2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测-图形的相似

中考数学一轮复习资料五合一

《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》

（全国通用版）

第22钎囹形的相依

核心考点］：比例的相关概念及性质

1.线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比.

ab

2.比例中项：如果后公即〃2=改,我们就把〃叫做a,c的比例中项.

3.比例的性质

性质内容

aC

性质1—<=>ad=bc(ab,c,dXO).

bd

,ace,c±d

性质2如果m丁=二，那么一^二一^.

baba

,ac"2,、«+c+,,,+/??in一3

性质3如果一二-=•••=—(/>+[+•••+”,()),贝ij-------------------=一(不唯一).

bdnb+d+•,•+«n

4.黄金分割：如果点C把线段A8分成两条线段，使把二空，那么点。叫做线段4C的黄金分割点，

ABAC

AC是3c与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比.

核心考点［：相似三角形的判定及性质

1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比口1|做相似比.

2.性质：1）相似三角形的对应角相等；2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；

3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

3.判定：1）有两角对应相等，两三角形相似；2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似：3）三边

对立成比例，两三角形相似；4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.

【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：

I）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）;

2）条件中若有一对等角，可再找一对等角［用判定（1）］或再找夹边成比例［用判定（2）］；

3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；

4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；

5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例.

核心考点相似多边形

1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相

似比.

2.性质：1）相似多边形的对应边成比例；2）相似多边形的时应角相等；3）相似多边形周长的比等于相

似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方.

1.定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直

线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比.

2.性质：I）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为鼠那么位似图形对应点的

坐标的比等于攵或-木2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相以比.

3.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即

是位似中心.

4.画位似图形的步骤：

1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原

图形中各关键点的对应点：5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.

图形的相似是非常重要的一块内容，内容相对较难，涉及到的题型也比较多。

倒一考查黄金分割、比例性质

1.如果点C是线段A8的黄金分割点（AC>8C）,那么下列结论正确的为（）

A.­=0.168B.C.BC2=ACABD.AC2=BCAB

ABBC=2

【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可.

【详解】解：,点C是线段48的黄金分割点，AOBC,

一•AC是BC和的比例中项，即生=%=五二1,

ACAB2

•••AC2=ABBC,

•・・选项A、B、C结论错误，不符合题意，选项D结论正确，符合题意,

故选：D.

【反思】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题

的关键.

2.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，。是A8

的黄金分割点（AP>4P）,若线段/W的长为4cm,则AP的长为（）

■

A.25/5-2D.2>/5-1

⑥【分析】根据黄金分割的定义可得心=与1"据此求解即可.

【详解】解：是43的黄金分割点（AP>8P）,A4=4cm,

AP=^^-x4=（2x/5-2）cm；

故选：A.

【反思】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键.

考查相似的性质

自2

3.已知两个相似多边形的面积之比是1:4,则这两个相似多边形的相似比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

Q【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方计算选择即可.

【详解】•••两个相似多边形的面积之比是1:4,

这两个相似多边形的相似比是1:〃=1:2,

故选A.

【反思】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的面积之比等于相似比的平方是解题的关

键.

考查平行线分线段成比例定理

4.如图，直线4〃/2〃朵直线AC和Z)尸被4,L4所截，48=5,BC=6,EF=4,则DE的长为

()

c10

A.2B.3C.4D.—

3

e【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可.

【详解】解：•4〃4〃儿

.ABDE

~BC~~EF'

•_5_—_D_E_

解得。E=

故选：D.

【反思】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解

此题的关键

考杳相似三角形的性质与判定

5.如图，AO£S；A3C,若AO=I,40=2,则花与ABC的相似比是()

A.1:4B.1:3

【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比求解.

【详解】解：AADESSB。,

ADAD1

-----=--------------=—.

ABAD+BD3

故选：B.

【反思】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

6.如图，ZA=ZB=90\AB=7,BC=3,AD=2,在边A8上取点P,使得4%。与PBC相似，则满足条

件的点P有（）

A,1个B.2个

【分析】根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：①若;②若

AAPDSABCP.

