2024（人教版）数学九年级下册 第27章 相似 知识清单+练习（学生版+解析版）

第二十七章相似（知识清单）

一、学习目标

1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质；

2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的

坐标的变化规律.

重点：

1.利用相似三角形的知识解决实际的问题：

2.位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形.

难点：

把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型并求解.

二、学习过程

章节介绍

中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，全等是一种特殊的相似.本章将在前面对全

等形研究的基础上，借鉴全等三角形研究的基本套路对相似图形进行研究.本章研究的主要问题是相似图形

的定义、性质和判定方法，研究的主要载体是三角形.此外，教科书在前面的章节中介绍了平移、轴对称和

旋转三种图形的全等变换，木章将介绍一种新的图形变换-位似.

线段的比及成比例线段、、//T平行线分线段成比例

定义

二（'3'对应线段的比等于相似比

性质与判定,相坤多_____

相似比］1边设-相似性质--------------------------

-----［面积的比等于相似比的平方

定义/%以_平行线截得三鱼形与原三曲形相似

y三角形---------------------------------

佟膨的放大与缩小,图形的J〔判定三边成比例

位似变换与坐标变化］［位似「

判定定理佃边成叱例且夹ffi相等

.两—

知识梳理

I.相似图形的概念：数学上，我们把具有；_____________的图形称为相似形.

2.相似多边形的概念：如果两个_________.相同的多边形____________相等、________________的两个多边

形叫做相似多边形.

3.相似多边形的性质：相似多边形的一_________、对应边________________.

4.相似比的概念：相似多边形叫做相似比.

5.比例线段的概念：对于四条线段a.b,c,d,如果其中相等，如

（即），我们就称四条线段是成比例线段，简称比例线段.

6.相似三角形的概念：在AABC和△A4TC中，如果NA二,ZB=,ZC=,且___=

==k,即三角分别、三边____________,我们就说^ABC和^ABC相似，为相

似比.

7.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的成比例.简称：平行线分线

段成比例.

8.平行线分线段成比例推论：平行十（或）,所得的对应线

段成比例.

9.相似三角形判定定理3：三边_________的两个三角形相似.

10.相似三角形判定定理4：两边_____________且___________________的两个三角形相似.

11.三角形相似判定定理5：两角分别的两个三角形相似.

12.直角三角形相似判定定理1：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一

条直角边对应____________,那么这两个直角三角形相似.

13.相似三角形的性质：

对应角_______、对应边

对应—的比等于相似比

对应的比等于相似比相似三角形的比等于相似比

相似三角形的性质一

对应_____的比等于相似比

对应的比等于相似比

对应面积的比等于

14利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：

（1）根据题意画出_________

（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的

（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出

（4）写出___________

15.位似图形的概念：

如果两个图形的都经过同一点，且这点与对应顶点所连线段，那么这两

个图形叫做位似图形.

16.位似图形的性质：

1）位似图形是一种特殊的图形，它具有图形的所有性质，即相

等，相等.

2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于.（位似图形的相似比也叫做

_____________________）

3）对应线段或者.

17.杷一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律：

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比（新图与原图的相似比）为k,那么

位似图形对应点的坐标的比等于，则图象上的对应点的坐标.

考点解读

考查题型一判断相似图形

I.下列图形，一定相似的是（）

A.两个直角三角形B.两个等腰三角形

C.两个等边三角形D.两个菱形

2.如图是世界休闲博览会吉祥物"晶晶”.右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”经下列哪个变换得到的（）

A.平移变换B.旋转变换C.轴对称变换D.相似变换

3.观察下列图形，这四组形状各异的图形中，是相似图形的有（）

A.1组B.2组C.3mD.4组

考查题型二由平行判定成比例线段

A

A潟B-IC-ID.§

3.如图，4。是△ABC的中线，点£•花4。上，AD=4DE,连接房并延长交力C于点F,则■：”的值是（）

4.如图，在△A8C中，AB=8C,点。为力B的中点，DE//BC交AC于点E,连接晅，若=13,AC=20,

则跖的长为（）

考查题型四证明两个三角形相似

1.如图，在RtA/WC中，CO是斜边A8上的高.

2.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在8C,AB上，且NADE=60。.求证：4ADCsN）EB.

3.已知：如图，点。在三角形A8c的AN上，。E交AC于点E/4DE=点尸在A。上，且4。2=力尸•..求

iiE：

A

(碟考

(2)hAEF^^ACD.

