北京市朝阳区2025届高三上学期期中检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市朝阳区2025届高三上学期期中检测数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为集合，集合，所以.故选：A2.若函数在处取得最小值，则（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】∵，∴，∴，当且仅当，即时取等号，∴最小值点，即.故选；C.3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，函数为指数函数，不具备奇偶性，故A错误；对于B，函数的定义域为，由于为偶函数，故B错误；对于C，函数，由正切函数的性质可知为奇函数，且在单调递增，故C错误；对于D，函数的定义域为，由，故函数为奇函数，因为，所以函数在单调递增，故D正确.故选：D.4.如图，在中，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵，，∴，，∴，故AB选项错误；∴，故C选项正确，D选项错误.故选：C.5.已知单位向量，满足，设向量，则向量与向量夹角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，所以，故选：C.6.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（）A.1天 B.2天 C.3天 D.4天【答案】B【解析】设这女子每天分别织布尺，则数列是等比数列，公比．则，解得．数列的通项公式为，，当时，则，当时，则，故超过1尺的天数共有2天.故选：B．7.已知均为第二象限角，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意，若，因为均为第二象限角，所以，所以，即，所以，且均为第二象限角，所以，所以，即充分性成立.若，因为均为第二象限角，所以，即，所以，即，因为均为第二象限角，所以，所以，故必要性成立,所以“”是“”的充要条件.故选：C.8.已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】当时，函数，则，令，解得，故直线与相切，即.当时，函数，则，令，解得，故直线与相切，即.如图所示，当或时，直线与分段函数有且仅有一个公共点.故实数的取值范围为或.故选：B.9.在三棱锥中，棱，，两两垂直，点在底面内，已知点到，，所在直线的距离分别为1，2，2，则线段的长为（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】如图，棱，，两两垂直，可以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.设，由题意可得：，∴，∴，故选：A10.数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（）A.99 B. C. D.96【答案】B【解析】设，则，即，所以,若,则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，若，则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，所以,即，因为，且满足，所以包含了的个元素外，还包含个属于而不属于的元素，当时，则,如，符合题意.当时，则,如，符合题意.所以的最大值为，故选：B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数__________．【答案】【解析】，故答案为12.在中，已知，则__________；________.【答案】【解析】因为，，又，故；.故答案为：；.13.已知数列的前n项和为（A，B为常数），写出一个有序数对________，使得数列是递增数列.【答案】（答案不唯一）【解析】数列的前n项和为,当时，，所以，即，当时，符合上式，综上，，若数列递增数列，则，即，故符合的有序数对可以为.故答案为：（答案不唯一）.14.某种灭活疫苗的有效保存时间（单位：）与储藏的温度（单位：℃）满足函数关系（为常数，其中）.已知该疫苗在0℃时的有效保存时间是1440h，在5℃时的有效保存时间是360h，则该疫苗在10℃时的有效保存时间是________h.【答案】90【解析】由题意，，解得，当时，，故该疫苗在时的有效保存时间是小时.故答案为：.15.对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质.给出下列四个结论：①存在公差不为的等差数列具有性质；②以为首项，为公比的等比数列具有性质；③若由数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质；④若数列和均具有性质，则数列也具有性质.其中所有正确结论序号是________.【答案】②③④【解析】对于①，假设存在公差为的等差数列an具有性质，则存在常数，使得对任意，都有不等式成立.则对任意的，都有，但这对大于的正整数显然不成立，矛盾，故①错误；对于②，设an是以为首项，为公比的等比数列，则，.所以正实数满足对任意的，都有.故②正确；对于③，若由数列an的前项和构成的数列具有性质，则存在常数，使得对任意的，都有不等式成立.从而正实数满足对任意的，都有.故③正确；对于④，若数列an和bn均具有性质，存在常数，使得对任意的，都有不等式成立；也存在常数，使得对任意的，都有不等式成立.从而正实数满足对任意的，都有.故④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，.（1）求的值；（2）若，，求b及的面积.解：（1）因为，有正弦定理得，所以，由，得，又因为，所以，所以，由正弦定理可得；（2）因为，，所以由余弦定理得，又由（1）可知，，所以，整理得，即，所以，所以，所以面积为.17.如图，在四棱锥中，平面，，，，.（1）求证：平面PAD；（2）求平面与平面PCD的夹角的余弦值；（3）记平面与平面PCD的交线为l.试判断直线AB与l的位置关系，并说明理由.解：（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又因为，，所以，又因为平面PAD，所以平面PAD.（2）由（1）可知，，，，如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，则，，，，则，，设平面PAB的一个法向量为，由得所以，令，则，又因为平面PCD，所以是平面PCD的一个法向量.设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，则.（3）直线.理由如下：因为，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，又因为平面PAB，平面平面，所以.18.已知函数.（1）若，求的最小值；（2）若存在极小值，求的取值范围.解：（1）函数的定义域为，当时，，时，，在区间上单调递减，时，，在区间上单调递增.所以当时，取得最小值.（2）函数的导函数为.①当时，，在区间上单调递减，所以无极值.②当时，令，得.当变化时，与的变化情况如下表：x-0+↘极小值↗由上表知，当时，取得极小值综上，的取值范围为.19.设函数.（1）若，，求的值；（2）已知在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求ω，φ的值.条件①：当时，取到最小值；条件②：；条件③：在区间上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）由，，得.则；（2），，.选择条件①：因为在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，又当时，取到最小值，所以，故.因为，所以.所以，.又因为，所以，得.又因为，所以.选择条件③：因为在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，又在区间上单调递减，所以，故.因为，所以.所以，.又因为，所以，得.又因为，所以.选择条件②不能求出参数值，故不能选条件②.20.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论在区间上的零点个数；（3）若，其中，求证：.解：（1）由，得且，所以，所以曲线在处的切线方程为：，即.（2）①当时，，，所以.所以在区间上无零点；②当时，，，所以，所以在区间上单调递增，又，，所以在区间上仅有一个零点，综上，在区间上的零点个数为1.（3）设，即，所以，设，，因为时，，，所以，所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，故，所以在区间上单调递增.故，所以.因为，所以，又，所以.21.若有穷正整数数列A：，，，…，满足如下两个性质，则称数列A为T数列：①；②对任意的，都存在正整数，使得.（1）判断数列A：1，1，1，3，3，5和数列B：1，1，2，2，4，4，4，12是否为T数列，说明理由；（2）已知数列A：，，，…，是T数列.（i）证明：对任意的，与不能同时成立；（ii）若n为奇数，求的最大值.解：（1）数列A不是T数列，理由如下：对于数列A，因为，，且对任意的正整数，有，所以数列A不满足性质②，所以数列A不是T数列；数列B是T数列，理由如下：对于数列B，因为，，，