大一-高等数学函数

广义地说，初等数学之外的数学都是数学.另外，我们这里也把微积分称为数学（B).什么是数学?微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.2021/6/271初等数学研究的是常量，高等数学研究的是变量。高等数学有其固有的特点：高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性是数学最基本、最显著的特点—有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。

初等数学与高等数学（广义）的区别2021/6/272

另外，人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。因此，学好高等数学对我们来说相当重要。

所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。2021/6/273首先，理解概念。数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。要想学好高等数学，至少要做到以下四点:

其次，掌握定理。定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。

2021/6/274第三,在弄懂例题的基础上做适量的习题。要特别提醒的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法，在理解例题的基础上做适量的习题。做题时要善于总结----不仅总结方法，也要总结错误。这样，做完之后才会有所收获，才能举一反三。2021/6/275第四，理清脉络。对所学的知识要有一个整体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。2021/6/276

微积分是近代数学发展的里程碑

微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。它给出的一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。恩格斯说:“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。”

2021/6/2772021/6/278微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。函数是微积分研究的对象,所以我们的讨论将从函数开始。极限的思想是微积分的基础，一步就是要理解到“极限”引入的必要性：学习微积分学，首要的极限思想贯穿整个微积分的始终，极限思想的把握关系到对微积分思想的确立，微积分理论的掌握和运用，以及数学思维的建立。2021/6/279函数第一章2021/6/2710第一节函数的概念及其基本性质第二节初等函数第三节经济学中常见的函数2021/6/2711若a属于集合A的元素，则称a属于A，记作;否则称a不属于A,记作（或）。第一节函数的概念及其基本性质含有限元素的集合称为有限集，不含任何元素的集合称为空集；用

表示空集。不是有限集也不是空集的集合称为无限集。一.集合及其运算集合：具有某种确定性质的对象的全体，简称集。集合的元素：组成集合的各个对象。用大写的英文字母A、B、C……表示集合，用小写的英文字母a、b、c……表示集合的元素。2021/6/2712

表示集合的方法:(1)列举法将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内；(2)描述法在花括号内指明集合元素所具有的性质。

一般，用N表示自然数集，用Z表示整数集，用Q表示有理数集，用R表示实数集．2021/6/2713子集设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作AB(或B

A),读作A包含于B包含（或B包含A

）.若A

B，且有元素a∈B

，但a

A，则说A是B的真子集.规定:

A.相等若A

B

，且B

A，则称A与B相等,记作A=B.2021/6/2714并集由属于A或属于B的所有元素组成的集合称为A与B的并集记作A∪B

，即

A∪B={x|x∈A或x∈B}交集由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作A∩B

，即A∩B={x|x∈A且x∈B}差集由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作A–B即2021/6/27152021/6/2716(1)A∪B=B∪A

，A∩B=B∩A

；(交换律)(2)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；(结合律)(3)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)，

(A-B)∩C=(A∩C)-(B∩C)；

(分配律)(4)集合运算的基本规律：2021/6/2717二.区间与邻域

设a和b都是实数，将满足不等式a<x<b的所有实数组成的数集称为开区间，记作(a,b)即

(a,b)={x|a<x<b},a和b称为开区间(a,b)的端点,这里a

(a,b)且b

(a,b).数集[a,b]={x|a≤x≤b}为闭区间,a和b也称为闭区间[a,b]的端点,a∈[a,b]且b∈[a,b].数集[a,b)={x|a≤x<b}和(a,b]={x|a<x≤b}为半开半闭间.以上这些区间都称为有限区间,数b-a称为区间长度.2021/6/2718无限区间2021/6/27192021/6/2720三.映射定义定义设A和B是两个非空集合，若存在一个确定的规则f，使2021/6/27212021/6/27222021/6/27232021/6/2724数集D叫做这个函数的定义域2021/6/2725约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.2021/6/2726要使数学式子有意义，x必须满足因此函数的定义域为(1,2]．例1解2021/6/2727例2解故2021/6/2728函数的图形:2021/6/27292021/6/27302021/6/2731例1设函数,求f-1(x+1).令u=x+l则解2021/6/2732,,例2

