高一数学上学期期末数学试卷（新题型：19题）（提高篇）（解析版）

2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（提高篇）参考答案与试题解析第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合A,B且A∩B≠∅，设C=xx⊆A,D=xx⊆B,E=C∩D，A．E⊆F B．F⊆E C．E=F D．E、F的关系无法确定【解题思路】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解.【解答过程】∀x∈E=C∩D，有x∈C,x∈D，从而有x⊆A,x⊆B，进一步x⊆A∩B，即x∈F，所以E⊆F，∀x∈F=xx⊆A∩B，有x⊆A∩B，从而有x⊆A,x⊆B，进一步有x∈C,x∈D，即x∈E=C∩D，所以综上所述，有E=F.故选：C.2．（5分）（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于x的不等式x2−a+1x+a<0恰有三个整数解，则实数A．−3,−2∪4,5 C．−3,−2∪4,5 【解题思路】化不等式为x−ax−1<0，分a=1，a>1和【解答过程】不等式x2−a+1当a=1时，不等式x2当a>1时，不等式x2−a+1要使不等式x2−a+1当a<1时，不等式x2−a+1要使不等式x2−a+1综上可得，实数a的取值范围是−3,−2∪故选：D.3．（5分）（23-24高一上·广西贺州·期末）若定义在−∞,0∪0,+∞上的奇函数fx，对任意x1>xA．−2,0∪0,2 C．−∞,−2∪【解题思路】根据题意，设g(x)=f(x)x，x≠0，分析【解答过程】根据题意，设g(x)=f(x)x，f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)故g(−x)=f(−x)−x=g(x)由题意当x1>x2>0时，有g(又由g(x)为偶函数，则g(x)在(−∞又由f2=4，则gf(x)<2x⇔g(x)=f(x)x必有−2<x<0或x>2，即x的取值范围为−2,0∪故选：B．4．（5分）（23-24高一上·重庆·期末）当x>0,y>0，且满足2x+y−2xy=0时，有2x+y>k2+k−8恒成立，则kA．(−4,3) B．[−4,3] C．(−3,4) D．[−3,4]【解题思路】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出2x+y的最小值，然后解二次不等式即可.【解答过程】因为2x+y−2xy=0即12x+1所以2x+y=2x+y当且仅当y2x=2x因为不等式2x+y>k2+k−8即k2+k−12<0，解得−4<k<3，故k的取值范围为故选：A.5．（5分）（23-24高一上·安徽阜阳·期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为O，筒车的半径为r，筒车转动的周期为24s，如图2所示，盛水桶M在P0处距水面的距离为ℎ0.4s后盛水桶M在P1处距水面的距离为ℎ1，若

A．π12 B．π6 C．π4【解题思路】首先做出辅助线，然后结合几何体的特征进行计算即可求得直线与水面的夹角．【解答过程】如图，

过O作直线l与水面平行，过P0作P0A⊥l，垂足为点A，过P1作设∠AOP0=α，∠BOP1则sinα=P0所以，sinβ−所以sinα+整理可得sinα−因为0<α<π2，则−π3<α−故选：A.6．（5分）（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数fx=2x−1A．−∞,−4C．0,+∞ D．【解题思路】根据题意，令t=2x−1≠0，转化为方程t2−3k+2【解答过程】由函数fx令t=2x−1≠0，则令gt=0，可得函数t=2

