比数列C．数列为等差数列 D．数列为等差数列【答案】BCD【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列【分析】设等比数列的公比为，然后利用等比数列和等差数列概念逐项判断，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，A：当时，，故A错误；B：，所以，是等比数列，故B正确；C：，是等差数列，故C正确；D：，是等差数列，故D正确.故选：BCD.【变式1-2】（多选）（2024·江西九江·二模）已知数列的前项和为，且，若，则（

）A．是等比数列 B．是等比数列C．是等差数列 D．是等差数列【答案】ABD【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列【分析】根据题意，结合等比数列的定义和等差数列的定义及判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】因为数列的前项和为，且，对于A中，由，且，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以A正确；对于B中，由，且，所以数列是以，公比为的等比数列，所以B正确；对于C中，由，可得，即时，，又由，，所以的奇数项均为0，偶数项均为．所以的奇数项为等差数列，偶数项为等差数列，所以C错误．对于D中，当时，即，所以是每项均为的常数列，也是等差数列，所以D正确．故选：ABD.【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列核心方法：定义法【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且.(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；(2)若在数列中，，且，则判断数列是否为等差数列，并说明理由.【答案】(1)是，理由见解析(2)是，理由见解析【知识点】利用an与sn关系求通项或项、判断等差数列【分析】（1）利用，求得数列的通项公式，进而可得结论；（2）利用（1）的结论可求得，可得结论.【详解】（1）当时，，当时，得，则，化简得，当时，成立.综上所述，数列的通项公式为，当时，，故数列为等差数列.（2）因为，且，所以，当时，，故数列为等差数列.【变式2-1】（23-24高二下·北京怀柔·期中）在数列中，已知，且(1)求，的值；(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)存在，【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、判断等差数列【分析】（1）根据条件，利用递推关系，令和，即可求出结果；（2）先假设数列为等差数列，根据条件得到为常数，从而得到，即可求出结果.【详解】（1）因为，且，所以，.（2）假设数列为等差数列，因为，所以，当，得到为常数，故存在实数，使得数列为等差数列，.【变式2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）若数列满足，且．证明：数列为等比数列．【答案】证明见解析【知识点】由递推关系证明等比数列【分析】根据已知的递推关系式应用等比数列定义证明等比数列即可.【详解】因为，所以，则，因为，所以，所以，又，所以数列为等比数列．【考点题型三】等差（等比）数列的单调性核心方法：作差法【例3】（24-25高二上·北京）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】等差数列的单调性、探求命题为真的充要条件【分析】利用等差数列的定义和数列单调性的定义判断可得出结论.【详解】若，则，即，此时，数列为单调递增数列，即“”“数列为单调递增数列”；若等差数列为单调递增数列，则，即“”“数列为单调递增数列”.因此，“”是“数列为单调递增数列”的充分必要条件.故选：C.【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（

）条件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【答案】D【知识点】既不充分也不必要条件、等比数列的单调性【分析】根据“”与“数列是严格增数列”的互相推出关系判断属于何种条件.【详解】当时，取，则，显然不是严格增数列，所以“”不能推出“数列是严格增数列”；当数列是严格增数列时，设，当时，是摆动数列，不符合要求，所以，若，则，若，则，所以“数列是严格增数列”不能推出“”；综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件，故选：D.【变式3-2】（24-25高二上·陕西西安）数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】判断命题的必要不充分条件、等比数列的单调性【分析】由，解得或，根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解得到答案.【详解】由已知，解得或，，此时数列不一定是递减数列，所以是“数列递减”的非充分条件；若数列为递减数列，可得或，所以，所以是“数列递减”的必要条件.所以“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件.故选：B.【变式3-3】（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是.【答案】【知识点】等差数列的单调性、利用an与sn关系求通项或项、等差数列通项公式的基本量计算【分析】由与的关系再结合等差数列通项公式的基本量计算即可；【详解】若数列是严格增数列，则恒成立，即恒成立，又，所以，所以的公差取值范围是，故答案为：.【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项核心方法：【例4】（2024·全国·模拟预测）记为数列的前项和，已知，．(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；(2)若，数列的最大项为，求的值．【答案】(1)证明见解析，(2)或【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列中的最大（小）项、由递推关系证明等比数列【分析】（1）由，两式相减可得，该式可化为，即可证明并求出数列的通项公式；（2）由（1）求得，后，可作差比较大小，或者作商，进一步分析即可.【详解】（1）因为，①所以，②②①，得，即，所以，又，所以，所以数列是首项为、公比为的等比数列．所以，所以．（2）由（1）知，，所以，．解法一

