《常微分方程》期末考试试题库

《常微分方程》期末考试试题目录TOC\o"1-1"\h\u31705《常微分方程》期末考试题（一） 18122《常微分方程》期末考试题（二） 625653《常微分方程》期末考试题（三） 1314299《常微分方程》期末考试题（四） 181364《常微分方程》期末考试题（五） 24153《常微分方程》期末考试题（六） 3127881《常微分方程》期末考试题库 36《常微分方程》期末考试题（一）一、填空题（每空2分，共16分）。1、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是xoy平面．2.方程组的任何一个解的图象是n+1维空间中的一条积分曲线.3．连续是保证方程初值唯一的充分条件．4．方程组的奇点的类型是中心5．方程的通解是6．变量可分离方程的积分因子是7．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是线性无关8．方程的基本解组是二、选择题（每小题3分，共15分）。9．一阶线性微分方程的积分因子是（A）．（A）（B）（C）（D）10．微分方程是（B）（A）可分离变量方程（B）线性方程（C）全微分方程（D）贝努利方程11．方程x(y2－1)dx+y(x2－1)dy=0的所有常数解是（C）．(A)(B)(C),(D),12．阶线性非齐次微分方程的所有解（D）．（A）构成一个线性空间（B）构成一个维线性空间（C）构成一个维线性空间（D）不能构成一个线性空间13．方程（D）奇解．（A）有一个（B）有无数个（C）只有两个（D）无三、计算题（每小题8分，共48分）。14．求方程的通解解：令，则，于是，所以原方程的通解为15．求方程的通解解：取则，于是原方程为全微分方程所以原方程的通解为即16．求方程的通解解:令，得到（*），两端同时关于求导，整理得，则取,得,代入（*）得解取,得,代入（*）得原方程得通解为17．求方程的通解解对应的齐次方程的特征方程为，特征根为，故齐次方程的通解为因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为代入原方程，得即，故原方程的通解为18．求方程的通解解：先求解对应的其次方程：，则有，因为数不是特征根，故原方程具有形如的特解。将上式代入原方程，由于故或比较上述等式两端的的系数，可得因此，故所求通解为19．求方程组的实基本解组解：方程组的特征多项式为，其特征根是，那么属于的特征向量，属于的特征向量。则方程的基本解组为，其实基本解组为。而因此所求实基本解组为四、应用题（每小题11分，共11分）。20．（1）求函数的拉普拉斯变换（2）求初值问题的解解：（1）（2）设，是已知初值问题的解。对已知方程两端同时使用拉普拉斯变换，可分别得到故有使用部分分式法，可得由（1）可知，故所求的初值解为。五、证明题（每小题10分，共10分）。21．证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在。证：由于在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件．又显然是方程的两个特解．现任取，，记为过的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越，下不能穿越，因此它的存在区间必为．《常微分方程》期末考试题（二）一、填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)1、微分方程的阶数是，是否为齐次线性方程.2、当满足时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。3、若为齐次线性方程的个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为4、方程的常数解是．5、方程的特解可设为________________二、单选题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)1、1.______A.B.C.D.2、的通解为_________（为任意常数）A.B.C.D.3、.微分方程的公共解为_______A.B.C.D.4、的积分因子为_______A.B.C.D.5、函数与______．A．均为常正的B．均为定正的C．常正，定正D．定正，常正三、解下列微分方程（本题共5小题，分值:6+6+6+6+12，满分36分）1、求方程2、求方程的通解3、求方程的通解4、求解方程的通解5、求解方程的一个特解四、（本题10分）试求方程组的解五、证明题（本题共2小题，分值:10+9，满分19分）1、证明方程解存在唯一性.2、给定方程，其中在上连续，设是上述方程的两个解。证明极限存在。一、填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)1、微分方程的阶数是3，是否为齐次线性方程否.2、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是________其中C为n*n奇异矩阵__________________。3、初值问题的解满足积分方程。4、是恰当方程,则。5、二维平面自治系统的奇点，当参数满足条件时，为稳定的奇点。二、单选题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)1、一阶线性方程的积分因子是___B___．A．B．C．D．2、方程通过点的解的最大存在区间是___A___．A.(2，)B.(0，)C.(-)D.(-,3)3、曲线满足方程____C__．A．B．C．D．4、如果是二阶线性方程的解，则下列是的解的是__C____．A．B．C．D．