由题意，方程t2−3k+2t+1+2k=0有两个不等实根不妨设t1<t2，则0<t则ℎ0=2k+1>0ℎ1=−k<0综上所述，实数k的取值范围是0,+∞故选：C．7．（5分）（23-24高一上·天津河西·期末）已知函数fx=sinωx−φ（ω>0，①函数fx最小正周期为3②5π4,0③f0④函数fx向右平移πA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据图象可得函数的周期，判断①，进而求得ω=23，结合函数对称中心求得【解答过程】对于①，设函数fx的最小正周期为T，则1即T=3π对于②，由2πω=3由π4,0在函数图象上，得sin2故φ−π因为φ<π2，故φ=则f5即5π4,0对于③，f0对于④，函数fx向右平移π2个单位后所得函数为该函数为偶函数，④正确，故正确的个数是3，故选：C.8．（5分）（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知fx，gx都是定义在R上的函数，对任意x，y满足fx−y=fxA．f0=1 B．函数g2x+1C．g1+g−1=0 【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取fx=sin2π3x,gx=cos2π3x可判断B，对于D，通过观察选项可以推断【解答过程】解：对于A，令x=y=0，代入已知等式得f0=f0对于B，取fx=sin2π因为g3=cos2π所以函数g2x+1的图象不关于点1,0对于C，令y=0，x=1，代入已知等式得f1可得f11−g0=−g1f0再令x=0，代入已知等式得f−y将f0=0，g0=1代入上式，得令x=1，y=−1，代入已知等式，得f2因为f−1=−f1又因为f2=−f−2因为f1≠0，所以对于D，分别令y=−1和y=1，代入已知等式，得以下两个等式：fx+1=fx两式相加易得fx+1+fx−1即：fx有：−fx即：fx−1=fx+2因为f1=1，所以f−2=1，所以所以f1所以n=12023故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（23-24高一上·安徽宣城·期末）对任意的x∈R，函数fx=ax2A．a>0 B．aC．a2+4b的最小值是12 D．a【解题思路】由题意可得a>0，且f32a=0【解答过程】因为函数fx=ax所以a>0，且f3即94a−9由a2b=9，得则a2当且仅当a2=36所以a2由a2b=9，得则a2当且仅当a2=9所以a2+ab+3a+b的最小值是故选：ABC.10．（6分）（23-24高一上·安徽·期末）函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0.0<φ<