4.如图，△ABC是等边三角形,0、E在8C所在的直线上，^ABAC=BD-CE.求证：△AB0~AES.

5.如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8,BC=10.

(2)求线段EF的长度.

考查题型五补充条件使两个三角形相似

1.如图，D是△48C边48上一点，添加一个条件后，仍无法判定△ACD〜△4BC的是(

A•乙ACD=LBB.乙ADCFCBC.与嚏D.AC2=ADAB

2.如图，要使△4C0ABC,需要具备的条件是()

C.AC2=AD-ABD.CD2=AD-BD

3.如图，如果乙B4D=NC4E,那么添加下列一个条件后，仍不能确定△48C~△力DE的是（）

C.ABBC=ADDED.AB-AE=AD•AC

考查题型六相似三角形与动点问题

1.如图所示，LC=90°,BC=£cm,cosA=3：5,点P从点8出发，沿8C向点C以2cm/s的速度移动，点

Q从点C出发沿C4向点A以lcm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为

顶点的三角形恰与△48。相似？

2.如图，RtA/lBC中，ZC=90c,AC=3,^C=4.点?从点。出发沿折线。力一43以每秒1个单位长

的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿BC-CA-以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，点P,

Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止.设点P,Q运动的时间是/秒（t>0）.

发现：

(DAB=

(2)当点P,。相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时4P的长.

探究：

(3)当t=1时，△PQC的面积为:

(4)点P,Q分别在AC,8C上时，△PQC的面积能否是△48C面积的一半？若能，求出/的值；若不能，请

说明理由.

拓展:

(5)当PQII8c时，求出此时/的值.

3.如图，在七ZMBC中，NACB=90。，AC=8,8c=6,CQ_LA8于点。，点。从点。出发，沿线段。。

向点C运动，点。从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当

点P运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为，秒.

(1)求线段CD的长；

(2)设△CPQ的面积为S,求S与：之间的函数关系式，并写出在变量的取值范围;

(3)当/为何值时，△CPQ与仆CAD相似？请直接写出i的值.

考查题型七相似三角形与存在性问题

1.如图，在矩形A8C7)中，A8=3cm,BC=6cm,动点M以lcm/s的速度从A点出发，沿A8向点8运

动，同时动点N以2cm/s的速度从点。出发，沿。A向点A运动，设运动的时间为t秒(OVtV3).

⑴当£为何值时，△4MN的面积等于矩形4BC0面积的：？

(2)是否存在某一时刻3使得以A、M、N为顶点的三角形与△4CD相似？若存在，求出t的值；若不存在,

请说明理由.

2.如图，平面直角坐标系中，四边形048C为矩形，点48坐标分别为(4°)，(43),动点心N分别从°，B同

时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿。4向终点A运动，点N沿BC向终点C运动过动点M作MP1

0A,交AC于P,连接NP,设M、N运动时间为t秒，(0<t<4)

(1)当£=3秒时，P点的坐标为(—，一),PC=；

⑵当t为何值时，以0、P、N为顶点的三角形与△48。相似；

(3)在平面内是否存在一个点E,使以CP、N、E为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出t的值，若

不存在，说明理由.

考查题型八利用相似三角形性质求解

1.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为()

A.5B.6C.yD.y

2.如图，在配48CD中，EF//AB,DE'.EA=2:3,FF=4,则CO的长为（）.

A.yB.8C.10D.16

3.如图，面积为26的RSOAB的斜边08在x轴上，NABO=30。，反比例函数y=§图象恰好经过点A,

则k的值为()

A.-2石B.2后C.GD.-也

DEI

4.如图，点E是回4BC0的边4。上的一点，且AE5,连接班;并延长交c。的延长线于点F,若0E=3,DF=4,

则Z/WC。的周长为（）

A.21B.28C.34D.42

考查题型九利用相似三角形解决实际问题

1.如图，利用标杆DE测量楼高，点A,D,8在同一直线上，DELAC,BCA.AC,垂足分别为E,C.若

测得AE=lm,DE=1.5m,CE=5m,楼高8c是多少？

2.【学科融合】如图I,在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光

线分别位于法线两侧；入射角，•等于反射角儿这就是光的反射定律.