【详解】解：1ZA=ZB=90°,

若一24。与.PBC相似，可分两种情况：

①若△”"△即。,

APAD

贝niIl——=——

BPBC

AP2

7-AP3

解得AP=2£

②若△APDs/^BCP,

.APAD

贝niI——=——,

BCBP

.AP__2_

"~T~7-AP

解得Ao=1或6.

，则满足条件的AP长为2.8或1或6.

故选：C.

【反思】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键.

7.如图，在ABC中，AB=AC,点。为线段BC上一动点（不与点8,C重合），连接AO,作

ZA£>E=Z5=40°,OE交线段AC于点E.

下面是某学习小组根据题意得到的结论：

甲司学：AABDADCE；

乙司学：若4）=。E，则8£>=CE；

丙司学：当OE上AC时，。为BC的中点.

则下列说法正确的是（）

C.甲和丙同学正确D.三个同学都正确

目【分析】在.A5C中，依据三角形外角及已知可得N84O=NCOE,结合等腰三角形易证

△ABD△0CE；结合4D=OR易证△ABOgAOCE,得到8O=CE；当OE上AC时，结合已知求得

Z£DC=50",易证AD/6C,依据等腰三角形“三线合一“得=CD

【详解】解：在以8c中，

AB=AC,

.­.ZC=ZB=40°,

4+NBAD=/CDE+ZADE,ZADE=ZB=40°,

;2BAD=/CDE,

ABD~DCE,

甲司学正确；

ZC=Zfi,ZBAD=ZCDE,AD=DE,

ABD^^DCE,

BD=CE,

乙司学正确；

当OE/AC时，

/.ZDEC=90°,

OO

.­.ZEDC=9()-ZC=5()I

/ADC=ZADE+NEDC=90°,

:.ADA.BC,

AB=AC.

BD=CD,

D为BC的中点,

丙司学正确;

综上所述：三个同学都正确

故选：D.

【反思】本题考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质；

解题的关键是通过“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”得至=.

8.下列证方形方格中四个三角形中，与甲图中的三角形相似的是（)

A.

【分析】先根据勾股定理求出各三角形的边长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求

解.

【详解】解：设网格中小正方形的边长为1,则给出的三角形三边长分别为啦,2©府,

A、三角形三边长分别是2,#+3?=30

2yr\/10_>/53>/2_3>/5

因为忑='2,呈赤

所以贝。正w迈与给出的二角形的各边不成比例，故此选项不符合题意；

25

V2_2>/2_V10

三角形三边长分别是2,4,7?寿=2石，因为所以与给出的三角形的各边成比

B、~2=~=275

例故此选项符合题意；

722V2Vio

C、三角形三边长分别是2,3,7?万=屈，因为与给出的三角形的各边不成比例，故

23vH

此选项不符合题意;

因为辛工学工叵

D、三角形三边长分别是巧丁=石，疹了=旧,4.所以与给出的三角形

后h4

的各边不成比例，故此选项不符合题意；

故选：B.

【反思】本题主要考查了两三角形相似的判定定理，熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解题

的关键.

窗5一

考查相似三角形的应用

9.如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边。尸

保持水平，边OE与点8在同一直线上.已知直角三角纸板中0E=l8cm,FF=12cm.测得眼睛。离地

面的高度为1.8m,他与“步云阁”的水平距离CD为114m,则“步云阁”的高度A8是（）

步云阁

A.74.2mB.77.8mC.79.6mD.79.8m

r）pFF

【分析】先证明AOE尸得到崇二大，求出8c=76m,即可得到“步云阁”的高度.

CDBC

【详解】解：NOE/7=NBC。=90。，ND=ND,

.IDEFS&DCB,

.DEEF

''CD~~BC'

DE=18cm,EF=12cm,C£)=114m,

.二12

'H4"BC

.\BC=76m

测得眼睛。离地面的高度为1.8m,

AC=1.8m

:.AB=AC+BC=1.8+76=77.8m,

故选B.

【反思】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质时解题关键.

10.数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长仍为20米（如图），然

后在A处树立一根高3米的标杆，测得标杆的影长AC为4米，则楼高为（）

/DD

,DD

田

A.10米B.12米C.15米D.25米

【分析】根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解.

