2024北京一零一中九年级（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京一零一中初三（上）期中数学一、选择题（共16分，每题2分）1．下面是某AI软件设计的四个图形．其中是中心对称图形的是（）A．B．C． D．2．若关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0有一个根为1，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．23．如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P点为圆心，PE长为半径作⊙P，则⊙P与直线OB的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定4．抛物线y＝（x﹣3）2﹣2的顶点坐标是（）A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．b2﹣4ac＜0 D．9a+3b+c＜06．如图，⊙O的半径为12，点A、B是圆上的两点，∠AOB＝120°，则的长为（）A．6π B．8π C．10π D．12π7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（）A．1+x2＝43 B．1+x+x2＝43 C．x+x2＝43 D．（1+x）2＝438．3月14口是国际圆周率日．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的”割圆木”相似，数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆（半径为1）的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的平均数作为2π的近似值．按照阿尔•卡西的方法，当n＝1时（如图），下列说法中正确的是（）①该图既是轴对称图形，也是中心对称图形；②该图绕点O旋转60°的正整数倍都能和自身重合；③按照阿尔•卡西的方法，根据该图可算出2π的近似值为．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．如图，在平面直角坐标系xOy中，把点A（2，1）绕点O逆时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为．10．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．11．点A（﹣2，y1），B（m，y2）在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象上．若y1＞y2，写出一个符合条件的m的值．12．如图，从⊙O外一点A引圆的两条切线AB，AC，切点分别为B，C，连接AO交⊙O于点E，D为⊙O上点，∠BDE＝35°，则∠BCA＝°．13．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝3的解为．14．若函数的图象和直线y＝kx（k≠0）有一个交点P（﹣2，4），则它们另一个交点（非原点）的坐标为．15．如图，半径为2的⊙O1和⊙O2的圆心O1，O2都在线段AB上，O2还在⊙O1上，两圆交点为C，过点C作CD⊥AB于点E交⊙O1于点D，则∠DAB的大小为°，AD的长为．16．小慧和小钰同学在学习二次函数时，在平面直角坐标系中，画出了如下四个二次函数的图象（共中a≠0）：抛物线，抛物线，抛物线，抛物线．发现这四条抛物线之间有丰富的平移、轴对称和中心对称关系：（1）l1可以通过得到l4（填平移、轴对称或中心对称）；（2）在下面的说法中，正确的是（填序号）①l2和l4关于原点（0，0）中心对称；②l1和l2关于点（0，c）中心对称；③l2和l3关于直线y＝c轴对称，但不成中心对称．三、解答题（共68分，第17题4分，第18、19题5分，第20、21题每题6分，17．解方程：x2﹣2x﹣3＝0．18．下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．求作：直线PQ，使得PQ与⊙O相切．作法：如图2，①连接PO并延长交⊙O于点A；②）在⊙O上任取一点B（点P，A除外），以点B为圆心，BP长为半径作⊙B，与射线PO的另一个交点为C；③连接CB并延长交⊙B于点Q；④作直线PQ．根据小石设计的尺规作图的过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵CQ是⊙B的直径，∴∠CPQ＝°（）（填推理的依据）．∴OP⊥PQ．又∵OP是⊙O的半径，∴PQ是⊙O的切线（）（填推理的依据）．19．关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+（m﹣3）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．20．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D在边AC上，将△ABD绕点B逆时针旋转得到△CBE，连接ED．（1）求证：∠CDE＝∠ABD；（2）若AD＝1，CD＝3，直接写出线段DE的长．21．学习完《一元二次方程》后，李老师留了一个思考问题：用配方法解关于x的方程：x2+px＝q（p＞0，q＞0）（1）小羽同学发现了一个有趣的解法，部分过程如下，补全解答过程：解：∵x2+px＝q（p＞0，q＞0）∴4x2+4px＝4q∴配方为：4x2+4px+＝4q+∴（）2＝4q+……………方程①∴开方可求出方程的两个解．（2）小林同学看了小羽的解法后，发现小羽的解法正好和三国时期赵爽在《周髀算经》中注释的一个方法相呼应．