5、函数与___D___．A．均为常正的B．均为定正的C．常正，定正D．定正，常正三、解下列微分方程（本题共5小题，分值:6+6+6+6+12，满分36分）4、求方程解：这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=．．２分带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分1、解因为，所以原方程是全微分方程取，原方程的通解为即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分2、解：令则原方程消去后，有由此，得所以故原方程的通解为………………１分3、（２xy+解：因为又因为所以方程有积分因子：u(x)=方程两边同乘以得：［也即方程的解为．;解：的通解是,设原方程的特解是,将代入原方程得,所以有,所以原方程的通解是;四、（本题10分）试求方程组的解解：得取得取则基解矩阵因此方程的通解为：……………2分五、证明题（本题共2小题，分值:10+9，满分19分）1、证明方程解存在唯一性.证明：eq\o\ac(○,1)构造等价积分式，两端求导得原方程，所以构造积分式与原问题同解；………………2分eq\o\ac(○,2)进行迭代；……………………2分eq\o\ac(○,3)证明迭代的序列是收敛的由于构造的迭代序列收敛于一级数，及，证明是收敛的；………………2分eq\o\ac(○,4)证明收敛到的级数极为方程的解给求极限得：，所以是方程的解……2分eq\o\ac(○,5)证明解是唯一的设均为方程的解，并且两者不相等，则，；而当x=0时，G(0)=0，，与相矛盾，所以解是唯一的.证毕.………………………2分2、个方程构成的齐次线性微分方程组一定存在个线性无关解向量。证明:任取，根据解的存在唯一性定理，……………2分x=A(t)x分别满足初值条件………2分的解一定存在.………………2分又因为这n个解的朗斯基行列式，所以一定是线性无关的，即证的所求。…………3分《常微分方程》期末考试题（三）一、填空题（30分）1．称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为_________。2．函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果_______。3．若为毕卡逼近序列的极限，则有______。4．方程定义在矩形域上，则经过点（0，0）的解的存在区间是_______。5．函数组的伏朗斯基行列式为_______。6．若为齐线性方程的一个基本解组，为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为________。7．若是的基解矩阵，则向量函数=_______是的满足初始条件的解；向量函数=_____是的满足初始条件的解。8．若矩阵具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么矩阵=______是常系数线性方程组的一个基解矩阵。9．满足_______的点，称为驻定方程组。计算题（60分）10．求方程的通解。11．求方程的通解。12．求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。13．求方程的通解。14．试求方程组的解15．试求线性方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。三．证明题（10分）16．如果是满足初始条件的解，那么常微分方程期终考试试卷答案一．填空题（30分）1．2．在上连续，存在，使，对于任意3．4．5．6．7．8．9．二．计算题（60分）10．解：积分因子两边同乘以后方程变为恰当方程：两边积分得：得：因此方程的通解为：11．解：令则得：那么因此方程的通解为：12．解：，解的存在区间为即令又误差估计为：13．解：是方程的特征值，设得：则得：因此方程的通解为：14．解：得取得取则基解矩阵因此方程的通解为：15．解：（1，3）是奇点令，那么由可得：因此（1，3）是稳定中心三．证明题（10分）16．证明：由定理8可知又因为所以又因为矩阵所以《常微分方程》期末考试题（四）填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)(请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分).1、方程有积分因子的充要条件为2、连续是保证对满足利普希茨条件的充分条件条件．3、函数组的朗斯基行列式值为．4、若是二阶齐次线性微分方程的基本解组，则它们无(有或无)共同零点．5、若矩阵具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么常系数线性方程组的一个基解矩阵=.二、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.)(请在每小题的括号中填上正确答案，错填、不填均无分)1、形如的方程是（D）.A．欧拉方程B．贝塞尔方程C．黎卡尔方程D．伯努力方程2、设连续，是在上的两个线性无关解，且，则（A）.（A）（B）（C）（D）3、二阶非齐次线性微分方程的所有解（C）．（A）构成一个2维线性空间（B）构成一个3维线性空间（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间4、如果，都在平面上连续，而且有界，则方程的任一解的存在区间（A）．（A）必为（B）必为（C）必为（D）将因解而定5、若是齐次线性方程组的一个基解矩阵，为非奇异常数矩阵，那么是否还是此方程组的基解矩阵（B）.(A)不是(B)是(C)也许是(D)也许不是计算题(本题共4小题，每小题6分，共24分)(求下列微分方程的通解).