固体物理基础 吴代明 复习讲义123章

课程内容结构

绪言章晶体结构章固体的结合章晶格振动与晶体的热学性质章晶体中的缺陷章金属电子论章能带理论2021/6/271第一章晶体结构一、几种典型的晶体结构密排六方结构（hcp）:ABABAB如：Mg,Zn,Cd

面心立方结构（fcc）:ABCABC如：Ca，Cu,Al

体心立方结构（bcc）：如：Li,Na,K,Ba

简单立方结构（sc）

金刚石结构：如：金刚石，Si,Ge

晶体结构的基本特征：原子在三维空间呈周期性排列2021/6/272二、布拉菲晶格基元:放置在格点上的原子或原子团称为基元是一个格点所代表的物理实体

。由基元代表点在空间中的周期性排列所形成的晶格称为布拉菲晶格，布拉菲晶格是一种数学上的抽象，是格点在空间中周期性的规则排列，其每个格点是几何等价的。例如：Cu的面心立方晶格，Si的金刚石晶格和NaCl晶格，布拉伐格子都是面心立方格子，每个格点的基元分别为一个Cu、两个Si和一对Na+、Cl-离子。2021/6/273简单晶格与复式晶格图示1简单晶格：由完全等价的一种原子构成的晶格，而且每一个基元只有一个原子。(Cu,Na)2复式晶格：每个基元中含有两个或两个以上的原子或离子(NaCl)2021/6/2743简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成的晶格却不一定是简单晶格，如：金刚石、Mg、Zn

等晶格都是复式晶格,

如:相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体金刚石。2021/6/2754

由基元代表点在空间中的周期性排列所形成的晶格称为Bravais晶格.5只有将基元以同样方式放置在每个格点上才能得到晶体结构。即：晶体结构是基元与Bravais晶格相结合的结果：

基元+Bravais晶格=晶体结构6基元可以含有一个或多个原子，但所含原子必定不等价，否则还可以进一步划分为更小的单元，这是构成基元的必要条件。7Bravais晶格反映晶体结构的几何性质，最主要特点是周期性，每个格点在几何上完全等价的。2021/6/2762.任一格点位置矢量如果所有n1、n2和n3均为整数，称为初基平移矢量,简称基矢。对于一个空间点阵，基矢的选择不是唯一的，可以有多种不同的选择方式。1.基矢：以任一格点为原点，沿三个不共面方向连接最靠近原点的格点作矢量

晶格周期性的数学描述2021/6/277、

从任一格点出发，平移后，必然得出另一格点，所以又称为晶格平移矢量，的端点就是格点，全部端点组成布拉菲晶格。2021/6/278一个晶格中体积最小的周期性结构单元称原胞。原胞及基矢的选取——不唯一三、原胞，晶胞空间点阵原胞：空间点阵中最小的重复单元，只含有一个格点，对于同一空间点阵，原胞的体积相等。2021/6/279三维晶格的原胞与基矢

一般用来表示三维晶格的基矢。通常，以基矢为三个棱边组成的平行六面体为原胞。（典型晶格有习惯原胞选取方式）

简立方结构原胞

面心立方原胞(Cu)

体心立方原胞(Na)2021/6/2710晶胞定义：晶体学通常选取较大的周期单元来研究晶格结构，为同时反映周期性与对称性，称为晶胞。例如：面心立方晶格为反映整个格子的立方对称性，选图中的立方体为其晶胞。关于晶胞选取晶胞有时是原胞，有时不是原胞；2021/6/2711简立方晶格

——原胞为简单立方晶格的立方单元基矢原胞体积每个原胞中只包含一个原子每个晶胞中也包含一个原子2021/6/2712面心立方晶格

立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢，构成平行六面体原胞基矢原胞体积

每个原胞中只包含一个原子每个晶胞中包含4个原子晶胞结构——立方体2021/6/2713体心立方晶格由立方体的中心到三个顶点引三个基矢基矢原胞体积每个原胞中只包含一个原子每个晶胞中包含2个原子2021/6/2714原胞与晶胞的区别与联系原胞晶胞晶格中体积最小的周期单元体积较大的周期单元每个原胞中实际上只包含一个格点。每个原胞有8个顶角，每个顶角为相邻8个原胞所共有，所以，每个原胞所含格点数为8×1/8=1每个晶胞中所含格点数因结构而异。

例：面心立方晶格晶胞结构——立方体，面心格点：两个相邻晶胞共有，只有1/2属于一个晶胞；顶角格点：只有1/8属于一个晶胞；总格点数=8×1/8+6×1/2=4原胞的体积可表示为：面心立方晶格的原胞体积=a3/4晶胞体积是原胞体积的n倍（n是该结构每个晶胞所含格点数）面心立方结构晶胞体积=a32021/6/2715四晶面与密勒指数1、晶面的概念

