二次函数图象及性质复习课件

二次函数图象及性质复习本节课我们将回顾二次函数图象的性质，并探讨其在实际问题中的应用。二次函数概述1定义一般地，形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数。2特点二次函数的图象是一个抛物线，它具有对称性，开口方向取决于系数a的正负。3应用二次函数广泛应用于物理、工程、经济等领域，用于描述和解决许多现实问题。二次函数的标准形式标准形式二次函数的标准形式为y=a(x-h)2+k，其中a、h和k是常数，且a≠0。顶点坐标二次函数的顶点坐标为(h,k)。开口方向如果a>0，则二次函数开口向上；如果a<0，则二次函数开口向下。对称轴二次函数的对称轴为直线x=h。二次函数图象的基本特征二次函数的图象是一个抛物线。抛物线的基本特征包括开口方向、对称轴、顶点和与x轴的交点。开口方向指的是抛物线开口向上还是向下，这取决于二次项系数的符号。对称轴是抛物线关于它对称的直线，顶点是抛物线上最高或最低的点。抛物线与x轴的交点是方程的解，即x轴上满足二次函数方程的值。二次函数图象的平移1横向平移改变函数表达式中的常数项2纵向平移改变函数表达式中的常数项3方向根据常数项的变化方向确定4幅度根据常数项的绝对值确定二次函数图象的平移是函数图象变换的一种基本形式，它可以通过改变函数表达式中的常数项来实现，常数项的改变影响着图象的横向和纵向移动，以及移动的方向和幅度。二次函数图象的伸缩纵向伸缩当a>1时，图象沿y轴方向向上拉伸，伸缩倍数为a；当0<a<1时，图象沿y轴方向向下压缩，压缩倍数为a；当a<0时，图象先沿x轴对称，再沿y轴方向拉伸或压缩，伸缩倍数为|a|。横向伸缩当|b|>1时，图象沿x轴方向压缩，压缩倍数为1/|b|；当0<|b|<1时，图象沿x轴方向拉伸，拉伸倍数为1/|b|；当b<0时，图象先沿y轴对称，再沿x轴方向拉伸或压缩，伸缩倍数为1/|b|。总结通过观察a和b的变化，我们可以了解到二次函数图象如何进行纵向和横向伸缩，并能预测出变化后的图象位置和形状。二次函数图象的对称特性对称轴二次函数图象关于对称轴对称.对称轴是一条直线.对称轴的方程为x=-b/2a.二次函数图象的顶点顶点坐标二次函数图象的顶点坐标可以通过公式计算得到，顶点坐标为(h,k)。顶点位置顶点是二次函数图象的对称中心，它位于对称轴上。顶点意义顶点是二次函数图象上的最高点或最低点，它代表着函数的最大值或最小值。二次函数图象的开口方向向上开口二次项系数为正，图象开口向上。向下开口二次项系数为负，图象开口向下。二次函数图象的渐变情况递增当自变量增大时，函数值也随之增大，图象呈现上升趋势。递减当自变量增大时，函数值随之减小，图象呈现下降趋势。驻点在顶点处，图象的斜率为零，函数值不再变化。二次函数的最大值和最小值二次函数的最大值和最小值取决于开口方向和顶点坐标。开口向上时，顶点为最小值点，开口向下时，顶点为最大值点。1开口向上最小值2开口向下最大值二次函数的根1求解方法使用求根公式或因式分解法求解二次函数的根。2根的性质根的个数和性质与判别式Δ有关，Δ>0则有两个不相等的实根，Δ=0则有两个相等的实根，Δ<0则没有实根。3根与系数的关系根据韦达定理，二次函数的两个根与系数之间存在着一定关系。4根的几何意义二次函数的根对应着函数图象与x轴的交点。二次函数的图象和根的关系二次函数的根，即为二次函数图像与x轴交点的横坐标。1根的数量根的个数决定了二次函数图像与x轴交点的个数。2根的位置根的符号和大小反映了图像与x轴交点的横坐标位置。3根的性质根的性质可以通过判别式和韦达定理来判断。通过分析图像和根的关系，我们可以更好地理解二次函数的性质，并应用于解决实际问题。二次函数的性质总结图象特征开口方向、对称轴、顶点、与x轴交点、增减性函数性质函数值的变化趋势、最大值或最小值、与自变量的对应关系如何得到二次函数的标准形式1配方法将一般形式二次函数通过配方转化为标准形式。例如，将y=ax^2+bx+c化为y=a(x+h)^2+k的形式。2顶点式直接利用顶点坐标(h,k)代入标准形式y=a(x-h)^2+k中，得到标准形式。例如，已知顶点坐标(1,2)，则标准形式为y=a(x-1)^2+2。3待定系数法通过已知条件，列出方程组，求解出a,h,k的值，代入标准形式y=a(x-h)^2+k中。如何判断二次函数图象的基本特征1开口方向观察二次项系数的符号2对称轴利用对称轴公式计算3顶点坐标用配方法求顶点坐标4与y轴交点令x=0，求函数值观察二次函数的表达式，可以判断图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与y轴的交点，这些是二次函数图象的基本特征，可以帮助我们快速绘制图象并理解函数性质。