标杆的高一楼高

【详解】标杆的影长一康看'

3楼高

即=

4-

20

「•楼高=15米，

故选：C.

【反思】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，找出相似三角形是解决问题的关键.

考杳位似图形的性质

11.下图所示的四种画法中，能使得.QE尸是二ABC位似图形的有（）

H【分析】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解.

【详解】解：，•每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行

・•・①②3④能使得一QE尸是,A8C位似图形,

故选：D.

【反思】本题考查了位图图形的性质与画法，掌握位似图形的性质是解题的关键.

考查相似三角形的性质与判定（解答题）

12.已知，在4ABe中，D,E分别是边AC,AB上的点，连接8。，CE,DE.EC和8。相交于点

0且ZABC=ZADE.

Q）求证：4ABCS4ADE；

⑵若带亮，求第的值・

【分析】（1）用相似三角形的判定方法：两角对应相等的两三角形相似，找出NABC=N/1DE,

NA=4即可证明；

（2）用相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，然后进行转换即可求解.

【详解】（1）证明：NABC=NAOE,ZA=Z4,

「•AABCSAADE.

（2）V^ABC^^ADE,

ACAB

:•——=——,

AEAD

.AC_AE

一而-75'

••AE_9

,而一6

,AC_9

一而一16'

【反思】本题考查了相似三角形的判定方法及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键.

13.【教材原题】如圉①，在A5C中，DE//BC,且AD=3,DI3-2,图中的相似三角形是

它们的相似比为；

【改编】将图①中的VAO£绕点A按逆时针方向旋转到如图②所示的位置，连接30、CE.求证：

【应用】如图③，在aABC和V4）石中，ZBAC=ZDAE=90°,NA3C=ZA£>£=30。，点。在边8C

上连接CE,则AACE与△A8D的面积比为.

图①图②图③

【分析】教材原题：根据平行线的性质可得WE=NB.ZAED=ZC,即可得出

△ADEs^ABC,再求出对应边的比，即可得出相似比；

AnACADAB

改编：根据AADE^/XABC得出N84C=/DAE,——=—,进而得出/BAD=ZCAE,

ABAC~AE~~AC

即可求证；

应用：根据皿C=〃4E=90。ZABC=ZADE=3^^BC^ADE,则要,进而得出

ABD-.ACE,根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解.

【详解】教材原题

解：=DE//BC,

-ZADE=ZB,ZAED=ZC,

•••AADEs^ABC；

/AD=3,DB=2,

AB=AD+DB=5,

,相似比为当=■!.

AB5

3

故答案为：△ADEsXABC、-；

J

改编：证明：•・,△ADEs/\ABC,

ADAE

-^BAC=ZDAE.

~AB~~AC

・••ABAC-ZC4D=ZDAE-ZCAD,

ADAB

ZBAD=ZCAE,

~AE~~AC

••△ABOSQCE.

应用：•••N3AC=N〃E=900,ZS4BC=Z4DE=30°,

AABCS^ADE,

碧=釜则宾=,

•NR4C=N"E=90。，

Zft4C=ZZME=90°,

.ABAC-ADAC=ZDAE-ADAC,即NBAO=NC4M

-AABDACE,

•ZZ?/4C-90°,zTABC=300,

6

•-A-C-=---・

AB3

SACE

s

JAfil)3

故答案为：!

【反思】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性

质.

14.如图，ABC是等腰直角三角形，AB=AC,点DE,尸分别在A8,BC,AC边上,

DEVDF,NDEF=45。,。尸的延长线与8C的延长线相交于点G.

⑴不添加辅助线，在图中找出一个与4友用相似的三角形(不需证明)；

(2)若4。=1,AF=2,求EC的长；

(3)若tan/8OE=21.求F3G的值.

2EB

【分析】(1)由等腰直角二角形的性质可得/8=NC'=45'再说明=即可解答；

(2)如图：过点E作E7/J_A'垂足为“，先证VAE尸WV的可得AO=E〃=1,AE=OH=2进而得

到BH=HE=1,再根据等腰直角三角形的性质可得8£=夜8”=虚、BC=gB=4及,最后根据线

段的和差即可解答.