《周髀算经》中记载了一个问题“已知矩形半周长和面积求矩形的长与宽”，赵爽在注释中给出了这个问题的几何解决方法：设矩形的长、宽分别为x、（x+p），面积为x（x+p）＝q（其中x＞0，p＞0，q＞0），如图1所示；用四个这样完全相同的矩形拼成图2所示的大正方形．大正方形的面积既可以表示为边长的平方：；又可以表示为四个矩形和中间阴影部分的面积和：；（用只含p，q的式子表示）所以可列出（1）中的方程①求得方程的正根为x＝.（用只含p，q的式子表示）所以整个问题得解．22．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y1的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…0﹣2﹣204…（1）在平面直角坐标系中画出该抛物线的图象；（2）结合图象回答问题：①抛物线的对称轴为x＝；②已知A（﹣1，﹣2），B（1，0），直线AB的解析式为y2＝kx+b（k≠0），直接写出y1＞y2时x的取值范围；③当﹣1＜x＜2时，y1的取值范围．23．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长）用26m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB＝xm．（1）若花园的面积为160m，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．24．（1）《九章算术》是中国古代数学最重要的著作之一．在第九章“勾股”中记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”这个问题可以描述为：如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，勾为AC长8步，股为BC长15步，问△ABC的内切圆⊙O直径是多少步？”根据题意可得⊙O的直径为步．（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示，则Rt△ABC内切圆的半径r可表示为（填序号）；①；②；③．（3）从第（2）问所选的公式中任选一个（利用图2）进行证明.25．小予和小凡同学计划为美术教室设计一款多功能桌．现有圆心为O、半径为R的圆面形材料若干个（如图1所示），先在圆面材料上裁掉一个以O为圆心、r（0＜r＜R）为半径的圆得到一个圆环，然后把圆环6等分（如图2所示），得到若干扇环形桌面（如图3所示）．（1）图3中一个扇环的面积为（用含r、R的式子表示）；（2）小予同学用8块相同的扇环拼成如图4所示的桌子．①图4是一个中心对称图形，请在图上标出对称中心A；②根据图4上标注的数据求这张桌子的桌面面积（结果保留π）．（3）小凡同学用10块相同的扇环拼成如图5所示的桌子．矩形ABCD是能把这张桌子围起来的最小矩形，且AD﹣AB＝1.8m，直接写出图中线段EF的长度．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝a（x﹣a）2+2a（a≠0）．（1）当a＝﹣1时，求抛物线与y轴的交点坐标；（2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点．若对于x1＝2a+1，﹣1≤x2≤2，都有y1≥y2，求a的取值范围．27．如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝α，点E为边AB的中点，点D为边BC上的动点，线段DE绕点D顺时针旋转2α得到线段DF，连接AF．（1）当点F在边BC上时，在图1中补全图形，并直接写出线段AF和BF的数量关系；（2）当α＝30°时，①点D在如图2所示位置，猜想线段BD、BE、AF的数量关系并证明．②点D为边BC上的动点，直接写出线段BD、BE、AF的数量关系．28．如图，已知点A、B、C为⊙O上互不重合的三点，∠BAC＝α，图形G关于AB轴对称后的图形称为G1，把G1再关于AC轴对称后的图形称为图形G2，若图形G1和G2都在⊙O上或⊙O内，则称图形G为关于α的“轴转图形”．例如图中点D为关于α的“轴转图形”：如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，⊙O上有三点A（﹣1，0），，（1）①直接写出α的度数；②在点O（0，0）和点D（0，1）中，点为关于α的“轴转图形”，且D2的坐标为；（2）平面内有一条线段EF，且EF是关于α的“轴转图形”．①若EF上所有的点都在⊙O上或⊙O内，则EF长度的最大值为；②若EF是平面内的任意一条线段，则EF长度的最大值为．

参考答案一、选择题（共16分，每题2分）1．【答案】C【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意；B、图形不是中心对称图形，不符合题意；C、图形是中心对称图形，符合题意；D、图形不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形，熟知中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合是解题的关键．2．【答案】A【分析】把x＝1代入方程求出m即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0有一个根为1，∴2+m﹣3＝0，∴m＝1．故选：A．【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义．3．【答案】B【分析】首先过点P作PD⊥OB，由P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，根据角平分线的性质，即可得PD＝PE，则可得P到直线OB的距离等于⊙P的半径PE，则可证得：⊙P与OB相切．【解答】证明：过点P作PD⊥OB于D，∵P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，∴PD＝PE，即P到直线OB的距离等于⊙P的半径PE，∴⊙P与OB相切．