【问题解决】如图2,小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面

镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点8处反射后，恰好经过木板的边缘点F,落在墙上

的点七处，点七到地面的高度0E=3.5m,点尸到地面的高度6=l.5m,灯泡到木板的水平距离AC=5.4m,

木板到墙的水平距离为CO=4m.图中人，B,C,。在同一条直线上.

法线

入射光线;反射光线

0

光的反射定律

图1图2

(1)求8c的长；

(2)求灯泡到地面的高度AG.

3.如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒

的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点「落在墙上的点E处，

点E到地面的高度。E=3.5m,点F到地面的高度CF=1.5771,灯泡到木板的水平距离AC=5.4m,墙到木

板的水平距离为CO=4m.已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、。在同一水平面

(1)求8c的长.

(2)求灯泡到地面的高度.

4.在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的两名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时

刻的阳光下，他们分别做了以下工作；

小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米(如图1).

小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2),墙壁上的影长为1.2

米，落在地面上的影长为2.4米.

⑴在横线上直接填写甲树的高度为_____________米；

（2）画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度.

考查题型十位似图形的识别

1.下列选项中的两个图形（实线部分），不呈位似图形的是（）

A.AJ）C.上二"D.\

></

2.下列各组图形中不是位似图形的是（）

◎士K；三：

A.x—JB.7c.Lr_I'D.

考查题型十一利用位似图形的性质求解

1.如图，AA8C与△DE/"立似，点0是它们的位似中心，其中。E=2O8,则△43。与^DEF的周长之比

是（）

OBE

A.1：2B.I：4C.1：3D.1：9

2.如图，△ABC与△/»尸位似，点。为位似中心.已知。人：。。=1：2,则△A4C与△。砂的面积比为

D

A.I：2B.1：3C.1：4D.1：5

3.如图，图形甲与图形乙是位似图形,0是位似中心，位似比为2:3,点48的对应点分别为点AB'.若

48=6,则力'夕的长为()

考查题型十二在坐标系中画位似图形

1.在平面直角坐标系内，△A8c的位置如图所示.

B

⑴将△4BC绕点。顺时针旋转90。得到△48iG，作出

(2)以原点O为位似中心，在第四象限内作出△的位似图形A2c2，且44282c2与448c的相似比为

2:1.

2.如图，△力8。三个顶点的坐标分别为力(1,2),8(3,1),。(2,3),以原点。为位似中心，将△/1BC放大为原来

的2倍得△A'B'C.

(1)在图中第一象限内画出符合要求的△AB'U(不要求写画法)

(2)计算△48'L的面积.

3.如图,在平面直角坐标系中,△。力B的三个顶点的坐标分别为。(0,0),4(6,3),8(0,5).

(1)画出△0A8绕原点。逆时针方向旋转90。后得到的^。为当；

(2)连接力名,乙。的度数为。；

(3)以原点0为位似中心，相似比为：，在第一象限内将△/IB。缩小得到△庆当。，画出△A2/。，直接写出

点儿的坐标.

第二十七章相似（知识清单）

一、学习目标

1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质；

2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的

坐标的变化规律.

重点：

1.利用相似三角形的知识解决实际的问题：

2.位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形.

难点：

把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型并求解.

二、学习过程

章节介绍

中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，全等是一种特殊的相似.本章将在前面对全

等形研究的基础上，借鉴全等三角形研究的基本套路对相似图形进行研究.本章研究的主要问题是相似图形

的定义、性质和判定方法，研究的主要载体是三角形.此外，教科书在前面的章节中介绍了平移、轴对称和

旋转三种图形的全等变换，木章将介绍一种新的图形变换-位似.

线段的比及成比例线段

平行线分线段成比例

定义

性质上万后

相似多对应线段的比等丁却似比

边形相似性质

相似比面积的比等于相似比的平方

定义相似_平行线世得三角形与原三用形相似

1%形的放大与薪I」图出的三角形一

判定三边成比例

位似变换与坐标变化位似

判定定理两边成比例II夹ffl福等

.两角相等

知识梳理

1.相似图形的概念：数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形.

2.相似多边形的概念：如果两个边数相同的多边形对应角相等、灯应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.

3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例.

4.相似比的概念：相似多边形对应边的比叫做相似比.

5.比例线段的概念：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的二匕（即它们长度的比）与另两条线段的比相

等,如a:b=c:d（即ad=bc）,我们就称四条线段是成比例线段，简称比例线段.