，当时，，即；当时，，即；当时，，即．所以，且，所以数列的最大项为，故的值为或．解法二

，令，解得；令，解得；令，解得．因为，所以，且，所以数列的最大项为，故的值为或．【变式4-1】（24-25高二上·江苏无锡）数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【知识点】求等差数列中的最大（小）项、等差数列通项公式的基本量计算【解析】由，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断的正负，再利用通项与前n项和关系求解.【详解】设数列的公差为d，因为，所以，即，因为，所以，所以，当时，，当时，，所以，又因为，所以，故中最大，故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于中档题.【变式4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为．【答案】【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列中的最大（小）项【分析】先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值.【详解】设数列的公差为，则，故，故，根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值．故答案为：【变式4-3】（24-25高二·全国）已知数列的前项和为，且(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式(3)求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)，理由见解析.【知识点】利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、求等比数列中的最大（小）项、由定义判定等比数列【分析】(1)由前项和为与通项的关系，得出的递推公式，即可证明结论；(2)由(1)和等比数列的通项公式即可求出；(3)由(2)求出，通过研究的单调性，即可求解.【详解】（1）当时，，当时，，整理得，，是以-15为首项，为公比的等比数列；（2）由(1)知，是以-15为首项，为公比的等比数列，得，所以，（3）由(2)得，，当时，，故，当时，，所以当时，，同理当时，；故时，取得最小值，即为最小值.【考点题型五】等差数列角标和性质核心方法：若，则（特别的，当，有）【例5】（24-25高三上·上海·阶段练习）若数列是各项为正数的等差数列，且，则的最小值为【答案】/【知识点】利用等差数列的性质计算、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根据等差数列的性质及基本不等式求解.【详解】由等差数列性质知，，且，所以，当且仅当，即，时等号成立.故答案为：【变式5-1】（2024·四川泸州·一模）为等差数列，若，，那么取得最小正值时，的值（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】利用等差数列的性质计算、根据等差数列前n项和的最值求参数【分析】由等差数列的性质可得，从而得，由，结合条件得到，即可求解．【详解】因为，，所以，故等差数列的公差，又，又，，得到，，所以取得最小正值时，的值为，故选：C.【变式5-2】（24-25高二上·福建龙岩·期中）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（

）A．9 B．16 C．22 D．25【答案】C【知识点】利用等差数列的性质计算【分析】由等差数列的性质可得，即可得，的所有可能取值，即可求解.【详解】因为，所以，又，，所以或或或或或或或或，所以的值可能是，，，，.故选：.【考点题型六】等比数列角标和性质核心方法：若，则（特别的，当，有）【例6】（24-25高三上·安徽黄山·期中）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（

）A． B． C．11 D．10【答案】C【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用【分析】等比数列中若，，则.我们先根据此条性质和已知条件求出的值,最后运用对数性质计算即可.【详解】在等比数列中，，得.根据等比数列性质，.所以，.故选：C.【变式6-1】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知等比数列满足，则的最小值为（