EH

(3)过点C作MC_LAC,交。G于点M,可得C例〃A8,再根据三角函数可得!,设EH-m,

DH2

则DH—2，%结合(2)可得EH=AD=EH=m,DH=AF=2，n,RE=、再证明

\ADF?VCM"ASA)可得AO=CM=in,然后再证明NBDG:NCMG可得一=「即

BDBG

S=茄，解得CG=2〃!，进而求得EG=5夜〃7,最后代数求解即可.

【详解】⑴解：结论：ABDE-CEF.如下：

理由：•••AB=AC,ZA=90°,

ZB=ZC=45°.

/BDE+/BED=180°-ZB=I35°.

•••/DEF=45。,

AZBED+NFEG=180°-/DEF=135°,

・••/BDE=NFEG,

••&BDECEF.

(2)解：如图：过点E作E”_L/W,垂足为凡

-DEIDF,

ZEDF=90°,

vZDEF=45°,

•••DE=DF,

ZADF+NEDB=90°,/ADF+ZAFD=90°,

•••ZAFD=ZEDB,

••NA=/&/£)=90°,

••一ADFmHED(AAS),

:.AD=EH=1,AF=DH=2,

ZB/7E=90°,ZB=45°,

••BH=HE=1,

••BE=6BH=五,AB=AD+DH+BH=4,

BC=42AB=4>/2.

EC=BC-BE=36•

(3)解：如图：过点C作MC_LAC,交。G于点M,

.*.Z4=ZMC4=90°,

CM//AB,

在中，tanZBDE=-,

2

•,.E-H=_\

DH2

设EH=m,贝1」。〃=2利，

由(2)得：EH=AD=BH=m,DH=AF=2叫BE=y[lBH

AC=AB=AD+DH+BH=4/».

•••BC=0AB=4岛,CF=AC-AF=4m-2m=2m.

AF=CF,

•//A=/MCF=90°,/AFD=/MFC,

VA。/二VCM"(ASA),

AD=CM=m,

'.CM//AB.

："B=ZMCG,/BDG=/CMG,

・•.YBDG:7CMG,

,CMCG

'~BD~~BG

m_CG

"3m~CG+4y/2nt

CG=2m,

EG=BC+CG-BE=，

.EG_5yf2m_

・百石"

的值为5.

EB

【反思】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理

等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及构造相似三角形是本题的关键.

15.如图所示，在正方形A8CO中，P是BC上的点，且8P=3PC,。是C。的中点.

(l)AAOQ与△QCP是否相似？为什么？

⑵试问：AQ与PQ有什么关系？

g【分析】(1)在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：ZD=ZC=90°,若证明两三角形相

似可证两个三角形的对应直角边成比例；

(2)AQ=2PQ,且AQ_LPQ.根据相似三角形的对应边成比例即可求得AQ与。。的数量关系；根据相

似三角形的对应角相等即可证得AQ与PQ的位置关系.

【详解】(1)解：证明：四边形488是正方形，

:.AD=CD,NC=NO=90°；

又。是。。中点，

,-.CQ=DQ=^AD；

BP=3PC,

:.CP=-AD,

4

CQCP\

'~AD~~DQ~2,

又QNC=ND=90。,

：0DQS^QCP；

(2)AQ=2PQ,且AQ_LPQ.理由如下：

CQCP\

由⑴知，ADQ^,QCP,^\D~~DQ~2,

AQCQCP=i

则~QP~~AD~~DQ~2

AQ=2PQ；

"DQS/XQC/5,

:&QD=/QPC,ZDAQ=ZPQC,

:.Z.PQC+/DQA=^DAQ+ZAQD=90°,

:.AQLQP.

【反思】本题考查了相似三角形的判定与性质.相似三角形的对应边成比例、对应角相等，熟练掌握相

似三角形的判定和性质是解题关键.

