山东省新高考联合质量测评2025届高三9月开学考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省新高考联合质量测评2025届高三9月开学考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.无数个【答案】B【解析】根据题意可知表示的是在函数上的点的集合，且它们的纵坐标不小于横坐标；易知的定义域为；画出函数与的图象，如下图所示：两函数图象横坐标较大的点的坐标为，因此在上，共有三个点坐标满足题意，所以中有3个元素.故选：B2.“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】由，可得，即，，解得或.故“”是“”的必要不充分条件.故选：C.3.已知为等差数列，是其前项和，若，且，则当取得最小值时，（）A.3 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】因为为等差数列，若，且，则，即，又，即，故公差，当取得最小值时，．故选：C．4.已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由不等式的解集为，可知1和是方程的两个实数根，且，由韦达定理可得，即可得，所以.当且仅当时，即时等号成立；即可得.故选：D.5.已知函数，，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函数，可得，所以且，曲线在点处的切线方程，即，因为曲线在点处的切线方程为，所以，可得，令，可得，即，解得，所以函数在内的单调递减区间是.故选：A.6.若使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（）A B. C. D.【答案】C【解析】因为不等式的解集为或由题可知不等式的解集是解集的子集，不等式，即，①当时，不等式的解集为，满足或；②当时，不等式的解集为，若或；，则，所以；③当时，不等式的解集为，满足或；则，所以综上所述，实数a的取值范围为．故选：C．7.若函数的图象与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：．令，则或，令，则，所以函数的单调增区间为和，减区间为，所以当时函数有极大值，当x=1时函数有极小值，若函数的图象与函数的图象恰有三个不同的交点，所以实数的取值范围是．故选：B．8.设，用表示不超过的最大整数.已知数列满足，，若，数列的前项和为，则（）A.4956 B.4965 C.7000 D.8022【答案】B【解析】数列满足，，故当时，，相减得：，即，所以，故当时，，当时，，则当时，为常数列，所以，故又符合上式，则；所以，则当时，；当时，；当时，；当时，；又数列的前项和为，则.故选：B.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知正实数a，b，满足，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因为，且，，当且仅当时取“”，故A正确；因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确；，当且仅当时取“”，由B选项可知，，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；，当时，有最小值，即，故C错误.故选：ABD10.记为正项等比数列的前项和，则（）A.是递增数列 B.是等比数列C.不是等比数列 D.，，，…成等比数列【答案】BCD【解析】由题意可得，所以等比数列an的公比所以，对于A，当时，易知数列an单调递减，故A错误；对于B，令，所以，所以数列是等比数列，即是等比数列，故B正确；对于C，当时，，此时数列是等差数列；当且时，，因为不是常数，所以不是等比数列，故C正确；对于D，因为，，所以，所以，，，…成等比数列，故D正确.故选：BCD.11.已知，，且，.若，，则（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由函数，可得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以，当时，函数取得最小值，最小值为，又由，可得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以，当时，函数取得最大值，最大值为，对于A中，要证，即证，因为函数在上单调递减，所以，因为，即证，即证，设，可得，令，可得φ'x所以φx单调递增，且，所以，即h'x所以hx在上单调减，所以，即，所以，所以A正确；对于C中，注意到，又由，所以，因为，且在上单调递减，所以，所以，所以C正确；对于B中，由，可得，所以，又由，且在上单调递增，所以，所以，所以B不正确；对于D中，要证，即证，因为在上单调递增，即证gd>g-c，因为，即证即证，设，可得，令，可得φ'x所以φx单调递增，且，所以，即h'x所以hx在上单调增，所以，这与hx>0矛盾，所以不成立，所以D不正确故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，且“，（，且）”是假命题，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】，故，若则，，此时“，（，且）”是真命题，故舍去；若，则，，此时“，（，且）”是假命题，符合要求；故.13.等比数列的前项和记为，若，，则__________.【答案】【解析】等比数列an的前项和记为,，显然.则，化简得，解得,则，.当时,，当时,，.故答案为：.14.已知曲线，，若曲线，恰有一个交点，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】曲线，，若曲线，恰有一个交点.即的零点一个，，当时，，所以当x∈0,1时，f'x>0，当x∈1,+∞时，f'所以，此时函数无零点，不合题意；则当时，；即（后面备用）.当时，，在上，f'x>0，单调递增；在上，f'x<0，单调递减；又，由得，即，所以，当时，，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；当时，，在上，f'x>0，单调递增；在上，f'x<0，单调递减；此时，由得当时，，，所以，此时存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为0,+∞四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.解关于的不等式：.解：原不等式可化为，即，也即.当时，不等式可化为，解得.若，则，当时，且，解得或.当时，且，解得.当时，且，解得.当时，原不等式可化为，解集为.综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.16.在数列中，，，.（1）求证：数列为等比数列；（2）设数列满足，求数列的前项和的最小值.（1）证明：因为，，整理得，，通分，，.，，而，则，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列.（2）解：由（1）得，则，，，所以.因为数列递增，则，所以数列的最小值为.17.如图，一海岛O离岸边最近点B的距离是120km，在岸边距点B300km的点A处有一批药品要尽快送达海岛.已知A和B之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为90km，快艇时速为60km.设海运起点C到点B的距离为.（参考数据：）（1）写出运输时间关于的函数；（2）当点选在何处时运输时间最短？解：（1）由题意知，，.（2）.令，得，当时，，当时，，所以时取最小值.所以当点选在距点105.6km时运输时间最短.18.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数，求函数极值点的个数；（3）当时，若在上恒成立，求证：.（1）解：的定义域为，，，所以，，所以曲线在处的切线方程为.（2）解：，，对于方程，，①当时，，，此时没有极值点；②当时，方程的两根为，，不妨设，则，，，当或时，，当时，，此时，是函数的两个极值点；③当时，方程的两根为，，且，，故，，当时，，故没有极值点；综上，当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点.（3）证明：由在上恒成立，得在上恒成立，设，，当时，，在上单调递增，此时显然不恒成立.当时，若，则，在上单调递增，若，则，在上单调递减，所以，所以.要证成立，因为，即证明.因为，令，，，令得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，所以，所以成立.19.已知数列的首项为2，为数列的前项和，，其中，.（1）若是和的等差中项，求数列的通项公式；（2）设双曲线的离心率为，且，证明：；（3）在（1）的条件下，记集合，，若将所有元素从小到大依次排列构成一个新数列，为数列的前项和，求使得成立的的最小值.（1）解：由①知，当时②，两式相减可得，所以从第二项开始是公比为的等比数列，当时，代入可得，即，所以是公比为的等比数列，又是和的等差中项，所以，即，解得或（舍去），所以.（2）证明：由双曲线的性质可知，，由（1）知是首项为2，公比为的等比数列，故，得，故，则，则.（3）解：，，则新数列为，由上可得规律：①新数列中元素2前只有1个元素，且到之间有1个元素，到