河南省驻马店市2024届高三上学期期末统一考试数学试题 （解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省驻马店市2024届高三上学期期末统一考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】，则.故选：B2.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依题得，则.故选：A.3.已知函数的定义域为，则的最小值为（）A.1 B.2 C.4 D.5【答案】C【解析】由题可知，且，即，所以，当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为4.故选：C.4.若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】几何体的轴截面如图所示，设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则球的半径也为，因为圆锥的体积恰好等于半球的体积，所以，得，所以，设圆锥轴截面的顶角为，则，故选：C.5.设圆：和圆：交于，两点，则四边形的面积为（）A. B.4 C.6 D.【答案】B【解析】由题意可知，，且两圆半径均为2，两圆方程相减，得直线的方程为，易知四边形为菱形，所以到直线的距离，所以，故.故选：B6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A7.将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（）A.78 B.92 C.100 D.122【答案】C【解析】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有种，当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有种.综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是.同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.故不同的分配方法数是.故选：C8.已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨设点在第一象限，直线的倾斜角为，所以，则，同理可得.因为，所以，即，，所以.在中，.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了1000米跑测试，测试结果表明所有男生的成绩（单位：分）近似服从正态分布，，，则下列说法正确的是（）A.若从高三男生中随机挑选1人，则他的成绩在内的概率为0.2B.若从高三男生中随机挑选1人，则他的成绩在内的概率为0.4C.若从高三男生中随机挑选2人，则他们的成绩都不低于75的概率为0.25D.越大，的值越小【答案】ABC【解析】，，故A，B正确.无论为何值，，若从高三男生中随机挑选2人，则他们的成绩都不低于75的概率为，故C正确，D错误.故选：ABC10.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象关于轴对称，得到函数的图象，则下列结论正确的是（）A.的图象关于点对称B.在上的值域为C.为偶函数D.在上单调递增【答案】BCD【解析】由题得，，由，故A错误；当时，，，故B正确；为偶函数，故C正确；当时，，正弦函数在上为增函数，所以在上单调递增，故D正确.故选：BCD11.已知函数存在个不同的正数，，使得，则下列说法正确的是（）A.的最大值为5 B.的最大值为4C.的最大值为 D.的最大值为【答案】BD【解析】的几何意义为过点，的直线的斜率.如图所示，易知直线与的图象最多只有4个交点，故的最大值为4，故A错误，B正确.当直线与曲线相切时，取得最大值，设切点为，则该直线的斜率为，又，则，所以，解得，得，所以故C错误，D正确.故选：BD.12.在三棱锥中，，，为的中点，为上一点，球为三棱锥的外接球，则下列说法正确的是（）A.球的表面积为B.点到平面的距离为C.若，则D.过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为2【答案】BCD【解析】由，，可将三棱锥补形成如图所示的长方体，设，则，解得，即，，所以球的半径为，所以球的表面积为，故A错误.由题得长方体为正四棱柱，，为的中点，故又平面，则平面，又平面，故平面平面，平面平面，过点作的垂线，交于，则平面故为点到平面的距离.在中，，，故，则，故B正确.以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，.设，所以，因为，所以，解得，所以，故C正确.当且仅当与截面垂直时，截面面积最小，由A解析知：最小的半径为，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知正项等比数列的前3项和为26，且数列的前3项和为，则______.【答案】6【解析】依题意，知，又，所以，则，解得（负值舍去）.故答案为：.14.若函数有最小值，则的取值范围是______.【答案】【解析】函数在上的值域为，在上的值域为，则，即，所以的取值范围是.故答案为：.15.已知是边长为3的等边三角形，为上一点，为的中心，为内一点（包括边界），且，则的最大值为______.【答案】3【解析】因为，，三点共线，所以，解得，即为上靠近点的三等分点.利用向量的投影定义，可知当位于点时，取得最大值，最大值为.故答案为：316.探究函数的图象和性质时发现它的图象实际上是双曲线，将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点在轴上的双曲线，是双曲线上一点，则______.【答案】2【解析】设双曲线的方程为，因为函数的两条渐近线方程为和，其夹角为，故，解得，则，又，所以和的角平分线的方程为，由，消得到，则，，所以双曲线的方程为，故，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，内角，，的对边分别为，，.已知，.（1）求的面积；（2）求边上的高的最大值.解：（1）由及正弦定理，得，则，因为，则，即，所以的面积.（2）由余弦定理可知.因为，则，所以，当且仅当时，等号成立.设为边上的高，所以，即，所以边上高的最大值为.18.已知数列的前项和为，且满足.（1）令，求数列的通项公式；（2）求.解：（1）因为，所以，所以，即，又，所以数列是首项为，公差为等差数列，则.（2）19.如图，在斜三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的菱形，，，，分别为，的中点.（1）证明：.（2）求直线与平面所成角的正弦值.证明：（1）如图，连接.因为四边形是边长为2的菱形，，所以为等边三角形，则.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.因为，，所以.因为，平面，所以平面.又平面，所以.解：（2）如图，过作的平行线为轴，结合（1）知轴，，两两垂直.故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，，.设平面的法向量为，则得取，得，则.因为为的中点，所以.又所以.则.设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.20.一枚质地均匀的小正四面体，其中两个面标有数字1，两个面标有数字2.现将此正四面体任意抛掷次，落于水平的桌面，记次底面的数字之和为.（1）当时，记为被3整除的余数，求的分布列与期望；（2）求能被3整除的概率.解：（1）由题可知，正四面体与桌面接触数字为1和2的概率均为，的取值可能为0，1，2.，，，则的分布列为012.（2）由题可知，当时，次底面的数字之和能被3整除的概率为，所以，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，即.21.动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数，点的轨迹为.（1）求的方程，并说明是什么曲线；（2）过点作不与坐标轴垂直的直线交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，求的方程.解：（1）由题意得，化简得，即.故曲线是焦点在轴上的椭圆.（2）设，，直线的方程为，由题得：，联立方程组整理得，显然，所以，所以线段的中点为，所以线段的垂直平分线方程为.令，可得，即.因为由，可得，则，解得，所以的方程为.22.已知函数有两个零点.（1）求的取值范围；（2）设