——从不同角度思考问题，你会有不同收获

在学习数学，做数学题的过程中，我们对待一个问题或者说一个几何问题或代数问题,可以从不同

角度出发，从不同角度思考问题，收获会更多，比如，平面几何问题中，经常会遇到计算线段长度的问

题我们可以从四个不同角度处理和思考这个问题，其一，我们从勾股定理方面想，可以构造直角三角

形解决；其二，我们从相似三角形的角度出发，可以构造相似三角形解决；其三，我们也可以利用三角

函数解决；其四，有时我们利用等积法来处理计算线段长度问题很简单的，从不同角度出发，收获会更

大,

秘籍十五：从不同角度思考问题，你会有不同收获

一、选择题

1.如图，在二48c中，点O,E,尸分别是边A3,AC,8C上的点，DE〃BC、EF//AB,且

AD:DB=3:5,那么CF:CB等于()

C.3:5D.2:5

2.如图，在平面直角坐标系中，点4、4分别在工轴负半轴和y轴正半轴上，OC:BC=l:2t连接AC,

过点。作OP〃/W交AC的延长线于P,若P(W),则A/S的长为()

3.如图，在正方形A8CD中，点E在4。边上，且OE=3AE,连接跖，CE,EF平分NBEC,过点B

作即_L£F于点?，若正方形的边长为4,则△8FC的面积是（）

△16-4V1316-4V17

RC.2。一歹D.8-2717

53

4如图，在平行四边形488中，E为A8上一点，且AE：EB=U2,4。与DE相交于点反

S.AEF=3,则S,AC/）为（）

A.9B.12C.27D.36

5.如图，在ABC中，D.E,r分别是边8C,AB.4c上的点，若ZB=NC=NEDF,则下列等式

一定成立的是（）

A

cDEBEBDDE

C.-----=-----

ABBC~CF~~DF

6.如图，在平面直角坐标系中，已知4-3,-2）,8（0,-2）,C（-3,0）,M是线段A8上的一个动点，连接

CM,过点M作MNL0C交）轴于点N.若点M,N在直线y=&+。上，则的最大值是（）

7.已知且NA=50。，N8=85。，则NG等于（）

A.25°B.45°C.50°D.95°

8.如图所示，/AC与。所是位似图形，点O为位似中心.若00=204,/4C的周长为3,则

33

CD

2-4-

9.如图，在/WC中，AB=S,8c=16,点P从A开始沿A/3边向点4以2个单位/秒的速度移动，点。从

点3开始沿8。边向点。以4个单位/秒的速度移动，如果尸、。分别同时出发，经过（）秒后,

△PBQ与A8C相似.

B

Q

0c

AC

545

A.2B.-C.一或2D.一或2

454

10.如图，在矩形438中，点、E、尸分别在边A。、DC±,JBE-DEF、AB=6,DE=2,

DF=3,则属的长是（）

二、填空题

".已知△A8CsZX。a叱若A8C的三边分别长为6,8,1C,，无产的面积为96,则/）£尸的周长为

12.如图，RtZXABC中，ZACT=90°,4C=3,BC=4,点D在线段A8上运动，过点。作

DE1BC,垂足为点E,若,CQE与“比陀相似，则线段。£的长为；

A

cEB

13.如图，矩形人8c。中，AB=8,AD=3,点七为的中点，点。为边A8上一个动点，连接

AE'PE.过点P作。QJLAE于点Q,当VQ£与VAOE相似时,人夕的长为______.

D入EC

ApB

14.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1.0）,点。的坐标为（3,0）,若A8C与1）印是位似图

形则三三的值是.

15.如图，在平面直角坐标系中，正方形A/G&与正方形是以。为位似中心的位似图形，且

位似比为:，点4,4,4在X轴上，延长4G交射线。4与点4,以A也为边作正方形4383c3A4；延

长AG,交射线。4与点鸟，以义与为边作正方形4名。44；…按照这样的规律继续作下去，若

三、解答题

16.如图，。为ABC内的一点，E为ABC外的一点，且NABC=NDBE,/BAD=NBCE.

⑴求证：.ABD^CBE；

⑵若A8:O8=5:2,AC=6,直接写出线段OE的长度为.

17.如图，已知ABC,AB=2,BC=5,且48c=2NC,将边8C反向延长至点D使O8=A8,连

接人。

A

⑴求证：ADBA-ADAC；

⑵求AC的长.

18.如图，。是48。的外接圆，点。在8c边上，N84C的平分线交0。于点。连接3D、CD,

过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.