6.相似三角形的概念：在△ABC和△ABC中,如果NASA，，ZB=ZBSZC=ZCS且第=器=备=k,

即三角分别相等、三边成比例，我们就说△ABC和△ABC，相似，k为相似比.

7.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.简称：平行线分线段成

比例.

8.平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成

比例.

9.相似三角形判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.

10.相似三角形判定定理4：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

11.三角形相似判定定理5：两角分别相等的两个三角形相似.

12.直角三角形相似判定定理1：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一

条直角边对•应成比例，那么这两个直角三角形相似.

13.相似三角形的性质：

一|对应一相等、对应边成比例

对应高的比等于相似比

对应中线的比等于相似比相似三角形对应线段的比等r•相似比

对应周长的比等于相似比

对应面枳的比等丁相似比的平方

14.利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：

（1）根据题意画出示意图

（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的已知线段、已知角

（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出未知量

（4）写出答案

15.位似图形的概念:

如果两个图形的对应顶点的连线都经过同一点，且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个图形

叫做位似图形.

16.位似图形的性质：

1）位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等.

2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.（位似图形的相似比也叫做位似比）

3）对应线段平行或者在一条直线上.

17.把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律：

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比（新图与原图的相似比）为匕那么

位似图形对应点的坐标的比等于k或-k,则图象上的对应点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）.

考点解读

考查题型一判断相似图形

1.下列图形,一定相似的是（）

A.两个直角三角形B.两个等腰三角形

C.两个等边三角形D.两个菱形

【答案】C

【分析［根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解.

【详解】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；

两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；

C两个等边三角形，角都是60。，故相似；

。.任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；

故选C.

【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是

解题的关键.

2.如图是世界体闱博览会吉祥物,，晶晶”.右边的“晶晶''是由左边的“晶晶''经下列哪个变换得到的（）

A.平移变换B.旋转变换C.轴对称变换D.相似变换

【答案】D

【分析】根据相似变换的概念判断即可.

【详解】解：•••右边的“晶晶”和左边的“晶晶”只有形状相同，

.•.两个图形相似，

.•・右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”通过相似变换得到的.

故选：D.

【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟记各种变换的概念的解题的关键.

3.观察下列图形，这四组形状各异的图形中，是相似图形的有（）

嗓《@@口口0噌

A.1组B.2组C.3组D.4组

【答案】B

【分析】根据相似图形的定义,对图形进行一一分析，选出正确答案.

【详解】解：第一组形状不同,不符合相似形的定义;

第二组形状相同，但大小不同,符合相似形的定义;

第三组形状相同，但大小不同,符合相似形的定义:

第四组形状不同，不符合相似形的定义,

是相似图形的有2组.

故选：B.

【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变

换.

考查题型二由平行判定成比例线段

1.如图，在△ABC中，点。在8c边上，连接AD,点G在线段AD上，GE//BD,且交AB于点E,GF//AC,

且交CO于点F,则下列结论一定正确的是（）

BDF

人ABAG「FGEGnAECF

A*族=茄B吟4D.—=—

c•就=而BEDF

【答案】D

【分析】根据EG〃8D,可得△AEGS^ABD,根据尸G〃4C,可得△OGFS/\D4C,再根据相似三角形的

性质即可求解.

【详解】解：*：GE//BD,

・.嚏=蓝"EGs”心

.ABAD

**AE-AGf

故选项A错误;

•：GF//AC,

*=奈△DGF^ADAC,

故选项B错误:

DF_DG

CF-AG

...一AE=一CF

BEDF

故选项D正确;

■:区AEGSMABD、△DGF^ADAC,

竺—竺EG__AG_

AC~DA'BD-AD

故选项C错误;

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质及判定，利用平行线分线段成比例，找

出比例式是解题的关键.

2.如图，AC||BD,4。与8C交于点E,过点E作EF||8。，交线段48于点F,则下列各式错误的是（）

n，n

A———BFBEcAE.BE1D.——AF=——CE

*BF~EDB・好=菽c而+靛=1BFED

【答案】D

【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可.

【详解】解：对A、B选项.'：AC||BD,EF||BD,

：.EF||AC,

9=M案=笄故AB正确，不符合题意;

brcUArcC

八.AEAFDEBF

・e，

C•—AD=—AB—BC—AB

「•暖+霹=喘+喘=陪=穿=1，故C正确，不符合题意;

ADBCABABABAB

D・噎喑，而DEHEB,

・•・暖工品故D错误，不符合题意.