；1、解：将方程变为（2分）则有（1分）从而得(为任意的常数）．…………（3分）；解：由于，所以原方程是恰当方程．（2分）假设存在使得它同时满足方程：和（1分）则有且，所以（2分），即原方程的通解为：（1分）；解：齐次方程的特征方程为齐次方程的通解为………（2分）令，并求其特解如下：由于是单根，故设特解为代入原方程比较系数得所以则原方程有特解……（3分）故原方程的通解为……………（1分）；解：令方程的解为，代入原方程有……………（3分）于是（二重）（1分）故原方程的通解为（2分）解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)(写出解题的详细步骤).（1）设函数连续且满足，求.解：两边关于求一阶导数，有…（2分）两边关于再求一阶导数，得…（2分）即而且………………（1分）而方程的解表示为………………（3分）由，可得…（2分）求方程组满足初始条件的解.解：方程组的特征方程为，所以特征根为（二重）……（2分）对应齐次方程组的基解矩阵………………（3分）满足初始条件的特解……………（2分）……（3分）五、证明题(本大题共2小题，每小题13分，共26分)(写出解题的详细步骤，空间不够请将答案写在试卷背后).1、假设是二阶齐次线性方程的解，其中在区间上连续，试证：（1）是方程的解的充要条件为：；（2）方程的通解可以表示为：，其中为常数,.证：（１）……（6分）（２）因为为方程的解，则由刘维尔公式………（3分）两边都乘以则有：，于是：……（4分）设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数.证明：因为方程的任意两个解所以，………………（4分）于是构成的伏朗斯基行列式………（5分）由于和是方程的解，因此，所以，故（4分）《常微分方程》期末考试题（五）一、填空（每小题3分，共30分）1、形如的方程当的通解为_______________。2、一阶方程，若存在可微函数使_____时，称为这个方程的积分因子。3、____________________称为黎卡提方程，若它有一个特解，则经过变换____________________，可化为伯努利方程。4、对，存在常数，使____________________则称在上关于满足李普希兹条件。5、若为毕卡逼近序列的极限，则有_________。6、方程定义在矩形域：，上，则经过点解的存在区间是__________________。7、若是阶齐线性方程的个解，为其伏朗基斯行列式，则满足一阶线性方程__________________。8、设是二阶齐线性方程的一个解，则该方程的通解为____________________________________________。9、若为齐线性方程的一个基本解组，为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的通解为_____________________________。10、驻定方程组的奇点类型为_________________。二、求下列方程的解（每题8分，共24分）1、2、3、三、计算题（每题8分，共24分）1、求的通解。2、求的特解。3、求的通解。四、求下列方程组的基解矩阵（8分）五、1、若函数具有连续的二阶导数，且，试由方程确定此函数。（8分）2、一质量为千克的物体以初速度（秒/米）向前滑动，已知它所受的阻力为牛顿。试问该物体何时才能停下来，此时滑过了多少路程？（6分）参考答案一、1、.2、.3、，.4、.5、，其中，为李普希兹常数，，.6、.7、.8、.9、.10、稳定结点。二、1、解：方程可化为， ……4分由一阶线性方程的求解公式得： ……7分另外，也是方程的解。 ……8分2、解：方程可化为， ……3分即， ……6分故方程的通解为. ……8分（注：用公式或用其它方法均可）3、解：这是型令，则有. ……2分两边对求导：.故有或. ……4分由得为方程的特解. ……5分由得. ……6分故含参数的方程的通解为 ……8分三、1、解：特征方程的根为，. ……4分故方程的通解为.……8分2、解：齐次方程的特征方程的根为 ……2分因为是方程的特征根，故可设方程的一个特解为 ……5分将代入原方程可得 ……7分故原方程的一个特解为： ……8分3、解：齐次方程的特征方程的特征根为，. ……2分又因为，且或0不是方程的特征根，故可设方程的一个特解为. ……5分将代入原方程可得：，， ……7分故方程的通解为.……8分四、解：， ……1分由得：，，. ……2分设对应的特征向量为，则由得，.取，得.故原方程组对应于的一个特解为……4分同理可得，对应的解分别为：，. ……6分又因为， ……7分所以原方程的基解矩阵为. ……8分五、1、解：方程两边对求导： ……3分即解之得. ……5分又由，得：，，…7分所以所求的函数为：. ……8分2、解：设物体在时刻路程的函数为，由牛顿第二定律：.即 ……2分或解之得. ……3分又，，所以有. ……4分令得：. ……5分此时.即物体共行了秒，当物体停止时共行了米。 ……6分《常微分方程》期末考试题（六）一、填空题1．二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是．2．方程的基本解组是．3．一个不可延展解的存在在区间一定是区间．4．方程的常数解是．5、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_____________________________。6．若是的基解矩阵，则向量函数=_______是的满足初始条件的解；向量函数=_____是的满足初始条件的解。二、单项选择题7．连续可微是保证方程解存在且唯一的（）条件．（A）必要（B）充分（C）充分必要（D）必要非充分8．二阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A）构成一个2维线性空间（B）构成一个3维线性空间（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间9．方程过点(0,0)有（B）．(A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解三、计算题求下列方程的通解或通积分：10.11.12．13．计算题14．试求方程组的解15.求的通解16．求方程的通解．17．求下列方程组的通解．常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）2．3.开4.5.6.二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）7．B8．C9．B三、计算题（每小题６分，本题共30分）10.解：11．解：方程两端同乘以，得令，则，代入上式，得这是一阶线形微分方程，对应一阶线形齐次方程的通解为利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为因此原方程通解为12．解：因为，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为计算得13．解：原方程是克莱洛方程，通解为计算题（每小题10分，本题共20分）14.解：得取得取则基解矩阵因此方程的通解为：15.解方程组将变量分离后得两边积分得变量还原并整理后得原方程的通解为16．解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，，齐次方程的通解为因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为代入原方程，比较系数确定出，，原方程的通解为17．解：齐次方程的特征方程为特征根为求得特征向量为因此齐次方程的通解为令非齐次方程特解为满足解得积分，得，通解为《常微分方程》期末考试题库1.求下列方程的通解。.2.求下列方程的通解。.3.求方程通过的第三次近似解.4.求解下列常系数线性方程。5.求解下列常系数线性方程。6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：7.设为方程（Ａ为常数矩阵）的标准基解矩阵（即，证明其中为某一值8.求方程的通解9.求方程的通解10.求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计11.求方程的通解12.试求方程组的解13.试求线性方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性14.证明题：如果是满足初始条件的解，那么15.求下列方程的通解16.求下列方程的通解17.若试求方程组的解并求expAt18.求下列方程的通解19.求方程经过（0，0）的第三次近似解20.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性证明题：阶齐线性方程一定存在个线性无关解22.求解方程：=23.解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=024.讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解25.求解常系数线性方程：26.试求方程组的一个基解矩阵，并计算27.试讨论方程组（1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。28.试证：如果满足初始条件的解，那么29.求解方程30.求解方程31.求解方程32.求方程经过（0，0）的第三次近似解.33.试求：的基解矩阵34.试求的奇点类型及稳定性.35.一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。36.求解方程37.求方程经过的第三次近似解38.讨论方程，的解的存在区间39.求方程的奇解40.求解方程41.求解方程42.求解方程43.试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程,当,在上连续时,其解存在唯一45.求解方程46.求解方程47.求解方程48.试求方程组的一个基解矩阵，并计算，其中49.求解方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性50.求方程经过（0，0）的第二次近似解51.证明:假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组有一解形如其中，是常数向量。52.求解方程53求解方程54.求解方程55.求解方程56.求解方程57.求解方程58.求解方程59.求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性60.求解方程61.求解方程62.求解方程63求方程经过（0，0）的第三次近似解64.若试求方程组的解并求expAt65.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.66.解方程：；67.解方程：；68.解方程：；69.解方程：；70.解方程：；71.解方程：；72.解方程：；73.解方程：；74.解方程：；75.解方程：；76.解方程：；77.解方程：；78.解方程：；79.解方程：；80.解方程：；81.解方程：；82.解方程：；83.解方程：；84.解方程：；85.解方程：；1.求下列方程的通解。.解：方程可化为令，得由一阶线性方程的求解公式，得所以原方程为：＝2.