故选：B．【点评】此题考查了切线的判定与角平分线的性质，解题的关键是准确作出辅助线，掌握圆的切线的判定方法．4．【答案】A【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣3）2﹣2，∴该抛物线的顶点坐标为（3，﹣2），故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5．【答案】C【分析】依据题意，由抛物线开口向下，且图象与y轴交于正半轴，故a＜0，c＞0，再结合对称轴是直线x＝﹣＝1，从而b＝﹣2a＞0，进而可以判断A；又b＝﹣2a，从而2a+b＝0，故可判断B；由抛物线与x轴有两个交点，从而可得Δ＝b2﹣4ac＞0，故可判断C；结合图象，当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故可判断D．【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，且图象与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0．∵对称轴是直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0．∴abc＜0，故A正确，不合题意．∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故B正确，不合题意．∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故C错误，符合题意．又由图象，当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，∴D正确，不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．6．【答案】B【分析】直接根据弧长公式计算即可．【解答】解：的长为＝8π．故选：B．【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．7．【答案】B【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．【解答】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意列方程得：x2+x+1＝43．故选：B．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．8．【答案】D【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断①的正确；利用圆和正多边形是特殊的中心对称图形，可以判断②的正确；通过计算圆的内接正六边形和外切正六边形的周长并计算它们的平均数即可得出③的结论正确．【解答】解：∵圆和正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，∴该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，∴①的说法正确；∵圆是特殊的中心对称图形，绕着圆心旋转任意角度都能和它本身重合，正六边形绕着它的中心每旋转一个中心角都能和它的本身重合，正六边形的中心角为60°，∴该图绕点O旋转60°的正整数倍都能和自身重合，∴②的说法正确；连接OC，OC′，OD，OD′，如图，则⊙O的半径为1，∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′D′E′F′为正六边形，∴∠COD＝∠C′OD′＝60°，∴△OCD，△OC′D′为等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝1，∴六边形ABCDEF的周长为6．∵六边形A′B′C′D′E′F′为⊙O的外切正六边形，∴C′D′与⊙O相切，∴OD⊥C′D′，∵OC′＝OD′，∴C′D＝DD′，∠C′OD＝C′OD′＝30°，∴C′D＝OD•tan30°＝，∴C′D′＝2C′D＝，∴六边形A′B′C′D′E′F′的周长为6C′D′＝4．∴2π的近似值＝＝3+2．∴③的说法正确．综上，说法正确的是：①②③．故选：D．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，正多边形的性质，正多边形的有关计算，熟练掌握圆的有关性质和正多边形的性质是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．【答案】（﹣1，2）．【分析】如图，过点B作BMx轴于点M，过点A作AN轴于点N．证明△ANO≌△OMB（AAS），推出BM＝ON＝2，OM＝AN＝1，可得结论．【解答】解：如图，过点B作BMx轴于点M，过点A作AN轴于点N．∵A（2，1），∴ON＝2，AN＝1，∵∠ANO＝∠BMO＝∠AOB＝90°，∴∠BOM+∠AON＝90°，∵∠AON+∠OAN＝90°，∴∠BOM＝∠OAN，∵OA＝OB，∴△ANO≌△OMB（AAS），∴BM＝ON＝2，OM＝AN＝1，∴B（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．10．【答案】见试题解答内容【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4k＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝22﹣4k＝4﹣4k＝0，解得：k＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．11．【答案】﹣1（答案不唯一）．【分析】由解析式求得开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质即可得出m＜﹣2或m＞4．