北京市顺义区2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市顺义区2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为集合，，所以.故选：A.2.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令，得，即函数的定义域为.故选：C.3.命题“，使得”的否定为（）A.， B.，都有C.， D.，都有【答案】D【解析】根据特称命题的否定是全称命题可得：命题“，使得”的否定为，都有.故选：D.4.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A：函数在上单调递减；对于B：函数在上单调递减；对于C：函数在上单调递减；对于D：函数在上单调递增.故选：D.5.已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，，所以.故选：A.6.已知是任意实数，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A，当时，，故A错误；因为，所以，所以，故B正确；对于C，当时，，故C错误；对于D，当时，，故D错误.故选：B.7.已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】函数的对称轴为，当函数在区间上单调递增时，有，因此“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.8.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度v（单位：）可以表示为，其中Q表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为时的飞行速度为，耗氧量的单位数为时的飞行速度为，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以.故选：D.9.已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，又，当时，都是单调增函数，故也是单调增函数；当时，都是单调增函数，故也是单调增函数；则有两个不相等的实数根，也即的图象有两个不同的交点；在直角坐标系中，作出的图象如下所示：数形结合可知，要满足题意，则.故选：B.10.悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为，其中c为参数，当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数，下列说法错误的是（）A. B.函数的值域C.，恒成立 D.方程有且只有一个实根【答案】C【解析】对于A，，故A正确；对于B，，因为，所以，所以，所以，所以函数的值域，故B正确；对于C，因为，即，故C错误；对于D，，令，函数为增函数，且，而函数在上为增函数，所以函数是增函数，令，因为函数都是增函数，所以函数是增函数，又，所以函数有唯一零点，且在上，即方程有且只有一个实根，故D正确.故选：C.二、填空题：共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.11.已知幂函数的图象经过点，那么________.【答案】【解析】将点代入得，所以，所以.故答案为：.12.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为________.【答案】【解析】由已知得扇形的半径为，所以该扇形面积为.故答案为：.13.已知函数，则当________时，函数取到最大值且最大值为________.【答案】【解析】因为，所以，当且仅当时，即时等号成立.故答案为：.14.若点关于x轴的对称点为，则角α的一个取值为________.【答案】（答案不唯一）【解析】因为点关于x轴的对称点为，所以有，由可得：，由可得：或，显然无实数解，由，于是当时，即，符合题意.故答案为：（答案不唯一）.15.如图，函数的图象为折线，函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：①；②函数在内有且仅有3个零点；③；④不等式的解集.其中正确结论的序号是_____________.【答案】①③④【解析】因为函数是定义域为R的奇函数，所以，故，即，故①正确；又，所以，所以，即，所以函数周期为，由图象可知，所以，由周期知，，故函数内有共5个零点，故②错误；因为，，，由图象可知，，，又，所以，故③正确；由图象，利用待定系数法可知，在同一坐标系下，作出，的图象如下，由图易知，，所以结合图象知不等式的解集，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知不等式的解集为A，非空集合.（1）求集合A；（2）当时，求；（3）若，求实数m的取值范围.解：（1）由.（2）当时，，所以.（3）因为，，所以有，因此实数m的取值范围为.17.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第三象限点.（1）求的值；（2）若角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与单位圆交于点，求点的坐标.解：（1）由三角函数的定义可得，所以.（2）角的终边绕原点O按逆时针方向旋转，得到角，则，，所以点Q的坐标为.18.已知且的范围是________.从①，②，③，④，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：（1）求，的值；（2）化简求值：.解：（1）已知，故为第二，三象限的角，则①④不能选择，选择②：，，所以，.选择③：，，所以，.（2），选择②：.选择③：.19.已知函数是定义在R上的奇函数.（1）求实数a的值：（2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；（3）若有两个零点，请写出k的范围（直接写出结论即可）.解：（1）函数为奇函数，则，即，解可得.（2）由（1）知，在上单调递减；证明：任取，，且，则，又由，，且，则，，，，则有，即，所以函数在上单调递减．（3）因为有两个零点，所以方程有两个不等实根，即有两个不等的实根，任取，，且，由（2）知，因为，，，，所以，即，所以函数在上单调递增，又函数为奇函数，所以图象关于原点成中心对称，又，，时，，作出图象如图：所以当且时，与有两个不同交点，即有两个不等实根，故k的范围为.20.美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示：（1）试分别求出生产两种芯片的毛收入(亿元)与投入资金(亿元)的函数关系式.（2）如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？（3）现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金）解：（1）设投入资金亿元，则生产A芯片的毛收入，将代入，得，解得，生产B芯片的毛收入.（2）由，得；由，得；由，得，当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入更大；当投入资金等于16亿元时，生产芯片的毛收入相等；当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大.（3）由题意知投入亿元生产芯片，则投入亿元资金生产A芯片，公司所获净利润，令，则，，故当，即亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元.21.对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.（1）判断函数和函数是否存在“优美区间”?（直接写出结论，不要求证明）（2）如果函数在R上存在“优美区间”，求实数a的取值范围.解：（1），在上单调递增，由得或1，所以存在