北京市通州区2025届高三上学期期中质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市通州区2025届高三上学期期中质量检测数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，又，所以，故选：D.2.设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以，故复数在复平面内对应的点的坐标是，故C正确.故选：C3.下列函数中，在上单调递增的是（）A B.C. D.【答案】A【解析】对于选项A，由，得恒成立，则在上单调递增，所以选项A正确，对于选项B，因为在上单调递减，所以选项B错误，对于选项C，因为在上单调递减，所以选项C错误，对于选项D，由，得到，当时，，当时，，所以在单调递减，在上单调递增，故选项D错误，故选：A.4.已知角终边经过点，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据三角函数定义可得：，故可得，则.故选：A.5.设，为非零向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，为非零向量，“”展开为：∴“”是“”的充要条件.故选：C.6.在中，，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，得到，又，，由正弦定理得，所以，故选：D.7.沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意有，即，两边取对数得，所以，得到，当容器中只有开始时的时，则有，所以，两边取对数得，所以，故选：C．8.设函数，已知，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，且，所以，得到①又，则，得到②，由①②得到，，即，又，所以的最小值为，故选：B.9.设集合，则（）A.对任意实数a， B.对任意实数a，C.当且仅当时， D.当且仅当时，【答案】C【解析】对A，若，则，将代入不全部满足，此时可知，故A错误；对B，当时，则，将代入全部满足，此时可知，故B错误；对C，若，，解之可得，所以C正确；对D，当，则，将代入不全满足，所以，故D错误.故选：C10.已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（）A.1 B. C.2 D.4【答案】B【解析】如图：取中点，则，，，∵三点共线，∴，即，∴，当且仅当时，取等号；故选：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是___________．【答案】【解析】因为，所以，则且，故的定义域是.12.已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为，则________.【答案】【解析】由图知，，且，所以，故答案：.13.已知等差数列的首项为，设其前项和为，且，则过点和，且满足的直线的斜率是________.【答案】2【解析】设公差为，因为，所以，解得，所以，，故直线斜率为.14.设函数①若，则函数的零点个数有________个.②若函数有最小值，则实数a的取值范围是________.【答案】3【解析】①，当时，，由解得；由，解得或.综上所述，的零点个数有个.②，当时，在区间上单调递增，值域为，无最值.当时，，开口向上，对称轴为，，当时，，则，①，的开口向上，对称轴为，，则①不成立.当时，，则，解得.综上所述，.故答案为：；15.已知无穷数列满足，，给出下列四个结论：①，；②数列为单调递减数列；③，使得；④，均有.其中正确结论的序号是________.【答案】①②④【解析】由，，进而可得，结合，以此类推可得，故，故，故①②正确，③错误，由可得，故.由于，故，进而可得，故，因此，累加，故，当时，，故，故④正确，故答案为：①②④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知函数，.（1）求的最小正周期及的值；（2）直线与函数，的图象分别交于两点，求的最大值.解：（1）因为，所以，的最小正周期为.（2）由题意可知，两点的坐标为，，则，即，故，因为，所以，所以，所以MN在时的最大值为.17.记的内角的对边分别为，已知，.（1）求及；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.解：（1）由和余弦定理可得.因为为的内角，所以，故，由变形得，由正弦定理得.（2）选择条件①：，由正弦定理得，解得，因为为的内角，所以，故，与相互矛盾，故不存在这样的三角形，所以我们不选择条件①，选择条件②：，因为，，所以，解得，由余弦定理得，化简得，解得或（舍），所以.选择条件③：，因为，所以.因为，所以，由余弦定理得，化简得.解得或，当时，是直角三角形，与题干不符，故排除，所以.18.已知为数列的前项和，满足，．数列是等差数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）设求数列的前项和．解：（1）因为，，①所以有，．②②①得．所以数列成以为首项，以为公比的等比数列．所以．又数列是等差数列，且，．所以，．所以．（2）因为设数列的前项和为，所以．19.设函数，若函数在处取得极小值8.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值和最小值，以及相应x的值；（3）证明：曲线是中心对称图形.解：（1），由题意函数在处取得极小值8得，解得，.此时，当或时，f'x>0，当时，f'故为的极小值点，故，满足条件.（2）由（1）分析列表得：x00,222,33

-0+

24单调递减8单调递增15所以当时取得最小值为8，时取得最大值为24.（3）曲线的对称中心为，证明如下：设点为曲线上任意一点，则点关于(0，24)的对称点为，因为在图象上，所以.又.所以点也在图象上.所以曲线是中心对称图形.20.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）证明：当，曲线的切线不经过点；（3）当时，若曲线与直线在区间上有两个不同的交点，求实数a的取值范围.解：（1）当时，，的定义域为.，令，解得当时，，单调递增，当时，，单调递减.所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）当时，，.设曲线的切点为，则切线方程为，假设切线过原点，则有，整理得：.令，则.所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，所以对任意，，所以方程无解.综上可知，曲线在点的切线不过原点.（3）曲线与直线在区间上有两个不同的交点，等价于在区间上有两个不同的解，即，在区间上有两个不同的解，设，则，令，解得，又因为，所以，当，，所以单调递增；当，，所以单调递减；所以，当时，，当时，，要使在区间上有两个不同的解，只需使即可.所以实数a的取值范围是.21.已知数列的通项公式为（表示不超过实数x的最大整数），数列的通项公式为.（1）写出数列的前6项；（2）试判断与是否为数列中的项，并说明理由；（3）证明：数列与数列的公共项有无数多个.解：（1）依题意，数列的通项公式为，所以，，，，，.（2）是数列中的项，不是数列中的项.；下面证明不是数列中的项因为