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∴点A（﹣2，y1）关于直线x＝1的对称点为（4，y1），∵点点A（﹣2，y1），B（m，y2）在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象上．且y1＞y2，∴m＜﹣2或m＞4，∴m＝﹣1符合题意，故答案为：﹣1（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数的性质是解题的关键．12．【答案】70．【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠BOE，根据切线的性质得到OB⊥AB，根据直角三角形的性质求出∠OAB，进而求出∠BAC，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：如图，连接OB，由圆周角定理得：∠BOE＝2∠BDE＝2×35°＝70°，∵AB、AC是⊙O的切线，∴OB⊥AB，AB＝AC，∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB＝90°﹣70°＝20°，∴∠BAC＝40°，∵AB＝AC，∴∠BCA＝∠CBA＝（180°﹣40°）＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握切线长定理、圆周角定理是解题的关键．13．【答案】见试题解答内容【分析】由函数图象可知当x＝0时，y＝﹣x2+2x+m＝3，然后利用抛物线的对称性可求得方程的另一个解．【解答】解：由函数图象可知：方程﹣x2+2x+m＝3的一个解为x＝0，由抛物线的对称性可知：当x＝2时，y＝﹣x2+2x+m＝3，所以方程方程﹣x2+2x+m＝3的另一个解为x＝2．故答案为：x＝0或x＝2．【点评】本题主要考查的是函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．14．【答案】（2，﹣4）．【分析】先根据已知条件求出k和a的值，再解方程组即可．【解答】解：由题意得，点P（﹣2，4）在直线y＝kx的图象上，∴﹣2k＝4，解得k＝﹣2，∴y＝﹣2x；∵点P（﹣2，4）在y＝的图象上，∴4a＝4，解得a＝1，∴y＝，联立方程组，解得或，∴直线y＝﹣2x与函数y＝另一个交点坐标（非原点）为（2，﹣4），故答案为：（2，﹣4）．【点评】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，关键是掌握二次函数的性质．15．【答案】30，2．【分析】如图，连接AC，AD，CO1，CO2．证明△CO1O2，△ADC都是等边三角形可得结论．【解答】解：如图，连接AC，AD，CO1，CO2．∵AB⊥CD，∴EC＝ED，∴AC＝AD，∵CO1＝O1O2＝CO1＝2，∴△CO1O2是等边三角形，∴∠ADC＝∠CO2O1＝60°，EO1＝EO2＝1，CE＝ED＝，∴△ADC是等边三角形，∴∠DAB＝∠CAD＝30°，AD＝CD＝2．故答案为：30，2．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．【答案】（1）平移；（2）①②．【分析】（1）观察解析式可得答案；（2）根据一个点关于某点（或直线）的对称点坐标逐项判断即可．【解答】解：（1）l1可以通过平移得到l4，故答案为：平移；（2）抛物线y＝﹣ax2+bx+c关于原点（0，0）对称的抛物线解析式为﹣y＝﹣a（﹣x）2+b（﹣x）+c，即y＝ax2+bx﹣c，∴l2和l4关于原点（0，0）中心对称，故①正确；设（x，ax2+bx+c）为抛物线l1上任意一点，其关于（0，c）的对称点坐标为（﹣x，﹣ax2﹣bx+c），∵﹣ax2﹣bx+c＝﹣a（﹣x）2+b（﹣x）+c，∴（﹣x，﹣ax2﹣bx+c）在抛物线y＝﹣ax2+bx+c上，即抛物线l1上任意一点关于（0，c）的对称点都在l2上，∴l1和l2关于点（0，c）中心对称，故②正确；设（x，﹣ax2+bx+c）为抛物线l2上任意一点，其关于直线y＝c的对称点为（x，ax2﹣bx+c），∵（x，ax2﹣bx+c）在抛物线y＝ax2﹣bx+c上，∴l2和l3关于直线y＝c轴对称，（x，﹣ax2+bx+c）为抛物线l2上任意一点，其关于（，c）的对称点为（﹣x+，ax2﹣bx+c），∵ax2﹣bx+c＝a（﹣x+）2﹣b（﹣x+）+c，∴（﹣x+，ax2﹣bx+c）在抛物线y＝ax2﹣bx+c上，即抛物线l2上任意一点，其关于（，c）的对称点都在抛物线l3上，∴抛物线l2和抛物线l3关于（，c）对称，故③错误；∴正确的有①②，故答案为：①②．【点评】本题考查二次函数图象及几何变换，涉及二次函数性质，解题的关键是会求一个点关于某点（或直线）的对称点．三、解答题（共68分，第17题4分，第18、19题5分，第20、21题每题6分，17．【答案】见试题解答内容【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0或x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．18．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠BPC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）补全的图形如图所示；（2）证明：∵CQ是⊙B的直径，∴∠CPQ＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴OP⊥PQ．又∵OP是⊙O的半径，∴PQ是⊙O的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．19．【答案】（1）见解答；（2）4．