求下列方程的通解。.解：设，则有，从而，故方程的解为，另外也是方程的解.3.求方程通过的第三次近似解.解：4.求解下列常系数线性方程。解：对应的特征方程为：，.解得所以方程的通解为：5.求解下列常系数线性方程。解：齐线性方程的特征方程为，解得，故齐线性方程的基本解组为：，因为是特征根，所以原方程有形如，代入原方程得，，所以，所以原方程的通解为6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：解：解得所以奇点为（经变换，方程组化为因为又所以，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。7.设为方程（Ａ为常数矩阵）的标准基解矩阵（即，证明其中为某一值证明：为方程的基解矩阵为一非奇异常数矩阵，所以也是方程的基解矩阵，且也是方程的基解矩阵，.且都满足初始条件， 所以即命题得证。8.求方程的通解解：积分因子两边同乘以后方程变为恰当方程：两边积分得：得：因此方程的通解为：9.求方程的通解解：令则得：那么.因此方程的通解为：10.求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计解：，，解的存在区间为即令又误差估计为：11.求方程的通解解：.是方程的特征值，设得：则得：.因此方程的通解为：12.试求方程组的解解：得取得取则基解矩阵因此方程的通解为：13.试求线性方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性解：（1，3）是奇点令，那么由可得：因此（1，3）是稳定中心14.证明题：如果是满足初始条件的解，那么证明：由定理8可知又因为所以又因为矩阵所以即命题得证。15.求下列方程的通解解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为即另外y=0也是解16.求下列方程的通解解：线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0所以原方程的解为17.若试求方程组的解并求expAt解：解得此时k=1由公式expAt=得18.求下列方程的通解解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导：即由得即将y代入（*）即方程的含参数形式的通解为：p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解19.求方程经过（0，0）的第三次近似解解：20.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则因为=1+10故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）为稳定焦点。21.证明题：阶齐线性方程一定存在个线性无关解证明：由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：考虑从而是线性无关的。22.求解方程：=解：(x-y+1)dx-(x++3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0即d-d(xy)+dx--3dy=0所以23.解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0解：，令z=x+y则所以–z+3ln|z+1|=x+，ln=x+z+.即24.讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解解：设f(x,y)=,则故在的任何区域上存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，显然，是通过点（0，0）的一个解；又由解得，|y|=所以，通过点（0，0）的一切解为及|y|=25.求解常系数线性方程：解：(1)齐次方程的通解为x=(2)不是特征根，故取代入方程比较系数得A=，B=-于是通解为x=+26.试求方程组的一个基解矩阵，并计算解：det()=所以，设对应的特征向量为由取所以，=27.试讨论方程组（1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。解：因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件，故奇点为原点（0，0）又由det(A-E)=得所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：a，c为实数28.试证：如果满足初始条件的解，那么证明：设的形式为=（1）（C为待定的常向量）则由初始条件得=又=所以，C==代入（1）得=即命题得证。29.求解方程解：因为又因为所以方程有积分因子：u(x)=方程两边同乘以得：［也即方程的解为．30.求解方程解：令，，则即从而又＝故原方程的通解为t为参数31.求解方程解：齐线性方程的特征方程为故齐线性方程的一个基本解组为，，因为不是特征方程的特征根所以原方有形如＝的特解将＝代入原方程，比较t的同次幂系数得：故有解之得：，所以原方程的解为：32.求方程经过（0，0）的第三次近似解.解：.＝33.试求：的基解矩阵解：记A=,又得，均为单根.设对应的特征向量为，则由得取,同理可得对应的特征向量为：则均为方程组的解.令又所以即为所求。34.试求的奇点类型及稳定性.解：令，则：.因为，又由得解之得.为两相异实根，且均为负故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。35.一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。