2024北京一七一中高一12月月考数学（教师版）

第1页/共1页2024北京一七一中高一12月月考数学2024.12一､单项选择题共10小题，每小题3分，共30分.1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.2.已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.3.（）A. B. C. D.4.在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（）A.B.C. D.5.下列函数中，既是奇函数，又在0,+∞上单调递减的是（A. B.C. D.6.下列各组角中，终边相同的角是（）A.与B.C.与D.与7.已知，则实数a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.8.已知函数，则“”是“为奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是（）A. B. C.1 D.10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（）.历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值.按照阿尔•卡西的方法，的近似值的表达方式是（）A. B.C. D.二､填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.已知，且则__________.12.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则__________，__________．13.若扇形所在圆半径为2cm，圆心角为1弧度，则该扇形面积__________，周长为__________.14.已知函数在区间上是增函数，则的取值范围为__________.15.已知函数为偶函数，且当时，，记函数，给出下列四个结论：①当时，在区间上单调递增；②当时，是偶函数；③当时，有3个零点；④当时，对任意x∈R，都有.其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共5小题，共50分.16.已知集合.（1）求；（2）记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.17.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来温度是，空气温度是，则经过时间分钟后物体温度可以由公式求得.若把温度是的物体放在的空气中冷却到，大概需要多少分钟？（精确到0.01）（参考数据：）18.已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.19.已知函数．请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题．条件①：;条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．（1）求实数k的值；（2）设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明；（3）设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由．20.已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为.（1）对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合及，；（2）求证：不可能为18；（3）求的最大值以及的最小值.

参考答案一､单项选择题共10小题，每小题3分，共30分.1.【答案】B【分析】根据补集概念求解出结果.【详解】因为，，所以，故选：B.2.【答案】C【分析】利用不等式的性质以及指数函数的性质求解.【详解】对A，取，满足，但，A错误；对B，当时，，当时，，当时，，所以不一定成立，B错误；对C，因为指数函数在定义域R上单调递增，且，所以，C正确；对D，，满足，但，D错误；故选：C.3.【答案】A【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解.【详解】.故选：A.4.【答案】C【分析】结合对数函数、指数函数和幂函数的单调性及图象判断即可.【详解】在同一坐标系中，函数，的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD；在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B，故C符合题意.故选：C.5.【答案】B【分析】利用定义判断函数的奇偶性可对A、C判断；利用函数奇偶性的判断并结合函数单调性可对B、D判断.【详解】对于A，的定义域为，故是非奇非偶函数，故A错误；对于B，，，又，故是奇函数，当时，，此时在上单调递减，故B正确；对于C，，，又，故是偶函数，故C错误；对于D，在R上单调递增，故D错误.故选：B.6.【答案】D【分析】根据表示终边的角逐项判断即可．【详解】对于A，当时，表示终边在轴上的角，表示终边在坐标轴上的角，故A错误；对于B，当时，因为表示终边在所在直线上的角；表示终边在所在直线上的角以及轴上的角，故B错误；对于C，当时，表示终边在这条直线上的角，表示终边在所在直线上的角，故C错误；对于D，当时，表示终边在轴负半轴上的角，表示终边在轴负半轴上的角，故D正确.故选：D.7.【答案】D【分析】根据题意结合指、对数函数单调性运算求解.【详解】因为，由在R上单调递增，可得，即；由在0,+∞内单调递增，可得，即；由在0,+∞内单调递增，可得，即；综上所述：.