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝（m﹣4）2，则利用非负数的性质得到Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式得到x1＝m﹣3，x2＝1，然后确定m的最小值．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2﹣m）2﹣4（m﹣3）＝4﹣4m+m2﹣4m+12＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x＝，∴x1＝m﹣3，x2＝1，∵方程的两个实数根都是正整数，∴m﹣3为正整数，∴m的最小值为4．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．20．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）设BC，DE交于F，根据等腰直角三角形到现在得到∠A＝∠ACB＝45°，根据旋转的性质得到∠BCE＝∠A＝45°，BD＝BE，∠ABD＝∠CBE，求得∠BEF＝∠DCF＝45°，于是得到∠CDE＝∠ABD；（2）根据旋转的性质得到∠BCE＝∠A＝45°，AD＝CE＝1，求得∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝90°，根据勾股定理得到DE＝＝＝．【解答】（1）证明：设BC，DE交于F，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠ACB＝45°，∵将△ABD绕点B逆时针旋转得到△CBE，∴∠BCE＝∠A＝45°，BD＝BE，∠ABD＝∠CBE，∴∠DBE＝∠ABC＝90°，∴∠BDE＝∠BED＝45°，∴∠BEF＝∠DCF＝45°，∵∠BFE＝∠CFD，∴∠CDE＝∠ABD；（2）解：∵将△ABD绕点B逆时针旋转得到△CBE，∴∠BCE＝∠A＝45°，AD＝CE＝1，∴∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝90°，∴DE＝＝＝．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．21．【答案】（1）p2，p2.2x+p，p2；（2）（2x+p）2，4q+p2，．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用面积法构建方程可得结论．【解答】解：（1）∵x2+px＝q（p＞0，q＞0）∴4x2+4px＝4q∴配方为：4x2+4px+p2＝4q+p2∴（2x+p）2＝4q+p2，∴2x+p＝±，∴x1＝，x2＝；故答案为：p2，p2.2x+p，p2；（2）设矩形的长、宽分别为x、（x+p），面积为x（x+p）＝q（其中x＞0，p＞0，q＞0），如图1所示；用四个这样完全相同的矩形拼成图2所示的大正方形．大正方形的面积既可以表示为边长的平方：（2x+p）2，又可以表示为四个矩形和中间阴影部分的面积和：4q+p2，所以可列出（1）中的方程①：（2x+p）2＝4q+p2，x1＝，x2＝（舍去），∴方程的正根为x＝．故答案为：（2x+p）2，4q+p2，．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是理解题意，正确计算．22．【答案】（1）见解答；（2）①﹣；②x＞1或x＜﹣1；（3）﹣≤y1＜4．【分析】（1）根据表格点，描点联系绘制函数图象即可求解；（2）①由函数图象，即可求解；②观察函数图象即可求解；（3）当x＝2时，函数取得最大值为4，函数在顶点（﹣，﹣）处取得最小值，即可求解．【解答】解：（1）根据表格点，描点联系绘制函数图象如下：（2）①由函数图象知，其对称轴为直线x＝（﹣2+1）＝﹣，故答案为：﹣；②由函数图象知，点A、B在抛物线上，观察函数图象知，y1＞y2时x的取值范围为：x＞1或x＜﹣1；故答案为：x＞1或x＜﹣1；（3）设抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣1）＝a（x2+x﹣2），抛物线过点（0，﹣2），则﹣2a＝﹣2，则a＝1，即抛物线的表达式为：y+x2+x﹣2，∵﹣1＜x＜2故当x＝2时，函数取得最大值为4，函数在顶点（﹣，﹣）处取得最小值，故﹣≤y1＜4，故答案为：﹣≤y1＜4．【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组），熟悉函数的图象和性质是解题的关键．23．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意得出长×宽＝160，进而得出答案；（2）由题意可得出：S＝x（26﹣x）＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，再利用二次函数增减性求得最值．【解答】解：（1）∵AB＝xm，则BC＝（26﹣x）m，∴x（26﹣x）＝160，解得：x1＝10，x2＝16，答：x的值为10m或16m；（2）∵AB＝xm，∴BC＝26﹣x，∴S＝x（26﹣x）＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，∵26﹣15＝11，∴6≤x≤11，∴当x＝11时，S取到最大值为：S＝﹣（11﹣13）2+169＝165．答：花园面积S的最大值为165平方米．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．24．【答案】（1）6；（2）①③；（3）理由见解析．