湖北省部分高中联考协作体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省部分高中联考协作体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，.故选：B.2.已知命题，命题，则（）A.和均为真命题 B.和均为真命题C.和均为真命题 D.和均为真命题【答案】D【解析】对于命题，当时，，为假命题，则为真命题，AC错误；对于命题，当时，，为真命题，则为假命题，BC错误；所以和均为真命题，D正确.故选：D.3.已知函数则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】由，则，又，，所以.故选：C.4.已知为非零实数，则“”是“关于不等式与不等式解集相同”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由知，若与不等式解集不相同；若与不等式解集相同，则.则“”是“关于的不等式与不等式解集相同”的必要不充分条件.故选：B.5.对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设为奇函数，且当时，，则时，，则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题.由在有解得：.故选：A.6.函数若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为对任意，都有成立，可得在上是单调递增的，则.故选：C.7.已知正实数满足，则恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】因为，且为正实数，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，则，因为恒成立，所以，解得.故选：A.8.设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：①；②③；④.其中是集合上的拓扑的集合的序号是（）A.①② B.②③ C.②④ D.③④【答案】C【解析】①，故①不是集合X上的拓扑的集合；③，，故③不是集合X上的拓扑的集合；对于选项②④，满足：（1）X属于，属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于，综上得，是集合X上的拓扑的集合的序号是②④.故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分.9.下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的有（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】由对恒成立可得，①当时，成立；②当时，，解得；故对恒成立时，的取值范围是，则是的真子集，且是的真子集.故选：CD.10.当两个集合中一个集合为另一个集合子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（）A. B. C.0 D.1【答案】ACD【解析】当时，，当时，，对选项A：若，，此时，满足；对选项B：若，，此时，不满足；对选项C：若，，此时，满足；对选项D：若，，此时，满足.故选：ACD.11.已知函数在上的最大值比最小值大1，则正数的值可以是（）A.2 B. C. D.【答案】AD【解析】函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数在2,4上单调递增，所以，，所以，解得或（舍去）；当时，函数在2,4上单调递减，所以，，所以，解得（舍去）；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，且，，若，即，则，解得（舍去）或（舍去）；若，即，则，解得或（舍去）.综上所述，或.故选：AD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则实数的值所组成的集合为__________.【答案】【解析】因为，，，所以，，所以或，当时，解得，合题意，当时，解得或，若，，，合题意，若，，，不满足集合中元素的互异性，舍去，综上所述，.13.已知是定义在上的奇函数，若，则__________.【答案】4【解析】为奇函数，，即，令有.14.以表示数集中最大的数，表示数集中最小的数，则__________.【答案】【解析】在同一坐标系下画出函数，，的图象，联立，解得或，所以；联立，解得或，所以；由图可知，，所以当时，有最大值，则.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合.（1）若，求的取值；（2）记，若集合的非空真子集有6个，求实数的取值范围.解：（1），若，则此时，若则，当时；当且时，，即，解得或，，由若可知有或或.（2）若集合的非空真子集有6个，则，可得，即中的元素只有3个，又，由（1）知，且且即且且，故实数的取值所构成的集合为.16.已知定义在上的函数对任意实数都有，且当时，.（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）求不等式的解集.解：（1）因为时，，所以，.（2）当时，，此时，又对任意实数x都有，故时，，所以函数.（3）由得，或，①当时，，即或，解得或；②当时，，即，解得；综上所述，不等式的解集为.17.如图，在公路的两侧规划两个全等的公园.（）其中为健身步道，为绿化带.段造价为每米3万元，段造价为每米4万元，绿化带造价为每平方米2万元，设的长为的长为米.（1）若健身步道与绿化带的费用一样，则如何使公园面积最少？（2）若公园建设总费用为74万元，则健身步道至少多长？解：（1）依题意得：，即，因为，所以，解得，当且仅当，即时，等号成立，此时面积，故的长为的长6时公园面积最少.（2）依题意得：，所以，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.此时，故健身步道至少长（米）.18.已知函数是奇函数，且.（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）当时，解关于的不等式.解：（1）因为函数是奇函数，所以，即，，所以，解得，所以，因为，所以，解得.（2）在上单调递增，理由如下：由（1）可知，任取，且，则，因为，且，所以，，所以，即，所以在上单调递增.（3）当时，，因为在上单调递增且为奇函数，所以在上单调递增，因为，所以，即，解得，或，综合得或所以不等式的解集为.19.对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”.（1）求证：是函数的一个“优美区间”；（2）求证：函数不存在“优美区间”；（3）已知函数有“优美区间”，当取得最大值时，求的值.解：（1）在区间0,4上单调递增，又，当时，，根据“优美区间”的定义，0,4是的一个“优美区间”.（2），