故选：D.8.【分析】根据“”与“为奇函数”互相推出的情况判断属于何种条件.【详解】当时，，定义域为且关于原点对称，所以，所以为奇函数；当为奇函数时，显然定义域为且关于原点对称，所以f-x=-fx所以，所以，由上可知，“”是“为奇函数”的充要条件，故选：C.9.【答案】D【分析】根据题意得出曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，再根据题设条件即可得出结果.【详解】由题意曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，因为，即，则，所以分形维数是.故选：D.10.【答案】A【分析】求出圆内接正边形和外切正边形的边长后，再求得它们的周长的平均值可得．【详解】设圆半径为，如图，是其外切正边形的一边，设外切正六边形边长为，，显然，边上的高为（），，图中显然为圆的内接正边形的一边，设内接正六边形边长为，则，∴，∴，故选：A．二､填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.【答案】【分析】根据同角关系即可求解.【详解】由可得，由于，故，故，故答案为：.12.【答案】①.②.【分析】根据角终边经过点，从而可求出，，再根据角的终边与角的终边关于原点对称，从而可求解.【详解】对空：由点在角的终边上，所以，.对空：由角的终边与角的终边关于原点对称，所以.故答案为：；.13.【答案】①.②.【分析】根据扇形面积公式以及弧长公式即可求解.【详解】由题意可得，故扇形面积为，弧长为，故周长为，故答案为：14.【答案】【分析】令，由题设易知在上为增函数且恒大于零，根据二次函数的性质列不等式组求的取值范围.【详解】令，而为增函数，要使函数在区间上是增函数，即在上是增函数且恒大于0，所以，解得，则的取值范围为.故答案为：.15.【答案】①③【分析】根据题意，结合函数fx,gx的解析式，利用函数的新定义，结合函数的【详解】因为为偶函数，且当时，，当时，可得，所以，对于①中，当时，，令，解得，如图所示，，结合图象，可得函数在区间上单调递增，所以①正确；对于②中，当时，可得，令，即，解得或，当时，可得；当时，可得；当时，可得，即，其中，所以，所以当时，函数不是偶函数，所以②不正确；对于③中，当时，令，即，解得，当时，令gx=0，即，解得，当时，令gx=0，即，解得或，若时，函数有三个零点，分别为；若时，即时，函数有三个零点，分别为；若时，即时，函数有三个零点，分别为；综上可得，当时，函数有三个零点，所以③正确；对于④中，当时，令gx=0，即，解得，将点代入函数y=fx，可得，解得，如图所示，当时，函数，所以④不正确.故答案为：①③.三､解答题共5小题，共50分.16.【答案】（1）或x≥4，（2）【分析】（1）分别解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合，再求即可；（2）解一元二次不等式求出集合，再根据，借助数轴可解出实数的取值范围.【小问1详解】解：因为即，所以，所以；由，可得或，所以或x≥4，进而可得，所以或x≥4，.【小问2详解】解：因为，所以，所以，所以；又或x≥4，若，则，所以，所以实数的取值范围是17.【答案】2.77【分析】根据题意代入数据，利用指数和对数的互化求解即可.【详解】由题知代入，得，即，，解得，即把温度是的物体放在的空气中冷却到，大概需要2.77分钟.18.【答案】（1）0（2）（3）【分析】（1）根据奇函数的定义求解；（2）利用奇函数的定义求解析式；（3）根据函数的单调性和奇偶性解不等式.【小问1详解】因为函数是定义在的奇函数，所以.【小问2详解】因为当时，，所以当时，，，所以.【小问3详解】由题，函数是定义域为单调减函数，且为奇函数，所以由，可得，即，所以，所以恒成立，因为在时有最小值，最小值为，所以，即，所以实数的取值范围是.19.【答案】（1）答案见解析（2）在区间上单调递减，证明见解析（3）在内有且仅有一个零点，理由见解析【分析】（1）根据题意结合奇偶性的定义分析求解；（2）根据单调性的定义分析证明；（3）根据题意结合单调性以及奇偶性的性质判断在区间上的单调性，再结合零点存在性定理分析判断.【小问1详解】令，解得，所以函数的定义域为-1,1，若选①：因为，即为奇函数，则，整理得，注意到对任意x∈-1,1上式均成立，可得，解得；若选②：因为，即为偶函数，则，整理得，注意到对任意x∈-1,1上式均成立，可得，解得.【小问2详解】若选①：则，可得，可知函数在区间上单调递减，证明如下：对任意，且，则，因为，则，可得，即，所以函数在区间上单调递减；若选②：则，可得，可知函数在区间上单调递减，证明如下：对任意，且，则，因为，则，可得，即，所以函数在区间上单调递减.【小问3详解】若选①：则，则，由（2）可知在0,1内单调递减，且在定义域内单调递增，可知在0,1内单调递减，又因为为奇函数，则在内单调递减，且在内单调递减，可知在内单调递减，结合，，可知在内有且仅有一个零点；若选②：则，则，由（2）可知在0,1内单调递减，且在定义域内单调递增，可知在0,1内单调递减，又因为为偶函数，则在内单调递增，且在内单调递增，可知在内单调递增，结合，，可知在内有且仅有一个零点.20.【答案】（1），，（2）证明见解析（3）的最大值为17，的最小值为16.【分析】（1）由题意易得，从而可求．（2）利用反证法，假设假设，，可推出中有两个元素为1，这一集合元素互异性的矛盾；（3）首先求，由（2）知，，而是可能的；再证明：的最小值为16．【小问1详解】数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为，因为，，所以，，.【小问2详解】假设，设，则，即，因为，所以，同理，设，可以推出，中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立，故，所以不可能为18.【小问3详解】的最大值为