）A．48 B．32 C．24 D．8【答案】B【知识点】等比数列下标和性质及应用、基本不等式求和的最小值【分析】根据等比数列的性质得到，，然后利用基本不等式即可得到结论．【详解】由，得，解得，，当且仅当时等号成立.故选：B.【变式6-2】（24-25高二上·甘肃·期中）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，则.【答案】0【知识点】求等差数列前n项和、等比数列下标和性质及应用【分析】利用等比数列性质求得，然后由等差数列前项公式计算．【详解】因为公差，且成等比数列，所以，即，解得，所以．故答案为：0【考点题型七】等差（等比）数列前项和的基本量计算核心方法：前项和公式【例7】（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）解决下列问题：(1)已知等差数列中，，，求及通项公式；(2)已知等比数列中，，，求及通项公式.【答案】(1)；；(2)；或.【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和【分析】（1）由等差数列通项，求和公式结合题意可得答案；（2）由等比数列求和公式可得答案.【详解】（1）设等差数列公差为，首项为，则，则；；（2）设等比数列公比为，首项为，显然.则,则.得.因，则或.若，则；若，则.综上，或.【变式7-1】（24-25高二·全国·课堂例题）已知数列是等差数列．(1)若，，求；(2)若，，求；(3)若，，，求n．【答案】(1)2700(2)(3)．【知识点】求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算【分析】（1）可以直接利用公式求和；（2）可以先利用和的值求出d，再利用公式求和；（3）已知公式中的，d和，解方程即可求得n．【详解】（1）因为，，根据公式，可得．（2）因为，，所以．根据公式，可得．（3）把，，代入，得．整理，得．解得，或（舍去）．所以．【变式7-2】（2024高二·全国·专题练习）在等比数列中，（1）若，，，求和；（2）若，，求和；（3）若，，求和公比.【答案】（1），；（2），；（3）或.【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算【分析】（1）由已知条件利用等比数列前项和公式和通项公式，列出方程组，由此能求出首项与项数．（2）由已知条件利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出和．（3）对和分两种情况讨论，根据等比数列前项和公式计算可得；【详解】解：（1）等比数列中，，，，，解得，．（2）等比数列中，，，，解得，，．（3）当时，，所以，所以；当时，，，即∴，(舍去)，∴，所以；综上所述：或【考点题型八】等差数列前项和性质（片段和性质）核心方法：设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列【例8】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【知识点】等差数列片段和的性质及应用【分析】根据等差数列中成等差数列求解即可.【详解】在等差数列中，，，所以，故构成公差为的等差数列，所以，即.故选：C【变式8-1】（23-24高三上·河北·期末）设是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】等差数列片段和的性质及应用【分析】根据等差数列片段和性质及已知，设，求得，即可得结果.【详解】由等差数列片段和性质知：是等差数列.由，可设，则，于是依次为，所以，所以.故选：B【变式8-2】（23-24高二上·天津·期末）设为等差数列的前项和，且，，则.【答案】39【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等差数列前n项和的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算【分析】由题意成等差数列，结合，即可求解.【详解】由题意为等差数列的前项和，且，，所以，而成等差数列，所以.故答案为：39.【考点题型九】等差数列前项和性质（两个等差数列的比值）核心方法：已知等差数列和的前项和分别为，，则.【例9】（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，bn的前项和分别为，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得.【详解】等差数列，的前项和分别为，，由，得，.故选：C【变式9-1】（23-24高二下·湖北·开学考试）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】利用an与sn关系求通项或项、等差数列前n项和的二次函数特征、两个等差数列的前n项和之比问题【分析】根据题意，设，，由，即可求解结果．【详解】因为，为等差数列，且，所以可设，，则，，.故选：D.【变式9-2】（23-24高二下·安徽安庆·期中）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则．【答案】【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算【分析】根据等差数列的性质及等差数列前项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案．【详解】由题意知，，，，∴.故答案为：．【考点题型十】等比数列前项和性质（片段和性质）核心方法：设等比数列的公比为，数列，，，,…组成公比为（）的等比数列【例10】（23-24高三下·上海·阶段练习）记为等比数列的前n项和，若，，则．【答案】或【知识点】等比数列片段和性质及应用、等比数列前n项和的基本量计算【分析】由等比数列性质得出也成等比数列，从而求得，然后求得公比后，再求得即得．【详解】设的公比是，，同理，由已知，否则公比，，与已知矛盾，所以也成等比数列，，又，，所以，解得或，又，所以与同号，因此，所以，，，若，则，，即，若，则，，即．故答案为：或．【变式10-1】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（

）A．550 B．520 C．450 D．425【答案】D【知识点】等比数列片段和性质及应用【分析】由等比数列前n项和的性质可得答案.【详解】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列，则，设，则，∵等比数列中，，∴解得，，故，∴，故选：D．【变式10-2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（

）A．48 B．81 C．93 D．243【答案】C【知识点】等比数列片段和性质及应用【分析】根据等比数列的前项和先确定公比，再计算得，从而计算得的值，即可得的值.【详解】设等比数列的公比为，因为，，若，则，得，则，故，则，所以，所以，所以.故选：C.【考点题型十一】等比数列前项和性质（奇偶项和性质）核心方法：设等比数列的公比为，当是偶数时,;当是奇数时,【例11】（2024高二·全国已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）A． B．C． D．【答案】C【知识点】等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列奇、偶项和的性质及应用【分析】求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值.【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，则，所以，，因为，可得，因此，.故选：C.【变式11-1】（24-25高二上·全国·单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（

）.A．8 B． C．4 D．2【答案】D【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算【分析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之和与偶数项之和，两式相除即可求解.【详解】设该等比数列为,其项数为项，公比为,由题意易知，设奇数项之和为,偶数项之和为，易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，则，，所以,即.所以这个数列的公比为2.故选:D.【变式11-2】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（

