2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷12.3.2 等边三角形(含答案)-

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷12.3.2等边三角形(含答案)-12.3.2等边三角形◆课前预习1．等边三角形是_______都相等的三角形．2．等边三角形的性质：等边三角形三个角都________且都为________．3．等边三角形的判定方法：（1）三个角都______的三角形是等边三角形；（2）有一个角为60°的________是等边三角形；（3）三边都________的三角形为等边三角形．◆互动课堂（一）基础热点【例1】如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得AB=30m，∠A=∠B=60°，他们便得出一个结论：这圈篱笆的长度不小于90m．他们的结论对吗？解：在△ABC中∵∠A=∠B=60°∴BC=AC∴△ABC为等边三角形∴AB+BC+CA=3AB=3×30=90m∴兴趣小组的结论是正确的．（二）易错疑难【例2】如图所示，D、E分别为等边△ABC的边BC、AC上的点，且BD=CE，连接BE、AD交于F，求证：∠AFE=60°．证明：∵△ABC为等边三角形（已知）∴∠ABC=∠BCA=60°AB=BC（等边三角形的定义）在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS）∴∠BAD=∠CBE（全等三角形的对应角相等）∵∠AFE=∠BAD+∠ABE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）∴∠AFE=∠CBE+∠ABE∴∠AFE=∠ABC=60°（三）中考链接【例3】如图，D是等边△ABC内一点，且DB=DA，BP=AB，∠DBP=∠DBC，求∠P的度数．分析：结合图形可以先作一条辅助线即连接CD．再证明△BCD≌△BPD，可得∠P=∠BCD，然后证明△BCD≌△ACD，从而可知∠P=∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°．解：略点拨：在分析解决问题的过程中，紧扣已知条件，转移应求的“线段”和“角”是极其重要的思路，而三角形全等起着核心的作用．名师点津对于等边三角形，它属于特殊的等腰三角形，特殊到三条边相等，三个内角都等于60°，“三线合一”的性质就更能不受限制，淋漓尽致地发挥了．◆跟进课堂1．如图1，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且AD=CE，BE、CD交于点P，若∠ABE：∠CBE=1：2，则∠BDP=________．2．已知△ABC的三边长为a、b、c，且（a-b）（a-c）（b-c）=0，那么这个三角形是__________．3．如图2所示，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，把△ADC沿直线AD折过来，点C落在C′处，如果BC′=5，则BC=________．(1)(2)(3)4．如图3所示，∠AOB=30°，PC∥OA，PD⊥OA于D，若PC=3，则PD=_______．5．如图4所示，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个△AMN，则△AMN的周长为________．(4)(5)6．等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有（）．A．1条B．2条C．3条D．6条7．等边三角形的两条角平分线所夹的锐角的度数为（）度．A．30B．45C．60D．908．在直角△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm，则AB的长为（）．A．4cmB．3cmC．2.5cmD．2cm9．如图5，D是等边△ABC的边AB上的一点，CD=BE，∠1=∠2，则△ADE是（）．A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．直角三角形10．已知∠B=30°，AB=6，BC=8，则△ABC的面积为（）．A．12B．16C．24D．48◆漫步课外11．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，B、C、D在同一条直线上.求证：CE=AB+CD．12．如图，已知△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD.试猜想BD与DE的关系，并证明．13．如图所示，△ABC是等边三角形，延长BA至E，使AE=BD，连接CE、DE，求证：EC=DE．◆挑战极限14．如图所示，点C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE均是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O．（1）有下列结论：①AE=BD；②CM=CN；③△MCN为等边三角形；④MN∥AB；⑤∠AOB=120°；⑥∠BAE=∠ABD；⑦BD⊥CE，AE⊥CD；⑧∠DAE=30°．其中正确的有_________（填番号）．（2）请你选择其中一个正确的结论加以证明．答案:1．100°2．等边或等腰三角形3．104．1．55．46．C7．C8．C9．C10．A11．证△ABD≌△ACE12．相等，证∠E=∠DBE=30°13．略14．（1）①②③④⑤（2）略12.3.2等边三角形◆课堂测控测试点等边三角形的性质与判定1．等边三角形是轴对称图形，它有_____条对称轴．2．△ABC中，AB=BC，∠B=∠C，则∠A=_____度．3．三角形三内角度数之比为1：2：3，最大边长是8cm，则最小边的长是______．4．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中是等边三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，求证：（1）BD=DE．（2）如果把BD改为△ABC的角平分线或高，能否得出同样的结论？◆课后测控6．等腰三角形的顶角为60°，底边为8cm，则腰长为_____．7．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm，则三角形的面积是______．8．等腰三角形的底角为15°，腰长是2cm，则腰上的高为_______．9．