A．f(x)=2B．f(x)的一个单调递增区间为11C．函数f(x)的图象关于点−7D．若函数f(λx)(λ>0)在[0,π]【解题思路】A：利用图象求出函数的周期，由此求出ω，再由f(5π12)=0，求出φ的值，然后根据f(0)=1求出A的值，进而可以判断；B：利用x的范围求出2x+π6的范围，然后利用正弦函数的单调性以及整体代换的性质即可判断；【解答过程】A：由函数图象可得T2=11π12又f(5π12)=0，则Asin由f(0)=Asinπ6=1，解得A=2，所以B：当x∈[11π6,7π3]时，C：当x=−7π12时，f(−7π12)=2sin(−2×D:f(λx)的图象是由f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的1由题图知f(x)在[0,5π12)上没有零点，则f(λx)在[0,由题意得5π12λ>π，所以故选：ACD.11．（6分）（23-24高一上·辽宁大连·期末）定义域为R的函数fx，对任意x,y∈R，fx+y+fx−y=2fA．f0=0 B．C．fx+f0≥0 【解题思路】对于A，令x=y=0，f0=0或f0=1，结合fx不恒为0，可得f0=1，由此即可判断；对于B，由f0=1，不妨令y=0，即可判断；对于C，令x=y，通过换元即可判断；对于D，令x=1，得f【解答过程】对于A，令x=y=0，有2f0=2f02若f0=0，则只令y=0，有2fx所以只能f0对于B，由A可知f0=1，不妨令x=0，有即f−y=fy，且函数fy的定义域为全体实数，它关于原点对称，所以对于C，令x=y，有f2x+f0=2fx2所以当t∈R时，有ft+f0≥0，即当对于D，若f1=0，令x=1，有所以fx关于1,0又fx所以f1+y=−f1−y又f0=1，f1所以f1所以i=12024故选：BC.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合A={x|x2−2x+9−a=0}，B={x|ax2−4x+1=0，a≠0}，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围a【解题思路】先考虑A，B为空集得出a的范围，再利用补集思想求得结果.【解答过程】对于集合A，由Δ=4−49−a<0对于集合B，由Δ=16−4a<0，解得a>4因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集,所以a的取值范围是aa≥8或a≤4，且故答案为：aa≥8或a≤4且a≠013．（5分）（23-24高一上·吉林长春·期末）若定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数fx同时满足；①fx为奇函数；②对任意的x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有x【解题思路】不妨设0<x1<x2，根据题意，转化为fx1x1>f【解答过程】因为对任意的x1，x2∈(0,+∞)不妨设0<x1<x2，则x构造函数gx=fxx所以函数gx在(0,+又因为fx为奇函数，所以g所以函数gx为(−所以函数gx在(−当x−2>0时，即x>2时，有x2由f(x−2)<f(x2所以x−2>x2−4当x−2<0时，即x<2时，由f(x−2)<f(x2所以x−2<x2−4，解得综上可得，不等式f(x−2)<f(x2故答案为：(−∞14．（5分）（23-24高一上·北京密云·期末）已知函数fx①fx②不等式fx<0的解集为2k−1,2k（③fx在区间1④函数fx的图象关于直线x=⑤对∀x∈2k,2k+1（k∈N∗其中所有正确结论的序号是①④⑤.【解题思路】解方程fx=0判断①；利用特殊区间判断②；利用特殊值法可判断③；推导出【解答过程】对于①，由x2−x≠0可得x≠0且x≠1，即函数fx令fx=0可得sinπx=0，则π故x=kk∈Z,k≠0,k≠1，所以函数f对于②，当0<x<1时，x2−x=xx−1<0，此时故当0<x<1时，fx=sinπxx对于③，f23=因为9342−8故函数fx在1对于④，对任意的x∈−∞,0所以函数fx的图象关于直线x=对于⑤，对∀x∈2k,2k+1（k∈N∗则有2kπ≤π假设函数fx在1,+∞上的最大值点为x0因为函数y=x2−x在1,+对任意的x∈2k,2k+1k∈N∗，且所以1x则fx+2k故答案为：①④⑤.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（23-24高一上·安徽六安·期中）设集合U=R，A=x0≤x≤3(1)m=2，求A∪B；(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围.【解题思路】（1）根据集合的并集运算求解即可.（2）根据命题间的充分不必要关系转化为集合间的包含关系，进而求出参数取值范围.【解答过程】（1）当m=2时，B=x因为A=x所以A∪B=（2）由题意“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件得B⊊A①若B=∅，则m>2m+1，解得m<−1；②若B≠∅，则m≤2m+1，解得m≥−1；∵B⊊A，∴m≥02m+1<3或m>0∴0≤m≤1综合①②得：m的取值范围是−∞16．（15分）（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数f(x)=ax(1)解关于x的不等式f(x)>−1；(2)若关于x的不等式f(x)>0的解集为(m,n).（i）求1m（ii）求4m+n的最小值.【解题思路】（1）根据a>0和a<0分类讨论解不等式即可.（2）（i）由题意m，n分别是方程ax（ii）结合（i）中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【解答过程】（1）不等式f(x)>−1，整理得x(ax+1)>0，当a>0时，原不等式可化为xx+1a>0，此时不等式的解为当a<0时，原不等式可化为xx+1a综上，当a>0时，不等式的解集为−∞当a<0时，不等式的解集为0,−1（2）（i）若f(x)>0的解集为(m,n)，则m，n分别是方程ax2+x−1=0由韦达定理可知m+n=−1am⋅n=−（ii）由（i）知，m>0,n>0，所以4m+n=(4m+n)1当且仅当nm=4mn，即17．（15分）（23-24高一上·浙江湖州·期末）随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速80km/h（不含80km/h）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：v0103070M0132533759275为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：Mv=140v(1)当0≤v<80时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为400km．若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量（单位：Wh【解题思路】（1）根据题意，得到Mv=1（2）设车速为vkm/h，得到fv【解答过程】（1）解：对于Mv=300log对于Mv故选Mv根据提供的数据，则有140×10当0≤v<80时，Mv（2）解：设车速为vkm/h，所用时间为400v所耗电量fv要使得续航里程最长，则耗电量达到最小，即v=40km/h所以当测试员控制的车速为40km/h该电动汽车的电池所需的最小容量为44000Wh18．（17分）（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π2），当x=5π12时，f(x)取得最大值为1，当x=(1)求f(x)的解析式并且作出f(x)在区间[0,7(2)当x∈[0,7π6]时，函数g(x)=f(x)+a恰有三个不同的零点①实数a的取值范围；②f(x【解题思路】（1）根据给定的函数性质，求出ω,φ即可求出解析式，再作出函数图象.（2）分析函数f(x)在[0,7π6【解答过程】（1）因为函数f(x)在[5π12,11π12因此函数f(x)的周期T=2(11π12由f(5π12)=1，得2×5所以f(x)的解析式是f(x)=sin作出函数f(x)=sin(2x−πx0π52π1172x−−0ππ3π2f(x)−010−10

（2）①当x∈[0,7π6]时，函数f(x)在在[5π12,11π12由g(x)=0，得f(x)=−a，依题意，直线y=−a与函数y=f(x)在[0,7在同一坐标系内作出直线y=−a与函数y=f(x)在[0,7

观察图象知，当−32≤−a≤0，即0≤a≤32时，直线y=−a所以函数g(x)=f(x)+a恰有三个不同的零点，实数a的取值范围