HrciJ

故选：D.

【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于

中考常考题型.

3.如图，在中，DEIIBC,DFIIAC,则下列比例式中正确的是（）

A

A_=_R匕="c—=—D—=—

ADAC*FCECFCAC'FCAE

【答案】D

【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可.

【详解】解：A.由。FIMC,得黑=能故A选项错误；

B.由DFIIAC,得整=骼又由DEIIBC,得瞿=登，则整=工,故B选项错误，D选项E确:

FCDADAEAFCEA

C.*DFIIAC,得黄=能故C选项错误；

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于

三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.

考查题型三由平行截线求相关线段的长或比例

1.如图，直线，直线4c和。尸被，1，G，0所截，48=5,BC=6,EF=4,则DE的长为（）

A.2B.3C.4D.-3

【答案】D

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可.

【详解】解：:直线h〃12〃13，

.AB_DE

VAB=5,BC=6,EF=4,

.5DE

••一6=4一.

ADE=-.

3

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理.，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此

题的关键.

2.如图，在△48。中，点。在边/IB上，过点。作OEIIBC,交AC于点、E.若=2,BD=3,则"的值

AC

是（）

A.IB.1C.|D.3

【答案】A

【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得崂=力即可求解.

【详解】解：:△ABC中,DEIIBC,

.AEAD

••,

ACAB

*：AD=2,BD=3

,AE_AD__2__2

**AC~AD+BD-2+3-5*

故选：A.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边

（或两边的延长线）所得对应线段成比例”.

3.如图，4D是的中线，点£在4。上，AD=4DE,连接距并延长交4c于点F,则反：/C的值是（）

【答案】A

【分析】过点力作DGIIAC,与M交于点G,于是/C=2QG,AF=3DG,：,AF.FC=3DG:2DG=3:2

【详解】过点。作。G||AC,与B尸交于点G,如图：

A

vAD=4DE

:.AE=3DE

•••力。是△ABC的中线

•一B一D一,，—_1

,DC~2

AF_AE_3DE_

''~DG=~DE=~DE='

即4尸=3DG

.-.AFiFC=3DG-.2DG=3:2

故选：A.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟悉概念是解题关键.

4.如图，在△力BC中，AB=8C,点。为力B的中点，DE〃BC交AC于点、E,连接跖，若DE=13,AC=20,

则姓的长为()

【答案】C

【分析】根据题意可知。£为4力3c的中位线，根据等腰三角形的性质可得BE1AC,勾股定理解Rt△8CE即

可求解.

【详解】•••点。为48的中点，

AD=BD,

•••DE//BC,

.=竺=1,

BDEC

•••AE=EC

ADE=^BC,

ABC=2DE=26,EC=^AC=ID,

AB=BC,AE=EC,

BE1AC1

在Rt△BCE中，BE=y]BC2-EC2=24,

故选C.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线的判定与性质，三线合一，勾股定理，求得E是47

中点是解题的关键.

考查题型四证明两个三角形相似

1.如图，在48C中，CQ是斜边A8上的高.

【答案】见解析

【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可.

【详解】证明：如图，

.・.^ADC=ZACB=9（r

••YA是公共角

△ACDABC.

【点暗】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理

证明.

2.如图，在等边三角形ABC中，点。，E分别在8C,上，且NAZ）E=60。.求证：△AOCs△。研.

【答案】见解析

［分析］根据等边三角形性质得出N8=ZC=60°,根据三角形外角性质得出Z1+ZC=Z1+60。,

根据/人。石=60。，可得N4D8=/2+60。，可证N1=N2即可.

【详解】证明：•••△4BC是等边三角形，

・・・NB=NC=60。，

・•・ZADB=Z1+ZC=Z1+6O°,

,?ZADE=60°,

:.NAQ3=N2+60。，

・・・NI=N2,

AADCSADEB.

【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定，掌握等边三角形性质，三角形外

角性质，三角形相似判定是解题关键.

3.已知：如图，点D在三角形/WC的人月上，/）E交AC于点石/ADE=F^EADRAD2=AF-AB.

证：

(2)AAEFs△力co.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析］⑴根据乙4CE=/B,可得OEIIBC,从而得到黑=夕，即可求证;

DBhC

⑵根据心可得*笫从而得到浮笫耐求证.