解：由物理知识得：根据题意：故：.即：(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有.又当t=0时，V=0，故c=因此，此质点的速度与时间的关系为：36.求解方程解：，则所以另外也是方程的解37.求方程经过的第三次近似解解：..38.讨论方程，的解的存在区间解：两边积分所以方程的通解为.故过的解为通过点的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到２，所以解的存在区间为.39.求方程的奇解解:利用判别曲线得消去得即所以方程的通解为,所以是方程的奇解40.求解方程解:=,=,=,所以方程是恰当方程.得.所以故原方程的解为.41.求解方程解:故方程为黎卡提方程.它的一个特解为,令,则方程可化为,.即,故.42.求解方程解:两边同除以得..所以,另外也是方程的解.43.试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解证明:设黎卡提方程的一个特解为令,又.由假设得此方程是一个的伯努利方程,可用初等积分法求解.44.试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程,当,在上连续时,其解存在唯一证明:令:,,在上连续,则显然在上连续,因为为上的连续函数,故在上也连续且存在最大植,记为即,.,=因此一阶线性方程当,在上连续时,其解存在唯一45.求解方程解：所给微分方程可写成即有.上式两边同除以，得由此可得方程的通解为即.46.求解方程解：所给方程是关于可解的，两边对求导，有当时，由所给微分方程得；当时，得。因此，所给微分方程的通解为，（为参数）而是奇解。47.求解方程解：特征方程，，故有基本解组，，对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，将其代入，得，解之得，对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，将其代入，得，所以原方程的通解为48.试求方程组的一个基解矩阵，并计算，其中解：，，，均为单根，设对应的特征向量为，则由，得,取，同理可得对应的特征向量为，则，，均为方程组的解，令，又，所以即为所求基解矩阵。49.求解方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性解：令，得，即奇点为（2，-3）令，代入原方程组得，因为，又由，解得，为两个相异的实根，所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。50.求方程经过（0，0）的第二次近似解解：，，。假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组有一解形如其中，是常数向量。51.证明:假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组有一解形如其中，是常数向量。证：设方程有形如的解，则是可以确定出来的。事实上，将代入方程得，因为，所以，（1）又不是矩阵的特征值，.所以存在，于是由（1）得存在。故方程有一解52.求解方程解：..故方程的通解为.53求解方程解：两边除以：.变量分离：.两边积分：即：.54.求解方程解：令则于是得.即….4分.两边积分.于是，通解为.55.求解方程解：..积分：故通解为：.56.求解方程解：齐线性方程的特征方程为，，故通解为.不是特征根，所以方程有形如把代回原方程.于是原方程通解为.57.求解方程解：齐线性方程的特征方程为，解得.于是齐线性方程通解为令为原方程的解，则得，.积分得；故通解为.58.求解方程解：则.从而方程可化为，，.积分得.59.求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性解：解方程组，解得所以（1，3）为奇点。令则而，令，得为虚根，且，故奇点为稳定中心，零解是稳定的。60.求解方程解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为.即另外y=0也是解.61.求解方程解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导：.即由得即将y代入（*）.即方程的含参数形式的通解为：p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解62.求解方程解：线性方程的特征方程故特征根.是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0.不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0所以原方程的解为.63求方程经过（0，0）的第三次近似解解：64.若试求方程组的解并求expAt解：解得.此时k=1由公式expAt=得65.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.解：由解得奇点（3，-2）.令X=x-3,Y=y+2则.因为=1+10故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）为稳定焦点。66.解方程：解：是原方程的常数解，（2分）当时，原方程可化为：，（2分）积分得原方程的通解为：.（2分）67.解方程：解：由一阶线性方程的通解公式（2分）68.解方程：解：由一阶线性方程的通解公式（2分）（2分）.（2分）69.解方程：解：由一阶线性方程的通解公式（2分）（2分）.（2分）70.解方程：解：原方程可化为：，（2分）即，（2分）原方程的通解为：.（2分