九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）-第04讲二次函数的应用（利润、抛物线形、最值、四边形存在性）（原卷版）

第04讲二次函数的应用（利润、抛物线形、最值、四边形存在性）【知识梳理】1．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．2．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．【考点剖析】一．二次函数的应用（共14小题）1．（2022秋•庐阳区校级月考）如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（）A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m2．（2022秋•滁州期末）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，要使利润最大，每件的售价应为（）A．24元 B．25元 C．28元 D．30元3．（2022秋•无为市期末）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝2cm，BD＝2cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为（）A． B． C． D．4．（2023•淮北一模）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，当10≤x≤20时，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）之间满足关系式y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为．5．（2023•金安区校级一模）某数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，正方形DEFG为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从A（1，0）处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线L：y＝ax2+bx+3（单位长度为1m）的一部分，已知DE＝2m，AD＝5m．（1）若抛物线经过点（﹣2，3）．①求抛物线L的解析式和顶点坐标；②若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达3m，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由．（2）要使弹珠能投入箱子，求a的取值范围．6．（2022秋•长丰县校级期末）小明、小亮、小梅、小花四人共同探究函数y＝x2﹣4x+5的值的情况，他们作了如下分工：小明负责找函数值为1时的x值，小亮负责找函数值为0时的x值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（）A．小明认为只有当x＝2时，函数值为1 B．小亮认为找不到实数x，使函数值为0 C．小花发现当x取大于2的实数时，函数值y随x的增大而增大，因此认为没有最大值 D．小梅发现函数值y随x的变化而变化，因此认为没有最小值7．（2020秋•亳州月考）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是（）A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米8．（2023•蜀山区校级模拟）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差）．（1）m＝，n＝；（2）当2≤t≤3时，w的取值范围是．9．（2023•蜀山区校级模拟）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y＝80x﹣2x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．10．（2023•合肥模拟）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了了解制造车间某型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，得出汽车A刹车后刹车距离y（单位：m）与刹车时的速度x（单位：m/s）满足二次函数y＝0.08x2+bx+c．测得部分数据如下表：刹车时车速（m/s）0510152025刹车距离（m）06.51731.55072.5（1）求刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；（2）有一辆该型号汽车A在公路上（限进100km/h）发生了交通事故，现场测得刹车距离为99m，请问司机是否因为超速行驶导致了交通事故？请说明理由；（3）制造车间生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：m/s）满足：y＝0.12x2+βx，若刹车时车速满足在10≤x≤20范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围．11．（2023•明光市二模）牛草山奶牛养殖场如今达到了日产鲜奶500千克的规模．根据以前市场销售经验，如果鲜奶售价为20元/千克，每天可售出鲜奶400千克，鲜奶售价每提高1元，日销售鲜奶数量将减少10千克，每天没能销售的鲜奶全部按10元/千克的价格廉价卖给奶制品加工厂．养殖场研究决定将鲜奶的售价提高到x元/千克，而当地物价部门结合本地收入与消费水平规定鲜奶售价不超过40元/千克，设养殖场每天鲜奶总销售收入为y元．（1）求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）鲜奶售价定为多少时，养殖场每天鲜奶销售总收入最多？养殖场每天鲜奶销售总收入最多是多少元？12．（2023•合肥三模）随着疫情的全面好转，某旅游景区的游客需要坐缆车的人数也不断增加，已知该景区每天缆车开放时间只有9小时，某天乘坐缆车总人数y（人）与开放时间x（小时）之间满足y＝．（1）缆车开放3小时后，共有需要乘坐缆车的游客名；（2）若每小时有10趟缆车，每趟载客6人，求等待坐缆车的游客最多时有多少人？（3）若要在6小时内确保游客没有积压（游客随到随走），那么从一开始每小时应该至少培加几趟缆车？13．（2023•蒙城县模拟）万达乐园的过山车是其经典项目之一．