【详解】（1）证明：•・・4/WE=NB,

：.DEIIBC,

.ADAE

9

••1LB—'EC

,AD_AE

••布一~AC'

(2)证明：*：AD2=AF-AB,

,ADAF

9

••A1B—A'D

..ADAE

•-----，

ABAC

.AEAF

..一=一.

ACAD

又乙4=乙4,

AAEF^^ACD.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例，相似

三角形的判定定理是解题的关键.

4.如图，△力BC是等边三角形，。、E在8c所在的直线上，月弘B/C=BZ)・CE.求证：△48。〜

【答案】见解析

【分析】先由等边三角形的性质推出NAEANECA,再由=得到丝二除即可推出

ECCA

△ABDSAECA.

【详解】解；•••△46C是等边三角形，

NA8GN八CB=60°,

；・18O°-NABC=I8O0-/ACB,

工^ABD=^ECAt

y,9：ABAC=BDCE,

・ABBD

••—=—，

ECCA

・•・AABD^AECA.

【点睛】本题主要考查了相似二角形的判定，等边二角形的性质，熟知相似二角形的判定条件是解题的关

键.

5.如图，将矩形ABCD沿CE向上折置，使点B落在AD边上的点F处，AB=8,BC=10.

（2）求线段EF的长度.

【答案】（1）证明见解析；（2）EF=5.

【分析】（1）由四边形4BCQ是矩形，于是得到乙4=/。=/8=90。，根据折叠的性质得N"T=NB=90。，

推出即可得到结论；

（2）根据折叠的性质得。尸二8。=0,根据勾股定理得到DF=7C『-CD?=6,求得然后根据勾股

定理列方程即川得到结论.

【详解】解：（1）•・•四边形是矩形，

AZA=ZD=Z«=90°,C£）=A8=8,

根据折叠的性质得NEFC=NB=90。，

^AFE+ZAEF=ZAFE+ZDFC^Q0,

・•・/AEF=/DFC,

・•・AAEF^ADFC；

（2）根据折叠的性质得：CF=BC=\O,BE二EF,

：.DF=>/CF2-CD2=6,

・・"F=4,

,：AE=AB-BE=S-EF,

：,EF2=AE2+AF2,

即EF2=（8-£F）2+42,

解得：EF=5.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题.解题的关键是

灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答.

考查题型五补充条件使两个三角形相似

1.如图，D是AABC边AB上一点,添加一个条件后，仍无法判定△4CD的是（1

D

BL--------------------

A.LACD=LBB.^ADC=Z-ACBC.黑=段D.AC2=ADAB

ACBC

【答案】c

【分析】根据公共角再分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可.

【详解】•：&=5

A、当乙4CZ）=时，再由乙4=乙4,可得出△AC。〜△A8C,故选项A不合题意；

B、当4=时，再由匕4=匕力，可得出△力CD〜△A8C,故选项B不合题意；

C、当器=器时，乙1不是夹角，所以无法得出A/。。-△4OC，故选项C符合题意；

D、当AC2二力。^^时，即竺二竺，再由立力二44故选项D不合题意；

ABAC

故选：C.

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键.

2.如图，要使△ACD〜△/8C,需要具备的条件是（）

B•黑啜

C.AC2=AD-ABD.CD2=ADBD

【答案】C

【分析】题目中隐含条件N4=NA,根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条

件只能是党=*，根据比例性质即可推出答案.

ABAC

【详解】解：•・・在△AC。和△A4c中，NA=NA,

・•・根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：党二号,

/IU/IC

：.AC2=AD-AB.

故选：c.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.

3.如图，如果NB/W=NC4E,那么添加下列一个条件后，仍不能确定A/IBCsZk/WE的是（）

C.ABBC=AD-DED.AB-AE=AD-AC

【答案】C

【分析】根据题意可得=然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解.