如何确定二次函数图象的顶点1顶点公式顶点坐标(h,k)2对称轴x=h3配方将二次函数化为顶点式二次函数图象的顶点是图象上最高或最低的点。可以通过顶点公式、对称轴公式或配方法确定顶点。顶点公式可以通过对称轴公式推导得到，而配方法是将二次函数化为顶点式，从而直接得到顶点坐标。如何确定二次函数图象的开口方向1二次项系数二次函数的开口方向取决于二次项系数的符号。2正系数如果二次项系数为正，则开口向上。3负系数如果二次项系数为负，则开口向下。如何确定二次函数图象的渐变情况观察开口方向二次函数的开口方向决定了图象的总体趋势。开口向上，图象整体上升；开口向下，图象整体下降。分析顶点位置顶点是二次函数图象的转折点。在顶点左侧，图象单调递增；在顶点右侧，图象单调递减。判断对称轴对称轴将二次函数图象分成左右两部分，两部分关于对称轴对称。对称轴左侧递增，右侧递减，或反之。如何确定二次函数的最大值和最小值1确定开口方向判断二次项系数的正负性2寻找顶点坐标利用顶点公式求解3确定最值根据开口方向判断最大值或最小值对于开口向上的二次函数，顶点坐标代表最小值；对于开口向下的二次函数，顶点坐标代表最大值。如何求解二次函数的实根1判别式首先判断判别式Δ的符号。如果Δ>0，则二次函数有两个不同的实根。如果Δ=0，则二次函数有一个实根（重根）。如果Δ<0，则二次函数没有实根。2求解根如果判别式Δ>=0，则可以使用求根公式求解二次函数的实根。求根公式为x=(-b±√Δ)/2a。3验证最后，将求得的实根代入二次函数表达式中，验证结果是否正确。二次函数图象及性质的综合应用二次函数图象及性质的综合应用体现了数学知识的灵活运用，可以解决许多实际问题。例如，利用二次函数的性质，可以求解最大利润、最优投掷角度等问题。通过综合应用，可以加深对二次函数概念的理解，提升数学解题能力。课后练习题1练习题1是本节课的第一个练习题，旨在巩固学生对二次函数图象及性质的理解和应用。练习题1的题目通常会包含一个二次函数的表达式，要求学生求解二次函数的图象、顶点、开口方向、对称轴等信息，并结合图象分析二次函数的性质。课后练习题2请你利用二次函数的性质，判断以下函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和单调区间：（1）y=2x2-4x+1（2）y=-x2+3x-2课后练习题3已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1,2)和(-1,4)，且对称轴为直线x=1。求该二次函数的解析式。本题考查二次函数的图象与解析式之间的关系，以及对称轴的性质。首先，利用对称轴为直线x=1可以得出函数的顶点横坐标为1，结合图象经过点(1,2)可知顶点坐标为(1,2)。其次，利用图象经过点(-1,4)可以列出一个关于a,b,c的方程，结合顶点坐标可以列出另一个关于a,b,c的方程，从而解出a,b,c的值。课后练习题4求二次函数y=-2x²+4x-1的图象的对称轴方程、顶点坐标和最大值.求函数y=2x²-8x+1的图象与x轴交点的坐标.求函数y=x²-2x-3的零点.求函数y=-x²+4x+5的开口方向、对称轴和顶点坐标.求函数y=2x²+4x+3的图象与y轴交点的坐标.求函数y=-x²+2x-1的最大值和最小值.求函数y=x²-4x+3的图象与x轴的交点.求函数y=2x²-6x+4的图象的对称轴和顶点坐标.课后练习题5已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1,2)和(2,3),且对称轴为直线x=1.求a,b,c的值.这是一个典型的二次函数求参数问题.可以利用已知点和对称轴来列出方程,然后解方程组求解.本节课重点与难点总结二次函数图象性质掌握二次函数图象的性质对于理解二次函数至关重要。例如，了解开口方向、顶点坐标和对称轴可以帮助您更好地理解函数的行为。二次函数的标准形式能够将二次函数的方程转化为标准形式有助于简化分析和解决问题。标准形式可以帮助您确定函数的顶点坐标、对称轴和开口方向。二次函数图象与根的关系理解二次函数的图象与根的关系可以帮助您快速判断函数的根的存在性、个数和位置。二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如抛物线运动、经济学模型和工程设计等。掌握二次函数的知识可以帮助您更好地解决实际问题。问题解答解答疑问学生对二次函数图象及性质