（1）按下列要求画图：画等边三角形ABC和它的两条中线BD，CE，BD，CE相交于点O，连结DE．（2）说出图中有哪几个三角形是等边三角形？哪几个三角形是等腰三角形？10．如图，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AB，AE⊥AC．（1）图中，等于30°的角有：_______；等于60°的角有：_______；（2）△ADE是等边三角形吗？为什么？（3）在Rt△ABD中，∠B=_______°，AD=______BD；在Rt△ACE中，有类似的结论吗？11．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，连结AE，BD．求证：AE=BD．12．如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1．（1）求证：AD=BE．（2）求AD的长．13．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF是AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E，求证：BF=FC．◆拓展测控14．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h．（1）如图①，点P在△ABC内，h1，h2，h3之间有什么等量关系？（2）如图②，点P在△ABC外，h1，h2，h3之间有怎样的关系，请写出你的猜想并证明．[提示：从面积角度思考]参考答案1．3（点拨：每边的中垂线是它的对称轴）2．60（点拨：由已知条件知△ABC是等边三角形）3．4cm（点拨：三角形三内角分别为30°，60°，90°，最小边为最大边长的一半）4．B（点拨：③不是等边三角形）5．（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∵CE=CD，BD⊥AC，∴∠E=30°，∠DBC=30°，∴∠E=∠DBC，∴DB=DE．（2）能得出同样的结论，因为等边三角形的三线合一．[总结反思]等边三角形的每一个角都等于60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．6．8cm（点拨：该等腰三角形为等边三角形）7．4cm2（点拨：腰上的高为2cm）8．1cm（点拨：高在形外，由30°角性质可求）9．（1）图略（2）图中△ABC和△ADE是等边三角形，△BOC，△DOE，△BDE，△CDE是等腰三角形．10．（1）∠B，∠BAE，∠C，∠DAC∠AED，∠ADE，∠EAD（2）△ADE是等边三角形，因为△ADE的三个角都等于60°．（3）30，；在Rt△ACE中，∠C=30°，AE=CE．11．证明：∵△ACD和△BCE是等边三角形．∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△DCB中∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD．[解题规律]充分利用等边三角形的边角性质解题12．（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC．又AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，BE=AD．（2）∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠PAE=∠BAC=60°，∴∠PBQ=30°，又BQ⊥PQ，∴PB=2PQ=6，∴BE=PB+PE=7，∴AD=BE=7．[解题规律]由已知条件PQ=3及BQ⊥PQ联想直角三角形30°角的性质是解题关键．13．证明：连结AF．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵EF垂直平分AB，∴FA=FB．∴∠BAF=∠B=30°，∴∠FAC=90°．在△ACF中，AF=CF，∴BF=CF．[方法技巧]分析结论可知需利用30°角的性质，同时结合垂直平分线的性质过渡搭桥．14．解：（1）连结PA，PB，PC．∵S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PCA=AB·PD+BC·PF+CA·PE=BC·h1+BC·h2+BC·h3=BC·（h1+h2+h3）又S△ABC=BC·h，∴BC（h1+h2+h3）=BC·h．∴h1+h2+h3=h．（2）S△ABC=S△PAB+S△PAC-S△PBC=BC·h1+BC·h2-BC·h3=BC（h1+h2-h3）．∴BC·（h1+h2-h3）=BC·h，∴h1+h2-h3=h．[方法技巧]由于等边三角形的三边相等，已知条件中又有各边上的垂线，故联想用面积法来证明结论更简捷．12.3.2等边三角形一、选择题1．△ABC是等边三角形，D、E、F为各边中点，则图中共有正三角形()A．2个B．3个C．4个D．5个2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于()A．2：1B．1：2C．1：3D．2：3二、填空题3．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为________．4．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________．5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形．6．△ABC中，∠ACB=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．三、解答题7．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗？试说明理由．8．已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形．参考答案一、选择题1．D2．B二、填空题3．2㎝4．120°5．等边6．6㎝三、解答题7．△ABC是等边三角形．理由是∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠B=∠C=60°∵DE∥AC，∴∠BED=∠A=60°，∠BDE=∠C=60°∴∠B=∠BED=∠BDE∴△ABC是等边三角形8．∠BAC=120°9．证明：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°（