（新教材适用）2023-2024学年高中数学第二章导数及其应用6用导数研究函数的性质61函数的单调性课后训练北师大版选择性

6.1函数的单调性课后训练巩固提升A组1.函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下面结论正确的是().(第1题)A.在区间(2,1)上,函数f(x)单调递增B.在区间(1,3)上,函数f(x)单调递减C.在区间(4,5)上,函数f(x)单调递增D.在区间(2,3)上,函数f(x)不是单调函数解析:由f'(x)的图象知,在区间(3,2),(2,4)上,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,在区间(1,2),(4,5)上,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故选C.答案:C2.函数y=x·ex的单调递减区间为().A.(∞,0) B.(∞,1)C.(0,+∞) D.(1,+∞)解析:y'=exx·ex=ex(1x),由y'<0,得x>1.因此,函数y=x·ex的单调递减区间为(1,+∞).答案:D3.已知函数f(x)=(1+x)22ln(1+x),则f(x)的单调递减区间为().A.(2,0) B.(1,0)C.(0,+∞) D.(0,1)解析:函数f(x)的定义域为(1,+∞),f'(x)=2x2+4x令f'(x)<0,得1<x<0,所以函数f(x)的单调递减区间为(1,0).答案:B4.函数y=13x3+ax2+bx3(a,b∈R)在区间(∞,1),(3,+∞)上单调递增,在区间(1,3)上单调递减,则a+b的值为()A.1 B.2 C.1 D.2解析:∵y'=x2+2ax+b,且原函数在区间(∞,1),(3,+∞)上单调递增,在区间(1,3)上单调递减,∴1与3是关于x的方程x2+2ax+b=0的两根.∴1+3=2a,1×3=b,可得a=2,b=3.∴a+b=1.答案:C5.已知函数f(x),g(x)满足当x∈R时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,若a>b,则有().A.f(a)g(a)=f(b)g(b)B.f(a)g(a)>f(b)g(b)C.f(a)g(a)<f(b)g(b)D.f(a)g(a)与f(b)g(b)的大小关系不定解析:由题意知[f(x)g(x)]'>0,从而函数y=f(x)g(x)在R上是增函数,又a>b,所以f(a)g(a)>f(b)g(b).答案:B6.函数f(x)=xln(x)的单调递减区间为;单调递增区间为.

解析:函数f(x)的定义域为(∞,0),f'(x)=ln(x)+x·1-x·(1)=ln(x)+令f'(x)<0,得x>1e令f'(x)>0,得x<1e故函数f(x)的单调递减区间为-1e,答案:-7.若函数f(x)=exax1在区间(2,3)上为减函数,则a的取值范围为.