如图，B→D→C为过山车的—部分轨道，若这部分轨道可以用抛物线y＝a（x﹣h）2+10来刻画，点B到y轴的水平距离AB＝4米，点B到x轴（代表地面）的距离BE＝6米，B，C间的水平距离为12米．（1）求抛物线BDC的函数表达式；（2）当过山车运动到C处时，平行于地面向前运动了2米至H点，又进入下一段轨道H→F→G．已知轨道H→F→G的形状与轨道B→D→C完全相同，若某名游客从B→D→C轨道滑行至H→F→G轨道，起点和终点距离地面均为8米，则该游客移动的最大水平距离是多少？（结果保留根号）（3）已知轨道B→M→N→C和轨道B→D→C关于BC对称，现需要在轨道B→M→N→C下进行安全加固，建造支架PM，QN，且EP＝PQ，支架的价格是20000元/米，如何设计支架，使得造价最低？最低造价为多少元？14．（2023•合肥二模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC＝2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米．（1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，①求抛物线的解析式；②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；（2）若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括端点B、C），求a的取值范围．二．二次函数综合题（共9小题）15．（2023•蚌山区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）．（1）若b＝2，c＝3，且该二次函数的图象过点（﹣2，﹣5），求a的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0＜x2，|x1|＜|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABCD的边CD上，其对称轴与x轴，AC分别交于点M，N，AC与y轴相交于点E，且满足tan∠CAB＝1．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式的值；②若AE＝EN，令，求T的最小值．16．（2023•定远县二模）已知抛物线，点F（1，1）．（1）求抛物线C1的顶点坐标；（2）抛物线C1上任意一点P（xP，yP）（0＜xP＜1）．连接PF，并延长交抛物线C1于点Q（xQ，yQ），试判断是否成立？请说明理由；（3）将抛物线C1作适当的平移，得抛物线C2：，若2＜x≤m时，y2≤x恒成立，求m的最大值．17．（2023•庐阳区校级模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）当a﹣2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值；（3）若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB、PC，求△PBC的面积S的最大值．18．（2023•庐江县三模）如图，抛物线经过点A（1，1），B（﹣3，﹣3），点Q是抛物线的对称轴上一点，点P在抛物线上，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若﹣3≤m≤1，求点P到直线AB的距离的最大值；（3）若A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．19．（2023•禹会区二模）在平面直角坐标系xOy中，如图，直线y＝x+b与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2+6ax+5经过点A和点C，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求tan∠ACB的值；（3）点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，如果四边形APCQ是菱形，求点P的坐标．20．（2023•凤阳县二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，抛物线的对称轴与x轴交于点M，且PM＝AB．（1）求抛物线的表达式；（2）矩形ADEF的边AF在x轴负半轴上，边AD在第二象限，AD＝2，DE＝3，将矩形ADEF沿x轴正方向平移得到矩形A′D′E′F′，直线A′D′与直线E′F′分别交抛物线于点G、H，在平移过程中，是否存在以点D′、F′、G、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出平移距离；若不存在，请说明理由．​21．（2023•滁州二模）如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为9dm，最大宽度为12dm，现计划将此余料进行切割．（1）如图1，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数表达式；（2）如图2，若切割成矩形HGNM，求此矩形的最大周长；（3）若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长．（结果保留根号）22．（2023•宿州模拟）如图，直线m：y＝b和直线n：y＝x﹣b分别与y轴交于点A，点B，顶点为C的抛物线L：y＝﹣x2+bx与x轴的右交点为点D．（1）若AB＝8，求b的值和抛物线L的对称轴；（2）当点C在m下方时，求顶点C与m距离的最大值；（3）在L和n所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，求出b＝2023时“整点”的个数．23．（2023•太湖县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求a，b的值；（2）点P是第四象限内抛物线上一点，连接AC，过点P作AC的平行线，交x轴于点D，交y轴于点E，设点P的横坐标为t．①若直线PE的解析式为y＝kx+c（k≠0），试用含t的代数式表示c；②若点D是线段PE的中点，试求点P的坐标．

