山东省德州市2024届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省德州市2024届高三上学期期末数学试题第Ⅰ卷选择题一、选择题1.设集合，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，解得，故，则或，由，则，即，故，则.故选：B.2.已知复数，则（）A. B.2 C. D.5【答案】A【解析】由复数，则，所以.故选：A.3.按从小到大顺序排列的两组数据:甲组:;乙组：，若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数都分别对应相等，则（）A.60 B.65 C.70 D.71【答案】D【解析】由，则甲组数据的第30百分位数为31，乙组数据的第30百分位数为n，即，第50百分位数即中位数，则乙组数据的第50百分位数为，甲组数据的第50百分位数为，于是，解得，所以.故选：D4.设点是直线上的动点，过点引圆的切线，（切点为），则当取最大值时，（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】若取最大值，则亦取最大，又与圆相切，故，故，由，故需取最小，又点是直线上的动点，故最小为点到直线的距离，由可得，故，即.故选：B.5.米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能和吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用．如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面边长分别为，侧棱长为，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重千克，则该米斗盛装大米约（）A.6.08千克 B.10.16千克 C.12.16千克 D.11.16千克【答案】C【解析】设该正棱台为，其中上底面为，取对角面，如图所示，可得四边形为等腰梯形，因为上、下底面边长分别为，侧棱长为，且，，分别过点作，垂足分别为，可得，由等腰梯形的几何性质，可得,又因为，所以，所以，所以，所以，即棱台的高为，所以该米斗的体积为，所以该米斗所盛大米的质量为千克.故选：C.6.已知函数，若对任意恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为，，所以函数是减函数，因为，所以函数为奇函数，由，得，因为对任意恒成立，所以对任意恒成立，即，令，则，即，解得，所以的取值范围是.故选：A.7.设函数在的图象大致如图，则的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函数的图象，函数的最小正周期且，可排除A，D；又由，即，若选B，则，此时，此时不为整数，排除B项；若选C，则，此时，此时，排除C项.故选：C.8.在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，取的中点，连接，，由题意，，所以，所以为二面角的平面角，所以，因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，所以，为外接圆的圆心，又是边长为2的等边三角形，所以，过点作与平面垂直的直线，则球心在该直线上，设球的半径为，连接，可得，在中，，利用余弦定理可得，所以，解得，所以外接球的表面积为.故选：A.二、选择题9.下列四个表述中，正确的是（）A.设有一个回归直线方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位B.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高C.在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大D.具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，则之间的线性相关程度越高【答案】BC【解析】A选项，因为＝3－5x，所以变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故A错误；B选项，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故B正确；C选项，观测值越大则认为两个变量间有关的把握就越大，故C正确；D选项，越接近于1，则之间的线性相关程度越高，故D错误.故选：BC.10.在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（）A.点到的距离为 B.面与面的距离为C.直线与平面所成的角为 D.点到平面的距离为【答案】AB【解析】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系，对于A，，，所以点到的距离，故A正确；对于B，，，，设分别为平面、平面的一个法向量，所以，令，可得，所以，，令，可得，所以，所以，所以平面平面，可得点到平面的距离即为所求，，所以点到平面的距离为，故B正确；对于C，，，设为平面的一个法向量，所以，令，可得，所以，设直线与平面所成的角为，所以，因为，所以，故C错误；对于D，因为平面的一个法向量为，，所以点到平面的距离为，故D错误.故选：AB.11.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则（）A.平面上点的最小值为B.直线的方程为C.过点作，垂足为，则（为坐标原点）D.四边形面积的最小值为4【答案】ABD【解析】对于A，由双曲线定义得，且，则，所以的最小值为.故A正确；对于B，设直线的方程为，，联立方程组，消去整理得，，，化简整理得，解得，可得直线的方程为，即，故B正确；对于C，由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点，则垂直平分，即，为的中点，又是中点，所以，故C错误；对于D，由直线的方程为，令，得，则，，当且仅当，即时等号成立，所以四边形面积的最小值为4，故D项正确.故选：ABD..12.已知定义域为的函数满足．数列的首项为1，且，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】，．取可得，由，令，得．，，，，故A正确；设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，，即，当且仅当时，等号成立．故，故B正确．由，得，即，所以，，即，因为函数定义域为，所以，有，即，下证数列单调递减，即证，即证，即证，即证，令，则，当时，，所以在上单调递减．因为，，所以，即数列单调递减，所以，，故C错误，D正确．故选：ABD.第Ⅱ卷非选择题三、填空题13.在的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为____________．【答案】【解析】的二项展开式共有7项，通项为：，其中，要使项系数为有理数，则为偶数，即时，项系数为有理数，则相应概率为：.故答案为：.14.已知平行四边形中，，若，则____________．【答案】【解析】由图，可得，又，，则，又注意到，，代入，可得，化简即得：，由平面向量基本定理，可得.故答案为：.15.若直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，的中垂线交轴于点，则____________．【答案】【解析】设，其中点为C，坐标为.将A，B两点代入抛物线方程，有，两式相减可得：，设，则，因，则.又，则.又准线方程为，过A，B两点分别做准线垂线，垂足为，则由抛物线定义，可得.故.故答案为：.16.已知函数，若，对恒成立，则实数的取值范围为____________．【答案】【解析】因为，有，即，所以，故令，则所以在单调递减，因为，所以，两边取对数得：，即，令，则，所以当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以的最小值为，故.故答案为：.四、解答题17.已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和满足关系式．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，由题意可知，解得，，由，则当时，有，则，故，当时，有，故，即数列是以为首项，为公比的等比数列，；（2）由（1）知，故，则，则，.18.在中，，且．（1）求的大小；（2）若为边上一点，且，求．解：（1）由得，又即又（2）如图，由及正弦定理得，得，即，即，由已知，（或由，得）中，由余弦定理得，中，由正弦定理得：，19.如图，在四棱台中,底面是边长为2的菱形，，，点分别为的中点．（1）证明：直线面；（2）求二面角的余弦值．（1）证明：如图，设与相交于点，连接，分别中点，且，又且，且，∴四边形为平行四边形，，又面面直线面；（2）解：因为为中点，所以，连接，则且，四边形为平行四边形，，等边中，，，从而，因为平面，所以平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，由，可取，设平面的法向量为，由，可取，所以，由图可知，二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为．20.已知椭圆方程的离心率为，且过焦点垂直于轴的弦长为1，左顶点为，定点，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点．（1）求椭圆方程；（2）试探究是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．解：（1）由已知：，即，即，在中，令，解得，所以，即，，椭圆方程为：；（2）由题意设，，，即，，又，直线的方程：，令得：，同理，，为定值.21.某市号召市民尽量减少开车出行，以绿色低碳的出行方式支持节能减排．原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天在骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行．从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．（1）设表示事件“在第天，王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率．①求；②用表示；（2）依据值，阐述说明王先生的这种随机选择出行方式是否积极响应市政府的号召．解：（1）设硬币正面向上的枚数为，则，，；①；②设表示第天选择骑自行车出行，表示第天选择骑自行车出行，则，综上，．（2）由（1）可知：，又是以为首项，以为公比的等比数列，，即，，王先生每天骑自行车的概率大于开车的概率，王先生的这种随机选择出行方式积极响应了市政府的号召．22.已知常数，函数．（1）讨论在区间上的单调性；（2）若存在两个极值点，且，求的取值范围．解：（1）当时，在区间上，，此时在区间上单调递增；当时，由得或（舍去），当时，，当时，