湖北省部分学校2025届高三12月联考数学数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省部分学校2025届高三12月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，即，因为，所以．故选：C.2.已知复数，为的共轭复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，则，因此，的虚部为.故选：A.3.已知平面向量，，且，则（）．A.5 B. C. D.【答案】B【解析】．因为，所以，解得．故选：B4.黄州青云塔矗立在黄冈市宝塔公园的钵孟峰上，又名文峰塔，因高入青云而得名.该塔塔身由青灰色石块砌成，共七层，假设该塔底层（第一层）的底面面积为16平方米，且每往上一层，底面面积都减少1平方米，则该塔顶层（第七层）的底面面积为（）.A.8平方米 B.9平方米 C.10平方米 D.11平方米【答案】C【解析】由题意可得该塔第一层至第七层底面面积依次成等差数列，且首项为16，公差为，故该塔顶层的底面面积为平方米．故选：C5.已知为锐角，，则（）．A. B. C. D.或【答案】C【解析】由题意，解得，因为为锐角，所以，又，所以，所以，故选：C6.已知x1,y1、x2A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意不妨设，因为是增函数，所以，即．，则，即，A正确，B错误；取，，则，，，C错误．取，，则，，，D错误．故选：A.7.在四棱锥中，底面为正方形，，，，则四棱锥的体积为（）A. B. C. D.16【答案】C【解析】在四棱锥中，取，的中点，连接，由底面为正方形，得，由，得，而平面，则平面，又平面，于是平面平面，在平面内过点P作于O，而平面平面，因此平面，连接，平面，则，设，由，得，，，于是，在中，，，因此，解得，则，所以四棱锥的体积为.故选：C8.已知函数在上只有一个零点，则正实数m的取值范围为（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】分别作出函数与函数的大致图象．分两种情形：当时，，如图1，当时，与hx的图象有一个交点，符合题意；当时，，如图2，当时，要使得与hx的图象只有一个交点，只需，即，解得（舍去）．综上，正实数m的取值范围为．故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.数据，，，，的平均数、中位数都是，则（）．A.数据，，，，与数据，，，的平均数相等B.数据，，，，与数据，，，的方差相等C.数据，，，，与数据，，，的极差相等D.数据，，，，与数据，，，的中位数相等【答案】AC【解析】设数据，，，，的平均数为，则，数据，，，的平均数为，A正确．数据，，，，的方差，数据，，，的方差，所以数据，，，，与数据，，，的方差不一定相等，B错误．数据，，，，与数据，，，的极差相等，C正确．数据，，，，与数据，，，的中位数不一定相等，如数据2，2，5，7，9的平均数、中位数都是5，但数据2，2，7，9的中位数不是5，D错误．故选：AC10.已知函数的定义域为R，，且当时，，则（）.A. B.C. D.没有极值【答案】ABD【解析】对于A，令，得，故A正确；对于B，令，则由选项A得，所以，，据此类推可得，所以，故B正确；对于C，由选项B得，所以也满足题意，不一定是，故C错误；对于D，令x=0得即，所以函数fx满足，即函数fx令，，则，则，当时，，因为当时，，所以，即，即，所以是增函数，没有极值，当时，，因为当时，且函数fx是奇函数，所以，即，即，所以是增函数，没有极值，故D正确；故选：ABD11.已知函数，则下列结论正确的是（）.A.是偶函数B.的最小正周期是C.的图象关于直线对称D.若，，，则的取值范围是【答案】BCD【解析】A，定义域为，因为，所以不是偶函数，A说法错误；B，当x∈0,π时，，当时，，所以的周期，又因为，所以的最小正周期是，B说法正确.C，，所以的图象关于直线对称，C说法正确.D，当时，，，当时，f'x>0，当时，f所以在上单调递增，在上单调递减.，，结合对称性，得到的部分图象如图所示.当时，，由题意可得，当时，，，因为，结合的图象可得，，解得，则的取值范围是，D说法正确；故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的图象在点处的切线过点，则__________．【答案】5【解析】函数，求导得，则，而，因此函数的图象在点处的切线方程为，由该切线过点，得，所以.故答案为：513.某员工在开办公室里四位数的数字密码门时，发现按键“3”“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密码确实由数字“3”“6”“9”组成，则该密码有__________种可能．（用数字作答）【答案】36【解析】依题意可知，三个数字，所以四位数有个位置是同一数字，将这两个位置捆绑，再将三个数字排列，所以可能有种．故答案为：14.如图，平行六面体的底面是菱形，，，，若非零向量满足，，则的最小值为______．【答案】【解析】根据四边形是菱形，可知，从而据已知有，及，.从而可以得到，以及.①一方面，由于，故.