【详解】解：•••-884=4CAE,

：.£EAD=LCAB,

A.若添加/8=乙。，可用两角本应相等的两个三角形相似，证明△48C〜△ADE,故本选项不符合题意；

B.若添加”=41E0,可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△43。fADE,故本选项不符合题意；

C.若添加48-BC=40-0E,不能证明△48。〜△力0E,故本选项符合题意；

D.若添加48AE=AD-AC,可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ABC八ADE,

故本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

考查题型六相似三角形与动点问题

1.如图所示，ZC=90°,BC=8cm,cos/1=3：5,点P从点8出发，沿向点C以2cm/s的速度移动，点

Q从点C出发沿。4向点A以lcm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为

顶点的三角形恰与△48c相似？

【答案】过2.4或叠秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△48C相似

【分析】由“=90°,BC=8cm,cosA=3：5,即AC：必=3：5,利用勾股定理即可求得4B与力。的长,

然后设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△”(?相似，则可得BP=2tcm,0=80-瓦>=(8—2f)(cm),

CQ=tcm,再分别从当著=当时,△CPQSMB4与当着=/时,&CPQs〉CAB,去分析求解即可求得

答案.

【详解】解：NC=90°,BC=8cm,cosA=3：5,即AC：9=3：5,

二设4c=3xcm,=5"m,

叫BC=y]AB2-AC2=4x(cm)

即4x=8,

解得：x=2,

..AC=(x'mtAB=10cm,

/.BC=8(cm)

设过£秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△力8c相似，

制BP=2z(cm)CP=BC-BP=(8-2/)(cm)CQ=/(cm)

・•,/c是公共角，

・•・①当笑=铮即唾=£时，ACPQS^CBA,

CBCA86

解得：£=2.4,

②里=器，雌了=:时,ACFQS〉CAB,

CACB68

解得：t=手

•••过2.4或壬秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△力BC相似.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理.此题难度适中，掌握数形结合思想、分类讨论思想与

方程思想的应用是解题的关键.

2.如图，RtZkHBC中，LC=90°,47=3,8c=4.点尸从点。出发沿折线口一人口以每秒i个单位长

的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿BC-CA-718以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，点P,

。同时出发，当其中一点到达点8时停止运动，另一点也随之停止.设点P，。运动的时间是/秒(t>0).

发现：

(1)/W=；

(2)当点P,。相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时4P的长.

探究:

(3)当t=l时，ZiPQC的面积为：

(4)点P,。分别在AC,8C上时，△PQC的面积能否是△ABC面枳的一半？若能，求出，的值；若不能，请

说明理由.

拓展：

(5)当PQIIBC时,求出此时/的值.

【答案】⑴5

(2)相遇点在AB边上，1

(3)1

(4)不能,见解析

(5"若

【分析1(1)利用勾股定理直接求解即可；

(2)分类讨论点的位置对应不同的时间，直接计算即可；

(3)直接求出边长来求面积即可；

(4)解方程时通过求根公式来说明不能取到值；

(5)先画出图形，然后利用平行线间的线段比列方程求值.

22

【详解】(1)在Rt448c中，AB=\/AC+BC=内2+42=5

：,AB=5；

(2)点P运动到8需要：(4+5)+1=9s

点。运动到B点需要：(3+4+5)+2=6s

当点P,Q相遇时,有2t-t=4.解得t=4.

・•・相遇点在边上，

此时为P=4-3=1.

(3)当t=l时，PC=1,BQ=2,即CQ=2

•,应PQC="C•CQ=4x1x2=1

故答案为1；

(4)不能

理由：若△PQC的面积是A/BC面积的一半，

即)(4-2£)=：x：x3x4,化为产一2t+3=0.

VZi=(-2)2-4xlx3<0,

・•・方程没有实数根，

即APQC的面积不能是△A8C面积的一半.

(5)由题可知，点P光到达AB边，当点Q还在AC边上时，存在PQII8C,如图所示.

*：AQ=7—23AP=t-3,

•7-2tt-3

■■-3-=--5-・

解得"9

XD

即当PQII8C时,"晟.

【点睛】此题考查动点问题以及平行线的线段比，解题关键是将点的路程表示出来找到等量关系，以及平

行线中线段成比例列方程.

3.如图，在心△"(?中，NAC8=90。，4C=8,BC=6,CQL18于点。，点P从点。出发，沿线段QC

向点C运动，点。从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当

点P运动到点。时，两点都停止运动，设运动时间为，秒.

(I)求线段CD的长；

⑵设的面积为S,求S与；之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(3)当/为何值时，△CPQ与^CAD相似？请直接写出t的值.

【答案】⑴4.8

(2)5=SACPQ=-1t2+^t(0<t<4.8)

(3)3或：

【分析】(1)利用勾股定理可求出入B