苏教版高二上学期数学(选择性必修1)《2.1.3轨迹问题》同步测试题及答案

第第页苏教版高二上学期数学(选择性必修1)《2.1.3轨迹问题》同步测试题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________[分值：100分]单选题每小题5分，共40分【基础巩固】1．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且AB＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝9B．(x－1)2＋(y＋1)2＝9C．(x＋1)2＋(y－1)2＝9D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝92．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是()A．点B．直线C．线段D．圆3．在平面内，A(－a,0)，B(a,0)，C是动点，若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，则点C的轨迹为()A．线段B．射线C．圆D．直线4．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝4B．x2－y2＝4C．x2＋y2＝4(x≠±2)D．x2－y2＝4(x≠±2)5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B的距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满足MA＝2MB，则点M的轨迹围成区域的面积为()A．πB．2πC．3πD．4π6．已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2)，底边的一个端点是B(3,5)，则底边另一个端点C的轨迹方程是()A．(x－4)2＋(y－2)2＝10B．(x＋4)2＋(y－2)2＝10C．(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5)D．(x＋4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5)7．(5分)已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1,0)，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为__________________________．8．(5分)圆x2＋y2＝8内有一点P(2，－1)，AB为过点P的弦，则AB的中点Q的轨迹方程为____________．9．(10分)在边长为1的正方形ABCD中，边AB，BC上分别有一个动点Q，R，且BQ＝CR.求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．10．(12分)已知圆C：x2＋y2－8x＋12＝0，点O是坐标原点，点A是圆C上一动点．(1)求线段OA的中点M的轨迹方程；(6分)(2)设P(x，y)是(1)中轨迹上一点，求eq\r(x2＋y＋22)的最大值和最小值．(6分)【综合运用】11．在等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别是A(4,2)，B(－2,0)，A为顶点，则另一腰的一个端点C的轨迹方程是()A．x2＋y2－8x－4y＝0B．x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠－2，x≠10)C．x2＋y2＋8x＋4y－20＝0(x≠－2，x≠10)D．x2＋y2－8x－4y＋20＝0(x≠－2，x≠10)12．已知定点P1(－1,0)，P2(1,0)，动点M满足MP1＝eq\r(2)MP2，则构成△MP1P2面积的最大值是()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C.eq\f(2\r(3),3)D．2eq\r(3)13．(5分)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，则点C的轨迹为________________．14．(5分)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2,4)，过点P的直线l与圆O：x2＋y2＝4交于不同的两点A，B.若线段AB的中点为M，则点M的轨迹方程为__________________．【创新拓展】15．(5分)树林的边界是直线l(如图CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处，AB＝BC＝a(a为正常数)，若兔子沿AD方向以速度2μ(μ为正常数)向树林逃跑，同时狼沿线段BM(M∈AD)方向以速度μ进行追击，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子，则兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的点)的区域面积S(a)＝________.(13分)平面上有一条长度为定值k(k>0)的线段AB，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹是什么图形？说明理由．参考答案1．B[设圆心M的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y＋1)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝9.]2．D[∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．]3．C[设C(x，y)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x＋a，y)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x－a，y)，由eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，得(x－a)(x＋a)＋y2＝2，即x2＋y2＝a2＋2，所以点C的轨迹为圆．]4．C[设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP·kNP＝－1.即x2＋y2＝4，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．]5．D[以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则可取B(3,0)．