这得到，又由于，故.所以，即.这就得到，从而.②另一方面，取，，则，.且.所以向量满足条件，此时.综合①②两方面，可知的最小值为.故答案：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．（1）求A；（2）若的外接圆面积为，角B的平分线交于D，求的面积，及与的面积之比．解:（1）在中，，．因为，，所以，即，．因为，所以，即，所以，；（2）因为的外接圆面积为，所以的外接圆半径为3．由（1）知，所以，因为，所以，．．，所以的面积为，与的面积之比为．16.已知函数．（1）若在上单调递增，求a的取值范围；（2）若恒成立，求a的取值范围．解:（1）的定义域为，．因为在上单调递增，所以当时，f'x≥0．因为f'x是增函数，所以，解得．故a的取值范围为．（2），即．令，定义域为，．由，得，由，得，所以在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增．．因为恒成立，所以．故a的取值范围为．17.如图，在三棱柱中，，，，．（1）证明：平面平面．（2）求二面角的正弦值．解:（1）取的中点O，连接，，．四边形为平行四边形，又因为，，所以为等边三角形，所以，．在中，，．因为，所以．因为，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，．，，．设平面的法向量为，平面的法向量为．，即，令，得．，即，令，得．，则，故二面角的正弦值为．18.设数列的前n项和为，若，且对任意的，均有（k是常数且）成立，则称为“Ⅱ（k）数列”．（1）设为“Ⅱ（1）数列”．①求的通项公式；②若，数列的前n项和为，证明：．（2）是否存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”？若存在，求出符合条件的的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由．解:（1）①因为为“Ⅱ（1）数列”，所以．因为，所以．当时，，得．当时，，则，即，经检验，当时，满足，所以对任意的恒成立，是首项为2，公比为的等比数列，所以．②证明：．，，两式相减得，所以．当n为偶数时，．当n奇数时，．故．（2）假设存在这样的数列，由是“Ⅱ（k）数列”可得．由是“Ⅱ数列”可得，所以，，即，所以．由，令，得，令，得．因为，所以，解得，所以为2，，2，，2，，…，的通项公式为．当n为偶数时，，解得，k为奇数．当n为奇数时，，解得，k为奇数．综上，存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”，此时的通项公式为，且k为奇数．19.甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，…，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有2种选择：①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若，则乙贏，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一次；②直接结束抽牌，记，换由乙抽牌一次．记乙抽到的纸牌上的数字为c，若，则乙赢，否则甲赢．游戏结束．（1）若甲只抽牌1次，求甲赢的概率；（2）若甲抽牌2次，求甲赢的概率；（3）当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件时，甲选择②贏得游戏的概率更大？（结果用含N的式子表示）参考公式：若数列的通项公式为，则的前n项和．解:（1）若甲只抽牌1次，甲赢的情况如下．甲抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，此时有1种情况；甲抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，此时有2种情况；甲抽到的纸牌上的数字为3，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况；……依次类推，甲赢的情况共有．故甲赢的概率为．（2）若甲抽牌2次，甲赢的情况如下．①甲第1次抽到的纸牌上的数字为1．第2次抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，，此时有2种情况；第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况；……第2次抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为N，，…，1，此时有N种情况．以上有种情况．②甲第1次抽到的纸牌上的数字为2．第2次抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况；第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，，此时有4种情况；……第2次抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为N，