辽宁省名校联合体2025届高三上学期期中检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省名校联合体2025届高三上学期期中检测数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，解得或，即或，则.故选：C.2.设复数满足，则在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由，则在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限.故选：D.3.正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（）A.7 B.5 C.3 D.1【答案】C【解析】由题意可得，又正项等差数列的公差为d，已知，所以，即，解得或（舍去），故选：C.4.若，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以.故选：D5.“”是“函数在区间内存在零点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由函数在区间内存在零点得，解得或所以“”是“函数在区间内存在零点”的充分不必要条件，故选：A6.函数是奇函数，则的取值集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】是奇函数，故，则，解得，经验证符合.故选：D7.已知向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以，整理得①，又，所以②，联立①②求解得，所以.故选：B.8.函数，若对x∈R恒成立，且在上恰有条对称轴，则（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】由题知，当时取得最大值，即，所以，即，又在上有条对称轴，所以，所以，所以.故选：B二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是().A. B.为等差数列C.不可能为常数列 D.若为递增数列，则【答案】ABD【解析】对于A选项：当时，，A正确；对于B选项：当时，，显然时，上式也成立，所以.因为，所以是以2k为公差的等差数列，B正确：对于C选项，由上可知，当时，为常数列，C错误；对于D选项，若为递增数列，则公差，即，D正确.故选：ABD.10.已知关于不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.ab最大值为C.的最小值为4 D.有最小值【答案】AB【解析】由题意，不等式的解集为，可得，且方程的两根为和，所以，所以，所以，所以A正确：因为，所以，可得，当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确：由，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为8，所以C错误；对于选项D：，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故D错误．故选：AB11.已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（）A. B.4是的一个周期C. D.的图象关于点对称【答案】ABD【解析】因为为偶函数，所以，即，而，故，故，又为偶函数，所以，即，所以，故即，，所以4是的周期，故B正确.对A，由两边求导得，令得，解得，A正确：对C，由上知，所以，所以C错误；对D，因为，故，故的图象关于对称，因为4是的周期，故的图象关于点对称故选：ABD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线在处的切线方程为______．【答案】【解析】因为，则，又，所以，所以曲线在处的切线方程为．故答案：13.已知为锐角，，则______．【答案】【解析】因为为锐角，所以.若，则，这与矛盾，故为钝角，故，则.故答案为：.14.已知a，b为实数，，若恒成立，则的最小值为______．【答案】【解析】依题意，函数与在上都单调递增，且函数的值域是R，，不等式恒成立，当且仅当函数与有相同的零点，因此，由得，由得，于是得，则，令，求导得，当时，，当时，，因此函数在上递减，在上递增，当时，，从而得，所以ab的最小值为.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数.（1）求函数最小正周期和单调递减区间；（2）求函数在区间上的值域.解：（1）因为，所以，函数的最小正周期为，由可得，所以，函数的单调递减区间为.（2）当时，，则，因此，函数在区间上的值域为.16.记的内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若点到直线的距离为的面积为，求的周长.解：（1）由余弦定理角化边得，，整理得，所以，因为，所以（2）由题知，，即，由三角形面积公式得，所以，由余弦定理得，所以，所以，所以的周长为.17.已知数列的前项和为，且.（1）求证：数列是等比数列；（2）数列满足的前项和为是等差数列，．求．解：（1）由已知得，又,所以作差得，故.所以又当时，，又，故故数列是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知：，故，又也满足上式，故因为是公差为的等差数列，，可得，则，可得，则；因为，所以，设，，相减可得，化为，则.18.已知函数.（1）若在恒成立，求实数的取值范围；（2）若，证明：存在唯一极小值点，且.解：（1）在恒成立，等价于在上恒成立，记，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，所以，即的取值范围.（2）当时，，则，因为在上均为增函数，所以在单调递增，又，所以在区间存在，使得，当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以存在唯一极小值点因为，即，所以，因为，且在上单调递增，所以，又，所以，所以．19.定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“函数”.（1）若是上的“函数”，求的取值范围；（2）（i）证明：是上