求下列函数的反函数

f(x)=,当-1≤x＜0时，由y=得

x=当时，由y=x2+1得x=．交换x,y的位置，得反函数，０≤y＜1．于是，有解2021/6/2733定义:七.复合函数2021/6/2734注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.2021/6/2735例

设f(x)＝，

(x)＝求复合函数f(

(x))和

(f(x))．f(

(x))＝．

(f(x))＝

解

2021/6/27362021/6/27372021/6/2738五.函数的基本性质1.单调性定义3

设函数f(x)的定义域为D，区间ID,对于任意的x1，x2∈I，且

x1<x2，(1)若有f(x1)<f(x2),则称f在D内是单调增加的；(2)若有f(x1)>f(x2),则称f在D内是单调减少的；(3)若有f(x1)

f(x2),则称f在D内是不减的;(4)若有f(x1)

f(x2),则称f在D内是不增的.函数的单调增加和单调减少统称为单调,区间I称为f的单调区间.注：I可以是开区间或闭区间，也可以是半开半闭区间.2021/6/27392021/6/27402.奇偶性奇函数的图形关于原点对称,而偶函数的图形关于y轴对称

定义4

设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若x∈D,则-x∈D),对于任意的x∈D，(1)若有f(-x)=-f(x),则称f为D内的奇函数；(2)若有f(-x)=f(x)，则称f为D内的偶函数．2021/6/2741例讨论函数的奇偶性.所以f(x)是（－∞,+∞）上的奇函数.

函数f(x)的定义域（－∞,+∞）是对称区间，解2021/6/27423.有界性定义5

设函数f的定义域为D，区间ID,如果存在正数M，使得对任意的x∈I，都有∣f(x)∣≤Ｍ成立,则称f在I内是有界的,否则称f在I内是无界的.2021/6/2743定义6

设函数f(x)在D内有定义，若存在数M，使得对任意的x∈D，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)成立,则称f(x)在D内有上界(或有下界).2021/6/2744例如:函数y=sinx在其定义域(-∞,+∞)内是有界的，因为对任一x∈(-∞,+∞)都有|sinx|≤1.函数在(0,1)内无上界，但有下界．2021/6/2745

函数有界的几何意义：设y=f(x)在区间(a,b)内有界，即存在M>0，使得对任意的x(a,b),有∣f(x)∣M,即-Mf(x)M.因此,y=f(x)在(a,b)内有界在几何上表示y=f(x)在区间(a,b)内的函数图形必夹在两平行于x轴的直线y=±M之间.反之亦然.

2021/6/27464.周期性例如,函数f(x)=sinx的周期为2

;f(x)=tanx的周期是

.显然，若T为f的周期，则kT(k∈Z)都是f的周期．通常函数的周期是指它的最小正周期(如果存在的话)．

定义7

设函数f的定义域为D,若存在常数T≠0,使得对任意的x∈D,有x±T∈D,且f(x+T)=f(x),则称f为周期函数,T称为f的周期．2021/6/2747思考题1.2021/6/27482021/6/2749思考题解答设则故1.2021/6/27502、；

3、4、

5、[-1,1];[];,

.6.不存在反函数.2021/6/2751第二节初等函数一、基本初等函数1.常值函数：定义域为(-

,+

).函数图形为平行于x轴的直线.

y=C,其中C为常数2021/6/27522.幂函数:定义域和值域因的取值不同而有所不同，但无论

为何值,函数在(0,+∞)内总是有定义的.2021/6/2753其定义域是(－∞,+∞),值域为图象通过点(0,1),且总在x轴上方.当a>1时,函数是单调增加的；当0<a<1时,函数是单调减少的．如图示3.指数函数:以常数e=2.71828182…为底的指数函数y=ex是科技中常用的指数函数．2021/6/27544.对数函数:

对数函数的定义域为(0,+∞),图象过点(1,0).当a>1时，函数单调增加；当0<a<1时，函数单调减少．y=logax(a是常数且a>0,a≠1)并且由直接函数与反函数的关系可知：2021/6/2755科学技术中常用以e为底的对数函数y=logex,它被称为自然对数函数，简记作

y=lnx2021/6/27565．三角函数常用的三角函数有正弦函数y=sinx;余弦函数y=cosx;正切函数y=tanx；余切函数y=cotx;正割函数y=secx；余割函数y=cscx.其中自变量以弧度作单位来表示2021/6/2757正弦函数和余弦函数都是以2

为周期的周期函数，它们的定义域都为(-∞,+∞),值域都为［-1,1］．正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．2021/6/2758正切函数的定义域为余切函数的定义域为正切函数和余切函数的值域都是(－∞,+∞),且它们都是以

为周期的函数，它们都是奇函数.2021/6/27592021/6/2760正割函数y=secx;余割函数y=cscx.2021/6/27616.反三角函数反三角函数是各三角函数在其特定的单调区间上的反函数.(1)反正弦函数y=arcsinx，它是正弦函数y=sinx在区间上的反函数．其定义域为[-1,1]值域为

,为单调增函数。2021/6/2762(2)反余弦函数y＝arccosx，它是余弦函数y=cosx在区间[0,

]上的反函数．其定义域为[-1,1],值域为[0,

].为单调减函数。2021/6/2763(3)反正切函数y=arctanx，它是正切函数y=tanx在区间内的反函数．其定义域为(－∞,+∞),值域为为单调增函数。

2021/6/2764(4)反余切函数y=arccotx，它是余切函数y=cotx在区间(0,

)内的反函数，其定义域为(－∞,+∞),值域为(0,

).为单调减函数2021/6/2765二、初等函数

由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合运算所构成的能用一个解析式表示的函数称为初等函数，否则称为非初等函数．2021/6/2766几个常见的分段函数:1.

符号函数定义域D=(-

,+)，值域R={-1,0,1}.2021/6/2767是偶函数,周期函数,任何有理数都是它的周期，但没有最小正周期.２．狄利克雷函数2021/6/2768

３．绝对值函数定义域D=(-

,+

)，值域R=[0,+

).2021/6/27694

.

取整函数

y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线2021/6/27705.取最值函数yxoyxo2021/6/2771第三节经济学中常见的函数一、成本函数固定成本(FC)：是不取决于产量多少的成本.可变成本(VC)：是随产量x的增加而增加的成本．总成本(TC)：由固定成本和可变成本组成．2021/6/2772

对应于总成本、固定成本和可变成本，有相应的平均成本、平均固定成本和平均可变成本，分别记作AC、AFC和AVC.2021/6/2773二、收益函数收益：厂商销售商品的收入.

收益分为总收益和平均收益．总收益(TR)：是销售量x与销售单价p的乘积.平均收益(AR)：是销售单位商品的收益．即2021/6/2774三、利润函数利润是厂商总收益和总成本的差额,记作L,即

L(x)=TR(x)-TC(x)．当TR(x)＞TC(x)时,厂商盈利；当TR(x)＜TC(x)时,厂商亏损；当TR(x)=TC(x)时,厂商不赔也不赚，当产量x0使得TR(x0)=TC(x0),即L(x0)=0时,称x0为盈亏平衡点产量．2021/6/2775四、需求函数与供给函数

一般降价使需求量增加,涨价使需求量减少.若不考虑其它影响需求量的因素(如消费者收入等),可以认为需求量Qd是价格p的单调减函数,称为需求函数,记为Qd=fd(p)．

最简单的需求函数是线性需求函数，即Qd=a-bp，其中a,b均为正常数．

2021/6/2776

一般涨价使供给量增加，降价使供给量减少.从而可以认为供给量Qs是价格p的单调增函数,称之为供给函数,记为Qs=fs(p)

最简单的供给函数是线性供给函数,即Qs=dp-c,其中c与d均为正的常数.2021/6/2777

若市场上某种商品的供给量与需求量相等，则我们说这种商品的供需达到了平衡．此时该商品的价格称为均衡价格