布拉伐格子的格点还可看成分列在平行等距的平面系上，格点在每个平面上的分布是相同的，这种平面称为晶面。整个晶格可以看作无数互相平行等距分布的全同的晶面构成，而晶格的所有格点都处于这族晶面上。2021/6/2716同一个晶格中两族取向不同的晶面族通过晶格的任一格点可作无数取向不同的晶面，因此在晶格中存在无数取向不同的晶面族。2021/6/2717晶面指数标定步骤1)在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同；2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在此轴上截距为一负值；3)取各截距的倒数；4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为(hkl)。(100)O(110)(111)2021/6/2718立方结构的晶格的晶向与晶面问题立方结构的晶格(如面心立方，体心立方等)均以立方单胞(即晶胞)为单位来研究晶向与晶面的问题。2021/6/2719晶面指数与晶面间距

关系分析(1)通常，低指数的面间距较大，而高指数的晶面间距则较小(2)晶面间距愈大该晶面上的原子排列愈密集晶面间距愈小，该晶面上的原子排列愈稀疏2021/6/2720体心立方和面心立方晶格结构在(100),(110),(111)面上的原子排列（1）体心立方晶格(100)(110)(111)oXZY2021/6/2721（2）面心立方晶格(100)(110)(111)o2021/6/2722§1-4晶体的宏观对称性晶体的对称性是指晶体经过某些对称操作后仍能回复原状的性质。对称操作是指一定的几何变换。如某物体如绕某一轴旋转一定角度或对某一平面作镜象反映等等.一种晶体可以有多种不同形式的对称操作，描述晶体的对称性的方法就是找出能使它复原的所有对称操作。2021/6/27232对称原素与对称操作

晶体对称操作所依赖的几何要素，如点、线、面等称为对称元素。对称元素:对称中心;对称面;

对称轴;象转轴2021/6/2724n只能取1、2、3、4、6(一)n度旋转对称轴定义：一个物体绕某一个转轴转角度以及它的倍数能与自身重合时，这个轴称为物体的n重旋转轴，记作n。

由于晶格周期性的限制，不可能有5度或6度以上的旋转对称轴。2021/6/2725证明n度旋转轴中n只能取1、2、3、4、6P11书证明过程2021/6/2726任何一种晶体一定属于7个晶系之一,其晶格一定是14种Bravais晶格之一，

Bravais晶格即反映晶格的周期性也反映其对称性。32点群，230空间群2021/6/27272、倒格子定义定义：基矢正格子空间（或正点阵）基矢倒格子空间（或倒易点阵）其中为正格子原胞体积2021/6/27283、倒格子与正格子的关系空间基矢位置矢量正格子空间倒格子空间简称“倒格矢”3.1数学描述2021/6/27293.2倒格子与正格子基矢间关系i,j=1,2,3

之间存在如下关系：注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量具有相同的量纲。2021/6/27303.3位矢之间关系正格子位矢：倒格子位矢：二者的关系：(m为整数)；

表明：若两矢量点积为2π的整数倍，则其中一个矢量为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。2021/6/2731小结(1)每个晶格都有两个点阵（或两套格子）同它联系着，即正格子和倒格子（或晶体点阵和倒易点阵），二者互易(例如体心立方与面心立方互为倒格子)，这两个点阵都是由三个基矢所定义的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成，且两种格子空间中长度的量纲互为倒数；(2)对于给定的正格子，基矢的选择是不唯一的，相应的倒格子基矢的选择也是不唯一的，但对应的倒格子却是唯一确定的；面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。2021/6/2732倒格子空间又称状态空间或简称为k空间描述微观粒子运动状态的波矢k具有和倒格子空间同样的量纲。2021/6/2733k的取值限制在一个倒格子原胞中并不是最方便的，通常选第一布里渊区（或称简约布里渊区）为研究单元。定义：在倒格子空间中，以某一格点为原点，作所有倒格矢G的垂直平分面，这些平面将倒易空间分割为许多包围原点的多面体，其中离原点最近的多面体称为第一布里渊区，离原点次近的多面体与第一布里渊区的表面所围成的区域称为第二布里渊区，同理类推，可得第三、第四布里渊区等。

布里渊区2021/6/2734二维正方格子的布里渊区

正方格子的基矢倒格子原胞基矢2021/6/2735二维正方格子布里渊区图示（演示）第一布里渊区第二布里渊区第三布里渊区2021/6/27362dSin

=nλ

n为整数，称为反射级次λ与d有相同的数量级，若λ≥d则不能观察到Bragg反射.ＡＯＣＤs0sdＡＯＣＤk0kθBragg公式布拉格公式中与晶体结构有关的量只是面间距d，它的数量级为10-10m.用X射线可以满足要求，但不能用可见光。2021/6/2737习题利用刚球密堆模型，求解球可能占据的最大体积与总体积之比(致密度)

（1）简单立方:

（2）体心立方:(3)面心立方

2021/6/2738（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R则原胞的晶体学常数则体心立方的致密度为：2021/6/2739计算题给出正格子基矢，要求倒格子基矢

2021/6/2740按照原子相互作用力的类型，晶体可分为五种类型(一)离子晶体(二)共价晶体(三)金属晶体(四)分子晶体(五)氢键晶体第二章固体的结合2021/6/27415氢键晶体O-H+H+O-H+H+O-H+H+冰-氢键晶体吸引性质：是一种弱相互作用，熔点沸点介于离子晶体与分子晶体之间，密度小等。氢键2021/6/2742共价键、金属键、范德瓦尔斯键共存的石墨结构sp2杂化轨道形成三个共价键；未参与杂化的2pz电子云，互相重叠而形成金属键；网层之间的相互作用是范德瓦尔斯结合。混合键结构层间为分子间力2021/6/2743重要概念：杂化轨道轨道杂化：在成键过程中，由几个能量接近的原子轨道重新组合成成键能力更强的新分子轨道的现象。2021/6/27442.1.6原子电负性晶体采取哪种结合方式决定于原子束缚电子的能力强弱用“原子电负性”来描述标志着原子得失电子的能力原子结合成晶体时，是以哪种结合力结合，很大程度上决定于它电负性特性2021/6/2745U(r)r0r>r0表现为引力r>r0表现为斥力§2.2.2原子相互作用势当2个原子由相距很远而逐渐接近时，二原子间的力与势能是如何逐渐变化的？

2021/6/2746§2.3非晶体固态物质的基态应该是长程有序结构的晶体,体系自由能最低.非晶态是一种热力学的亚稳态,在一定条件下可以转变为晶态----晶化此外在急冷过程中所形成的亚稳非晶态不一定是唯一的,可能会向更稳定的亚稳态转变,此现象称为结构驰豫因此研究和应用非晶态材料时应注意晶化和结构驰豫现象的可能发生极其造成的影响2021/6/2747纳米颗粒纳米颗粒是指尺寸在1~100nm之间的颗粒,是界于微观和宏观之间的一种物质结构层次.纳米颗粒的结构已经具有大块固体的特征,但是其物理性质却明显不同,具有一系列新的性质.主要原因在于:1量子尺寸效应:2表面效应2021/6/27481绝热近似

固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子实组成，所以固体实际上是由电子和离子实组成的多粒子体系。由于电子之间、电子与离子实以及离子实之间的相互作用，要严格求解这种复杂的多体总量是不可能的。但注意到电子与离子实的质量相差很大，离子实的运动速度比电子慢得多(3个数量级)可以近似地把电子的运动与离子实的运动分开来考虑，这种近似方法称为绝热近似-Born-Oppenheimer近似第三章、晶格振动与晶体热学性质2021/6/2749

在研究电子的运动时，认为离子静止在平衡位置上，变成一个在晶格周期场中运动的多电子问题；

固体电子论在研究离子的运动时，则认为电子能够即时跟上离子位置的变化，变成离子实或原子如何围绕平衡位置运动的问题。晶格振动理论晶格振动理论就是在这种绝热近似的基础上建立的。绝热近似2021/6/27502.一维单原子链mn-2n-1nn+1n+2xn-2axn-1xnxn+1xn+2简谐近似,最近邻近似运动方程：2021/6/2751一维单原子链重要结论：色散关系：振动模式数目（格波数目）：N第一布里渊区范围：解为：2021/6/2752格波格波：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波的形式在整个晶体中传播，称为格波2021/6/2753Ⅰ.

体系：N个原胞，每个原胞中包括2个原子(m1=M,m2=m,M>m)。3.一维双原子链Mm2n-22n-12n2n+12n+22n+32021/6/27542021/6/2755重要特点(1)存在着两支ω(q)关系;ω+(q)，称光学支(模)，或高频支；ω-(q)，称声学支(模)，或低频支。光学支格波与声学支格波本质上有何差别？答：是格波不同模式的称呼。光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高，它包括了晶格振动频率最高的振动模式。声学支格波的特征是原胞内不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包括晶格振动频率最低的振动模式，任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式晶格）晶体不存在光学支格波。2021/6/27564晶格振动(Latticevibration)的规律(1)晶格振动的波矢（q）数目=晶体原胞数(2)晶格振动频率数目（格波数目或振动模式数目）=体系自由度数例：一维单原子链q有N个不同取值，每个q对应于ω(q)，则共有N个不同格波数，N也是一维单原子链体系的自由度数。一维双原子链:原子的自由度数为1,晶体共有2N个原子,总自由度数为2N,独立振动模式数为2N2021/6/27575、声子(1)声子:

格波能量是量子化的，其能量以ћω为单位。只能是ћω的整数倍，当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以ћω为单元交换能量。这种假想粒子即格波能量