【过关检测】一．选择题（共9小题）1．（2022秋•杜集区校级月考）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（）A．16米 B．18米 C．20米 D．24米2．（2022秋•天长市期中）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m，那么水位下降1m时，水面的宽度为（）A． B．3 C．4 D．﹣13．（2022秋•霍邱县月考）将进货单价为30元的某种商品按零售价100元1件卖出时，每天能卖出20件．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大的利润，则应降价（）A．5元 B．15元 C．25元 D．35元4．（2021秋•埇桥区期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长．则隔离区的面积可能为（）m2．A．15 B．12 C．9 D．185．（2022秋•安徽月考）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣x2+x+，则该同学此次投掷实心球的成绩是（）A．2m B．6m C．8m D．10m6．（2022秋•庐阳区校级月考）如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度CM是16m，跨度AB是40m，则在线段AB上离中心M5m处的地方，桥的高度是（）A．14m B．15m C．13m D．12m7．（2022秋•禹会区校级月考）某景区旅店有30张床位，每床每天收费10元时，可全部租出，若每床每天收费提高5元，则有1张床位不能租出；若每床每天收费再提高5元，则再有1张床位不能租出；若每次按提高5元的这种方法变化下去，则该旅店每天营业收入最多为（）A．3125元 B．2120元 C．2950元 D．1280元8．（2022秋•大观区校级月考）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m9．（2022秋•定远县期中）2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）．若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大（）消毒液每瓶售价（元）每瓶成本（元）每日其他费用（元）每日最大产销量（瓶）30181200+0.02x2250A．250 B．300 C．200 D．550二．填空题（共9小题）10．（2022秋•禹会区校级月考）某种型号汽车在高速路上急刹车后滑行的距离S（米）与滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝2t﹣0.5t2，则该种汽车刹车后滑行秒才能停下来．11．（2022秋•包河区校级月考）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，则汽车刹车后前进了m停下来．12．（2022秋•涡阳县校级月考）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣2x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是米．13．（2022秋•包河区校级月考）如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边OA的距离分别为0.5米，1.5米．若该墙的长度为10米，则最多可以连续绘制个这样的抛物线型图案．14．（2022秋•大观区校级月考）用一段长为24m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长8m，则这个养鸡场最大面积为m2．15．（2022秋•包河区校级月考）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝m时，矩形土地ABCD的面积最大．16．（2022秋•金寨县校级月考）二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，P为它的顶点，则S△PAB＝．17．（2022•安徽二模）图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB＝9，EF＝2，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD＝4，此时最大深度（液面到最低点的距离）为10．以EF所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH＝30°时停止，此时液面为GD，此时杯体内液体的最大深度为．18．（2021秋•潜山市期末）如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶到6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需分钟．三．解答题（共7小题）19．（2023•怀远县校级二模）如图，天娇生态园要建造一圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA高3米，如图1，由柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各方面沿形状相同的抛物线落下．（1）如果要求设计成水流在离OA距离为1米处达到最高点，且与水面的距离是4米，那么水池的内部半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外；（利用图2所示的坐标系进行计算）（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池内部的半径为5米，要使水流不落到池外，此时水流达到的最高点与水面的距离应是多少米？20．（2023•庐阳区校级一模）2022年4月1日起，合肥市公安局交警支队在全市范围内开展“戴头盔、保安全、促文明”行动．某商家同时购进A，B两种类型的头盔，已知购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元．（1）A，B两类头盔每个的进价各是多少元？（2）在销售中，该商家发现A类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A类头盔售价每个x元（50≤x≤100），y表示该商家每月销售A类头盔的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．21．（2022秋•无为市期末）无为市某乡村种植基地每天生产1000千克草莓，为了保证草莓的品质，当天必须要全部卖出．经市场调研，当销售单价定为40元/千克，则刚好全部卖出；销售单价每上涨1元，则有20千克的草莓不能及时卖出，剩下的草莓只能以10元/千克的单价销售给罐头加工厂．请你解决下列问题：（1）如果单价提高2元/千克，那么当天销售总额是多少？（2）该基地想使当天销售总额提升到41500元，那么单价应该上涨多少元？（3）