设M(x，y)，依题意有，eq\f(\r(x2＋y2),\r(x－32＋y2))＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，故点M的轨迹为圆，该圆的面积为4π.]6．C[设C(x，y)，由题意知，AB＝eq\r(3－42＋5－22)＝eq\r(10)，因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形，于是有CA＝AB＝eq\r(10)，即点C的轨迹是以A为圆心，eq\r(10)为半径的圆，又点A，B，C构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B(3,5)及点B关于点A对称的点(5，－1)，所以点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5)．]7.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋y2＝1解析设M(x，y)，则Q(2x＋1,2y)，因为Q在圆x2＋y2＝4上，所以(2x＋1)2＋4y2＝4，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋y2＝1，所以轨迹C的方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋y2＝1.8．x2＋y2－2x＋y＝0解析设AB的中点为Q(x，y)，若斜率存在且不为0，则AB的斜率为k＝eq\f(y＋1,x－2)，又OQ⊥AB，所以kOQ·k＝－1，即eq\f(y,x)·eq\f(y＋1,x－2)＝－1，整理得x2＋y2－2x＋y＝0，点(2，－1)，(2,0)，(0,0)，(0，－1)也满足，所以点Q的轨迹方程为x2＋y2－2x＋y＝0.9．解分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系．如图所示，则点A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设动点P(x，y)，Q(t,0)(0≤t≤1)，由BQ＝CR知，AQ＝BR，则R(1，t)．当t≠0时，直线AR：y＝tx，①直线DQ：eq\f(x,t)＋y＝1，则1－y＝eq\f(x,t)，②①×②消去t，得y(1－y)＝tx·eq\f(x,t)，化简得x2＋y2－y＝0.当t＝0时，点P与原点重合，坐标(0,0)也满足上述方程．故点P的轨迹方程为x2＋y2－y＝0.10．解(1)设M(x，y)，则A(2x,2y)，因为点A在圆C上，所以4x2＋4y2－16x＋12＝0，化简得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1.所以点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1，它是圆心为D(2,0)，半径为1的圆．(2)设Q(0，－2)，所以eq\r(x2＋y＋22)＝PQ，由平面几何知识知，DQ－1≤PQ≤DQ＋1，又DQ＝2eq\r(2)，所以PQmin＝2eq\r(2)－1，PQmax＝2eq\r(2)＋1.11．B[设另一腰的一个端点C的坐标为(x，y)，由题设条件知AC＝AB，即(x－4)2＋(y－2)2＝(4＋2)2＋(2＋0)2，x≠10，x≠－2.整理，得x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠－2，x≠10)，即为端点C的轨迹方程．]12．B[设M(x，y)，由MP1＝eq\r(2)MP2,可得eq\r(x＋12＋y2)＝eq\r(2)·eq\r(x－12＋y2)，化简得(x－3)2＋y2＝8，即M在以(3,0)为圆心，2eq\r(2)为半径的圆上运动，又＝eq\f(1,2)P1P2·|yM|＝|yM|≤2eq\r(2)，即△MP1P2面积的最大值是2eq\r(2).]13．以线段AB为直径的圆解析当点C与点A，B均不重合时，设O为线段AB的中点，则eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝2eq\o(CO,\s\up6(→)).因为|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(CO,\s\up6(→))|，所以|eq\o(CO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以AC⊥BC，当点C与点A或B重合时也满足|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以点C的轨迹为以线段AB为直径的圆．14．(x－1)2＋(y－2)2＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)<x<2))解析设点M(x，y)，∵M是线段AB的中点，∴MO⊥MP，又∵eq\o(OM,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(PM,\s\up6(→))＝(x－2，y－4)，∴x(x－2)＋y(y－4)＝0，即x2＋y2－2x－4y＝0，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,x2＋y2－2x－4y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(6,5)，,y＝\f(8,5)，))又∵M在圆O的内部，∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－2)2＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)<x<2)).15.eq\f(4a2,9)π解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,2a)，B(0，a)，设M(x，y)，由eq\f(BM,μ)≤eq\f(AM,2μ)，得2eq\r(x2＋y－a2)≤eq\r(x2＋y－2a2)，整理得x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(2,3)a))2≤eq\f(4a2,9)，∴M在以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)a))为圆心，以eq\f(2,3)a为半径的圆上及圆的内部，∴S(a)＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))2＝eq\f(4a2,9)π.16．解如图以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)，0))，设P(x，y)为曲线上的任意一点，因为点P到线段AB两个端点距离的平方和为k，所以PA2＋PB2＝k，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k