⑴求证：P。是0的切线；

⑵求证：^ABD^/XDCP；

⑶若AB=6,AC=8,求C/的长.

19.如图，_A8c是等腰直角三角形，A8=AC,点。，E,尸分别在4氏BC,AC边上,

DEIDF,/。所=45。，£）b的延长线与的延长线相交于点G

⑴不添加辅助线，在图中找出一个与△放）E相似的三角形（不需证明）；

(2)若AO=1,AF=2,求EC的长；

IFG

(3)若tanN3OE=《•求号的值.

2EB

20.(1)如图1,RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点，AE=5,EDA.AB,

垂足为。，求AZ）的长.

（2）类比探究：如图2,4ABe中，AC=14,BC=6,点。，E分别在线段48,AC上,

ZEDB=ZACB=(^°,DE=2,求4。的长.

(3)拓展延伸：如图3,二A8C中，点。，点E分别在线段AB,AC上，NEDB=ZACB=60。,延长

DE,8c交于点尸，AD=4,DE=5,EF=6,求80=.

一、选择题

1.如图，已知点C是线段AB上的一点，且满足普=丝，贝!()

BCACBC

11I

ACB

A.^±1B.^±1C.0.^1

2222

2.在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点8作AB的垂线BC,取AB的中点M,以点B为圆心.

8M为半径画弧交射线8c于点。，连接A。，再以点。为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与

A0交于£F两点，最后，以A为圆心、，的长度为半径画弧交A3于点H,点〃即为A8的其中

一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段()

3.如图，P是以8c重心，EF/7BC且经过点P,则广的值为()

A

4.如图，在矩形纸片A4C。中，AB=6,AC=10,点E在C7）上，将.BCE沿跖折叠，点。恰好落在

边人。上的点尸处，点G在人厂上，将ABG沿8G折叠，点人恰好落在线段上的，处，有下列结

论：①NE8G=45。；②25诋=55柘〃;③ADEF/\ABG；®4CE=5ED.其中正确的是()

A.①②③B.①③④c.®2)®D.①(2③④

5.四边形A4CO中，点尸在边4。上,8厂的延长线交C。的延长线于E点，下列式子中能判断AO〃BC

的式子是（）

FDED、AFBF「ABAF_EFED

AA.---=-----B.-----=—C.-----=-----D.-----=-----

BCECDFEFEDFDBEEC

6.如图，在ABC中，点O,E分别在A8,AC上，DE//I3C,ZABE=ZAED,且AB=6,

AC=9,则CE的长为（）

A

A.9一3后D.3瓜

7.如图，正方形ABC。中，M为3C上一点，MEYAM,M£1交4）的延长线于点E,若A£?=8,

BM=6,则QE的长为（）

8.如图，在二A8C中，BD平分乙48c交AC于点。.过点。作DE//BC交4B于点巴AE：BE=3

2,且..ADE的面积为3,则8c。的面积为（）

9.如图.在△A8C中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,点。在AC边上，且A£>=2,动点P在BC边

上将△POC沿直线翻折，点C的对应点为£则△AE8面积的最小值是（）

人

10.如图，在AA3C中，AB=AC=3,8c=4,点。，石分别是边AB,BC上的点，连结。石，将

沿。E1翻折得到ATOE,点3的对称点尸恰好落在边AC上.若以点C,E,尸为顶点的三角形与

A48C相似，则破的长为（）

“、12八12f「12.

A.2B.—C.—或2D.—或2

775

二、填空题

".在矩形A8C。中，AB=10,AO=4,点£：在边人B上，若VAOE与$BC£相似，则AE的长为

12.+.AB=AC=5,BC=6,点。、点七分别为边48、边6c上的点，连接。上，将△出也

沿直线DE折叠，使点8落在边4C上的点尸处，若△€1£”与.45。相似，则防的长为.

13.如图，在‘A8C中，AB=AC=5,比、=8,点P是8c边上的动点，连接弁尸，作N4P£=/B交AC

边于点£,若设=AE=y,则V关于1的函数表达式是__________o

14.如图，正方形A86中，点P在8c上运动（不与反C重合），过点P作

PQLEP,交于点Q,设BP=X、CQ=y.