解析:由题意知,f'(x)=exa≤0在(2,3)上恒成立.即a≥ex在x∈(2,3)上恒成立.∵2<x<3,∴e2<ex<e3.只需a≥e3.当a=e3时,f'(x)=exe3在x∈(2,3)上,f'(x)<0,即f(x)在(2,3)上为减函数,∴a≥e3.答案:[e3,+∞)8.设p:函数f(x)=x3+2x2+mx+1在区间(∞,+∞)上单调递增,q:m≥43,则p是q的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”解析:f'(x)=3x2+4x+m.若函数f(x)在区间(∞,+∞)上单调递增,则f'(x)≥0在区间(∞,+∞)上恒成立,由Δ≤0,得m≥43,故p⇒q反之,若m≥43,则f'(x)≥0,且不恒等于0,即f(x)在区间(∞,+∞)上单调递增,故q⇒p因此,p是q的充要条件.答案:充要9.丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的人,特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数f(x)在区间(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在区间(a,b)上的导函数为f″(x),若在区间(a,b)上,f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”.已知f(x)=x44-t3x3+32x2在区间(1,4)上为“凸函数”解析:由f(x)=x44-t3x3+32x2可得f'(x)=x3tx2+3x,f″(x)=3因为f(x)=x44-t3x3+32x2在区间(1,4)上为“凸函数”,所以当x∈(1,4)时,f″(x)=3x22tx+3令g(x)=32x+1x.因为g'(x)=321-1x2>0在区间(1,4)上恒成立,所以函数g(x)在区间(1,4)上单调递增,所以答案:5110.求函数f(x)=sinx2+cos解:∵2+cosx≠0,∴函数f(x)的定义域为R.f'(x)=(2+cos令f'(x)=0,得cosx=12从而x=2kπ±2π3,k∈当x∈2kπ-2π3,2kπ+2π3当x∈2kπ+2π3,2kπ+4π3故函数f(x)的单调递增区间为2kπ2π3,2kπ+2π3(k∈Z),单调递减区间为2kπ+2π3,2kπ+4π3(kB组1.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是().A.y=sinx B.y=xe2C.y=x3x D.y=lnxx解析:显然函数y=sinx在区间(0,+∞)上不单调,故排除A;对于函数y=xe2,因为e2为大于零的常数,所以不用求导就知函数y=xe2在区间(0,+∞)上单调递增;对于C,y'=3x21=3x+故函数在区间-∞在区间-3对于D,y'=1x1(x>0),故函数在区间(1,+∞)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增.故选B答案:B2.(多选题)若函数y=exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数y=f(x)具有性质M.下列函数中,不具有性质M的是().A.f(x)=2x B.f(x)=x2C.f(x)=3x D.f(x)=cosx解析:设函数g(x)=exf(x),对于A,g(x)=ex·2x=e2x,在定义域R上为增函数,具有性质M.对于B,g(x)=ex·x2,则g'(x)=x(x+2)ex,由g'(x)>0得x<2或x>0,g(x)=ex·x2在定义域R上不是增函数,不具有性质M.对于C,g(x)=ex·3x=e3x在定义域R上是减函数,不具有性质M.对于D,g(x)=excosx,则g'(x)=2excosx+π4,g'(x)>0在定义域R上不恒成立,不具有性质M.答案:BCD3.设函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为0,当x<0时,f'(x)g(x)f(x)g'(x)>0,且f(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是().A.(3,0)∪(3,+∞)B.(3,0)∪(0,3)C.(∞,3)∪(3,+∞)D.(∞,3)∪(0,3)解析:令F(x)=f(x)g(x).∵f(x),g(x)分别为定义在RF'(x)=f'(∵当x<0时,f'(x)g(x)f(x)g'(x)>0,∴F'(x)>0,∴函数F(x)在区间(∞,0)上单调递增.又F(3)=f(3)g(3)=∴当x<3时,F(x)<0;当3<x<0时,F(x)>0.又F(x)为奇函数,∴当0<x<3时,F(x)<0;当x>3时,F(x)>0.而不等式f(x)g(x)<0和f(x)g(x∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(∞,3)∪(0,3).答案:D4.已知函数y=f(x)对任意的x∈π2,π2,满足f'(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是(A.2f-B.2fπC.f(0)>2fπD.f(0)>2解析:因为函数y=f(x)对任意的x∈-π2,π2,满足f'(x)cosx+f所以f(x)cos所以函数f(x)cos因为π2<π3<所以f-即2f-π故A正确.答案:A5.已知在R上的可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x22x3)·f'(x)>0的解集为.

(第5题)解析:由函数f(x)的图象可知,在区间(∞,1)上,f'(x)>0;在区间(1,1)上,f'(x)<0;在区间(1,+∞)上,f'(x)>0.由(x22x3)f'(x)>0,得x解得x<1或1<x<1或x>3.故不等式的解集为(∞,1)∪(1,1)∪(3,+∞).答案:(∞,1)∪(1,1)∪(3,+∞)6.若函数y=43x3+bx有三个单调区间,则实数b的取值范围是.解析:若函数y=43x3+bx有三个单调区间,则关于x的方程y'=4x2+b=0有两个不相等的实数根.由Δ>0,得b>0答案:(0,+∞)7.定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件:①f'(1)=0;②f(x)的导函数是偶函数;③f(x)在x=0处的切线与第一象限、第三象限的平分线垂直.求函数y=f(x)的解析式和单调区间.解:函数f(x)的导数f'(x)=3ax2+2bx+c.已知f