【分析】（1）连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，利用圆的切线的性质定理得到连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，依据S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，列出关于r的方程，解方程即可得出结论；（2）利用（1）的解题思路解答即可；（3）连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，依据S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，列出关于r的等式，适当整理即可得出①的结论成立；在①的基础上，利用分式的基本性质和勾股定理进行适当变形即可得出③的结论成立．【解答】解：（1）连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，如图，设△ABC的内切圆的半径为r，∵⊙O为△ABC的内切圆，∴连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，勾为AC长8步，股为BC长15步，∴AB＝＝17（步）．∵S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，∴AC•BC＝AB，∴8×15＝17r+8r+15r，∴r＝3．∴△ABC的内切圆⊙O直径是6步．故答案为：6；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示，则Rt△ABC内切圆的半径r可表示为①③．故答案为：①③；（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示，则Rt△ABC内切圆的半径r可表示为r＝．理由：连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，如图，设△ABC的内切圆的半径为r，∵⊙O为△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，OD＝OE＝OF＝r，∵S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，∴AC•BC＝AB，∴ab＝ar+br+cr，∴（a+b+c）r＝ab，∴r＝．∴结论①成立；在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示，则Rt△ABC内切圆的半径r可表示为r＝．∵r＝，∴r＝＝＝．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示，∴a2+b2＝c2，∴r＝．∴结论③成立．【点评】本题主要考查了三角形的内切圆，切线的性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造三角形，利用三角形的面积公式列出等式是解题的关键．25．【答案】（1）；（2）①详见解析；②1.44π（m）2；（3）m．【分析】（1）由题可知一个扇环面积等于S圆环，进而用大圆面积减去小圆面积即可得出圆环面积；（2）①对应点连线的交点即是对称中心；②由题先分别求出R和r的长度，再代入即可得解；（3）先找出各扇环圆心，很容易得出O1O2＝O1O3＝O2O3＝O1O4＝O2O4，以及AD﹣AB＝R+r＝1.8m＝m，然后我们发现点F与点F'关于O1O2中垂线对称，点G和H关于O1O2中垂线对称，且F'、G、F三点共线，进而得到△EGF是等腰三角形，且顶角为120°，即可得解．【解答】解：（1）S扇环＝S圆环＝•（πR2﹣πr2）＝；故答案为：；（2）①如图所示；②如图，设两个圆环的圆心分别为O1和O2，则O1G＝＝O1M＝O1F＝O2N＝O2H＝R，O2F＝r，由题易得，，解得，∴S桌面＝8S扇环＝π•（R+r）（R﹣r）＝π•（1.2+0.6）×（1.2﹣0.6）＝1.44π（m）2；（3）如图，分别作出各扇环所在的圆心O1、O2、O3、O4，由图易得O1O2＝O1O3＝O2O3＝O1O4＝O2O4，由（2）②可得AD＝3R+r，AB＝2R，∴AD﹣AB＝R+r＝1.8m＝m，点F与点F'关于O1O2中垂线对称，点G和H关于O1O2中垂线对称，且F'、G、F三点共线，∵一个扇环是圆环，∴∠F'O1G＝60°，∴△F'O1G是等边三角形，∴∠EGF＝120°，∵EG＝EO1+O1G＝R+r，GF＝GH+FH＝R+r，∴EG＝GF，∴△EGF是等腰三角形，且顶角为120°，∴EF＝EG＝（R+r）＝m．【点评】本题主要考查了中心对称图形、圆的面积、轴对称等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．26．【答案】（1）（0，﹣3）；（2）a≤﹣1或a≥．【分析】（1）依据题意，将a＝1代入即可求出抛物线的顶点坐标；（2）依据题意，利用作差法建立关于x2和a的不等式，因为a不确定，所以要分类讨论，再根据范围取舍即可．【解答】解：（1）将a＝﹣1代入得y＝﹣（x+1）2﹣2，∴令x＝0，则y＝﹣（0+1）2﹣2＝﹣3．故答案为：（0，﹣3）．（2）由题得，y1＝a（2a+1﹣a）2+2a＝a3+2a2+3a，y2＝a（x2﹣a）2+2a＝a﹣2a2x2+a3+2a．∵y1≥y2，∴y1﹣y2＝a3+2a2+3a﹣（a﹣2a2x2+a3+2a）＝﹣a（x2﹣2a﹣1）（x2+1）≥0，①当a＞0时，∴﹣a＜0．∴（x2﹣2a﹣1）（x2+1）≤0，∴或．∴﹣1≤x2≤2a+1．∵﹣1≤x2≤2，∴2a+1≥2．∴a≥．②当a＜0时，∴﹣a＞0．∴（x2﹣2a﹣1）（x2+1）≥0，∴或．∴x2≥2a+1或x2≤﹣1．∵﹣1≤x2≤2，∴2a+1≤﹣1．∴a≤﹣1．综上，a≤﹣1或a≥．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．27．【答案】（1）由题意画出图形，证明见解析；（2）①．证明见解析；②线段BD、BE、AF的数量关系为．【分析】（1）由题意画出图形，证出∠BEF＝90°，由中垂线的性质得出结论；（2）①过A作AG⊥BC，连接E