（1）y与x的函数关系为

(2)4=时，

15.如图，在矩形A8CO中，点石为4。上一点，且AB=8,AE=3,BC=4,点P为48边上一动点,

连接PC、PE,若分施与.PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为

三、解答题

16.如图，AADE^AABC,且篇|,点。在"BC内部，连接欧SCE・

(1)求证：.

⑵若CD=CE,BD=3,E.ZABD+ZACD=9()°,求的长.

17.如图，在三边互不相等的4?C中，4B=8cm,BC=16cm.动点P从A开始沿A8边运动，速度为

2cm/秒，动点。同时从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/秒，当点尸到达点8时，P,。就不再运

动.设P.Q两点运动时间为％秒，解决以下问题：

⑴证明：当x=2时，△BPQS/XBAC;

⑵若△BPQ与‘ABC相似，求工的值.

18.如图，在平行四边形A8CO中，过点8作6石_LCD,垂足为E连接AE/为AE上一点，且

ZBFE=ZC

⑴求证：4ABFJFEAD

⑵若4H=4,S平行四边形小=苧，求AE的长

19.如图1,在矩形A8C。中，BC=3,动点P从8出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移

动作关于直线PA的对称△物片，设点尸的运动时间为，(s).

⑴若AB=2百­

①如图2,当点*落在4c上时，求证•.PCQS.ACA,

②是否存在异于图2的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的，的值？

若不存在，请说明理由.

⑵当P点不与C点重合时，若直线与直线相交于点M,且当i<3时存在某一时刻有结论

NPAM=45。成立，试探究：对于"3的任意时刻，结论-ZPAM=45°"是否总是成立？请说明理由.

⑴如图L已知点8在直线CE上，点A,。在直线CE的同侧，AB=AC,DE=CE,

美、TACBC

/BAC=/DEC=50,求证：—=—；

CECD

【,可题解决】在【初步探索】的基础上，将A8C绕点C顺时针旋转(0＜。＜90),直线八E,8。交于

点尸，如图2所不•

⑵当A4CE的面积达到最大时，。的度数为

(3)根据图2,求证：/^ACE^/XBCD；

⑷根据图2,求NBFE"的度数；

【类比应用】

⑸如图3,在矩形A8CO和矩形DEFG中，AB=\,AD=DE=6DG=3,连接4G,RF,请直接写

出票的值.

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第ZZ饼画形的相何

敦独特引咎解

一、选择题

1.如图，在ABC中，点。，E,r分别是边AS,AC,8C上的点，DE〃BC、

EF//AB,且4）:08=35那么C/：C8等于（）

A.5:8B.3:8C.3:5D.2:5

【答案】A

【分析】根据平行线分线段成比例推导即可.

【详解】解：AQ:DB=3:5,

.•.40：入8=5:8,

DE//BC,

CE:AC=BD:AB=5:8,

•­,EF//AB,

:.CF:CB=CE:AC=5:S,

故选：A.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理.注意掌握比例线段的对应关系是解题的关

键.

2.如图，在平面直角坐标系中，点4、B分别在x轴负半轴和），轴正半轴上，

0C:BC=\:2,连接AC,过点。作0P〃A3交AC的延长线于P,若P（1，D,则A3的长

为（）

A.272B.V2C.2D.3

【答案】A

【分析】由P（1，D得OP二及，根据OP〃A8,有VCOP:VCBA,即得走=_L,故

AB2

AB=2丘.

【详解】解：

•4-0P=五'

OP//AB,

AABC=NCOP,NBAC=ZP,

VCOP:VCBA,

.•.叽空,，即与L

ABBC2AB2

二•AB-2>/2.

故选：A.

【点睛】本题考查坐标与图形性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理.

3.如图，在正方形A8CD中，点E1在A。边上，且DE=3AE,连接BE,CE,EF平分

ZBEC,过点8作4"_LE产于点尸，若正方形的边长为4,则△8FC的面积是（）

△16-4厢口16-4后C20T历D.8-2V17

r\•，D•，

53

【答案】C

【分析】根据正方形的性质求得BE=CE=5,sinZ.CED=sinZ.ECB=,延长质