）A．30 B．60 C．90 D．120【答案】D【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案.【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，又，则，解得，故数列的所有项之和是.故选：D【考点题型十二】已知与（）的关系，求核心方法：【例12】（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知正项数列的前n项和为，且满足，.(1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式；【答案】(1)证明见解析，，【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和、由递推关系证明数列是等差数列、确定数列中的最大（小）项【分析】（1）利用的关系，作差即可得，利用等差数列的定义即可求解，【详解】（1）由可得，相减可得，因此，由于为正项数列，所以，因此，故，故数列为等差数列，且公差为2，又，所以，故【变式12-1】（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知数列的各项均为正数，其前项和，.(1)求数列的通项公式：【答案】(1);【知识点】求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）利用与Sn的关系，结合等差数列的通项公式，以及已知条件，求解即可；【详解】（1）由知，当时，，，，又，所以；当时，，整理得：，因为，所以有，所以数列是首项，公差的等差数列，数列的通项公式为.【考点题型十三】数列中新文化题【例13】（23-24高三下·江苏南京·开学考试）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（

）A．23 B． C． D．33【答案】B【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和【分析】先求出，得，则，利用基本不等式求解，要注意等号成立时条件．【详解】由题意，可知所有正整数为3，8，13，18，…即数列为5的非负整数倍加3，故，数列是以3为首项，5为公差的等差数列，，，当且仅当，即时，等号成立，当时，，当时，所以当时，取得最小值且最小值为.故选：B.【变式13-1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（

）A．1010 B．2024 C．1012 D．2020【答案】C【知识点】等比数列下标和性质及应用【分析】利用高斯算法可推出，再利用等比数列性质即可类比得出.【详解】根据可得，所以；由等比数列性质可得，因此可得.故选：C【变式13-2】（24-25高三上·天津·阶段练习）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为．【答案】211【知识点】数列新定义、累加法求数列通项【分析】设数列为,根据题意，累加法求出的通项公式，求出.【详解】设数列为,根据题意，则累加可得,所以，故.故答案为：.提升训练一、单选题1．（24-25高二上·江苏·期中）已知等差数列的前项和为，若，则的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式计算即得.【详解】等差数列中，由，得，解得，所以.故选：B2．（24-25高三上·江西·期中）设等差数列的前n项和为，若，则的值为（

）A．4 B． C．1 D．【答案】D【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算【分析】利用等差数列前n项和及相关性质求得，进而得到公差，即可求结果.【详解】由题设，则，又，所以，易知的公差，故，所以.故选：D3．（2024·河北石家庄·模拟预测）若数列为等差数列，为数列的前n项和，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和的最值【分析】根据等差数列性质由可得，即可求出数列前6项均为负值，可得结论.【详解】由等差数列性质可得，即可得；又，所以；因此可得数列的公差，且前6项均为负值，所以的最小值为前6项和，即为.故选：B4．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知等比数列的前项和为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和【分析】设出公比，根据题目条件得到方程组，求出，，由等比数列通项公式基本量计算得到答案.【详解】设公比为，则，故，其中，，则故选：D5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是等比数列，，则“”是“数列单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断数列的增减性、等比数列通项公式的基本量计算【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】由于，则即为，解得或，不能推出数列单调递增；若数列单调递增，则，从而，故是数列单调递增的必要不充分条件.故选：B．6．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列为正项等比数列，，则使成立的的最小值为（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【知识点】等比数列通项公式的基本量计算【分析】根据条件，求出数列的通项公式，进行判断即可.【详解】根据条件：，解得.所以.由.所以使成立的的最小值为9.故选：A7．（湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题）记为等差数列的前项和，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算【分析】由已知利用等差数列的通项公式和前项和公式求基本量，然后求出，再结合等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，所以，所以.故选：.8．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，则（

）A．若为等差数列，且，，则，B．若为等差数列，且，，则，C．若为等比数列，且，则D．若为等比数列，且，则【答案】D【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和【分析】利用等差数列求和公式和下标和性质依次判断AB选项可得AB正误；根据等比数列通项公式，结合反例可知C错误；讨论等比数列公比的范围，结合等比数列求和公式可知D正确.【详解】对于A，，，，，无法判断符号，符号未知，A错误；对于B，，，，，，，，公差，，，又，，B错误；对于C，设等比数列的公比为，，，当时，，，C错误；对于D，设等比数列的公比为，，，当时，；若，则，，；若，则，，；若，则，，；综上所述：，D正确.故选：D9．（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则（

）A．