2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷11.2 三角形全等的条件(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷11.2三角形全等的条件(含答案)11．2三角形全等的条件◆夯实基础一、耐心选一选，你会开心（每题6分，共30分）1．在△△中，已知，，要判定这两个三角形全等，还需要条件()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．如图6，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是（）12A．∠A＝∠D12B．∠E＝∠CC．∠A＝∠CD．∠1＝∠23．如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABC≌△DBC，则需补充的条件是（）Ａ．∠A＝∠DＢ．∠E＝∠CＣ．∠A＝∠CＤ．∠1＝∠24．如果两个三角形有两边和其中一边上的高对应相等，那么它们第三边所对的角的关系是（）A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补5．如图5，已知：∠1＝∠2，要证明△ABC≌△ADE，还需补充的条件是（）A．AB＝AD，AC＝AE B．AB＝AD，BC＝DEC．AC＝AE，BC＝DE D．以上都不对二、精心填一填，你会轻松（每题6分，共30分）6．△ABC和中，若，，则需要补充条件可得到△ABC≌．7．如图3所示，AB、CD相交于O，且AO＝OB，观察图形，明显有，只需补充条件，则有△AOC≌△（ASA）．8．如图5，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE的度数为．ＡＢＣabcba甲ＡＢＣabcba甲cb乙a丙10．如图3，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，则当AP＝时，才能使△ABC和△APQ全等．三、细心做一做，你会成功（共40分）11．如图，相交于点，你能找出两对全等的三角形吗？你能说明其中的道理吗？12．如图，给出五个等量关系：①、②、③、④、⑤．ABABCED已知：求证：证明： 13．如图，要测量河两岸相对的两点，的距离，可以在的垂线上取两点，使，再定出的垂线，使在一条直线上，这时测得的的长就是的长，为什么？◆综合创新14．飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，在一空地上发现有一个较大的圆形土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离，请你用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案．（1）画出测量方案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．15．小明、小敏两人一起做数学作业，小敏把题读到如图8（1）所示，CD⊥AB，BE⊥AC时，还没把题读完，就说：“这题一定是求证∠B＝∠C，也太容易了．”她的证法是：由CD⊥AB，BE⊥AC，得∠ADC＝∠AEB＝90°，公共角∠DAC＝∠BAE，所以△DAC≌△EAB．由全等三角形的对应角相等得∠B＝∠C．小明说：“小敏你错了，你未弄清本题的条件和结论，即使有CD⊥AB，BE⊥AC，公共角∠DAC＝∠BAE，你的推理也是错误的．看我画的图8（2），显然△DAC与△EAB是不全等的．再说本题不是要证明∠B＝∠C，而是要证明BE＝CD．”（1）根据小敏所读的题，判断“∠B＝∠C”对吗？她的推理对吗？若不对，请做出正确的推理．（2）根据小明说的，要证明BE＝CD，必然是小敏丢了题中条件，请你把小敏丢的条件找回来，并根据找出的条件，你做出判断BE＝CD的正确推理．（3）要判断三角形全等，从这个问题中你得到了什么启发？◆ＡDＡDFCBE16．下列判断中错误的是（）A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等17．如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点．则四边形的面积是．18．已知：如图，是的中点，，．ABCDABCDE1219．你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点上下转动，立柱与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度，有何数量关系？为什么？AACBO20．如图，在中，是上一点，交于点，，，与有什么位置关系？证明你的结论．AADBCFE参考答案夯实基础1．C2．D3．D4．D 5．C6．略（答案不惟一） 7．，8．9．乙和丙10．或11．事实上有四对全等的三角形．理由分别是：的理由：“角边角”，即的理由．“边角边”，即的理由：“边角边”．即的理由：“边角边”．即12．情况一：已知：求证：（或或）证明：在△和△中△△即．情况二：已知：求证：（或或）证明：在△和△中，△△．13．由，，可得，又由于直线与交于点，可知（对顶角相等），再加上条件，根据“”有，从而，即测得的长就是两点间的距离．综合创新14．（1）图略；（2）略；（3）理由略15．（1）小敏的推理不正确．正确推理略（2）条件为或．证明略．（3）要判断两个三角形全等，不可缺少的元素是边，至少要有一对边对应相等中考链接16．B17．1618．证明：是的中点在和中， 19．解：，理由如下： 是的中点．． 又， ． ．20．解：．证明：在和中，由，得．所以．故． 11.2三角形全等的条件(一)名师导航：1、本课重点是探索三角形全等的条件(SSS),以及利用这个公理判定两个三角形全等.由于这个判定方法是作为基本事实（公理）提出的，一定要通过动手画图实验，以对这个公理确信无疑，这样印象才能深刻．2、本课难点是学会运用边边边条件证明两个三角形全等，特别是把证明过程规范的表达出来．典例精析例题(2007年湖南张家界，改编)如图，在四边形中，AB=DB，AC=DC，请问∠A和∠D相等吗？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．思路点拨：要看∠A和∠D是否相等，可看△ABC和△DBC是否全等，又已知两边对应相等，可考虑是否第三边对应相等．解析：∵在△ABC和△DBC中，∴△ABC≌△DBC（SSS）．∴∠A=∠D．规律总结：全等三角形是证明两个角相等、两条线段相等或两条直线平行的常用方法，要注意书写全等时对应顶点应该写在对应的位置．跟踪训练：1.如图，中，，，则由“”可以判定（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．以上答案都不对2.如图，是等边三角形，若在它边上的一点与这边所对角的顶点的连线恰好将分成两个全等三角形，则这样的点共有（）Ａ．1个 Ｂ．3个 Ｃ．6个 Ｄ．9个3．下列结论错误的是（）Ａ．全等三角形对应角所对的边是对应边Ｂ．全等三角形两条对应边所夹的角是对应角Ｃ．全等三角形是一种特殊三角形Ｄ．如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等4.小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知，，下列判断不正确的是（）．．(第4题)(第5题)(第6题)A．B．C．D．5.如图，中，，，，则________，__________．6.如图，，，，找出图中的一对全等三角形，并说明你的理由．8．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE的度数为__________．9.如图，AB=DE，AC=DF，BF=EC，△ABC和△DEF全等吗？请说明理由．10.如图，在中，，分别为上的点，且，，．求证：．参考答案1.Ｂ2.Ｂ3．C4．D6.，7.答案不惟一．如．理由：根据“”即，，．8．100°9.要想知道△ABC和△DEF是否全等，由题意得AB=DE，AC=DF，虽然还有BF=EC，但却不是这两个三角形的对应边，结合图形，不难由BF=EC得到BC=EF．解：∵BF=EC，∴BF+FC=EC+FC（等量加等量，和相等）．∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）．10.在和中，11.2三角形全等的条件思维启动我们知道，自行车都做成三角形结构，这是因为三角形具有稳定性．问题：三角形的稳定性说明了什么？综合探究探究一证明三角形全等的方法11．2三角形全等的条件自测题夯实基础一、耐心选一选，你会开心（每题6分，共30分）1．在△△中，已知，，要判定这两个三角形全等，还需要条件()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．如图6，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是（）12A．∠A＝∠D12B．∠E＝∠CC．∠A＝∠CD．∠1＝∠23．如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABC≌△DBC，则需补充的条件是（）Ａ．∠A＝∠DＢ．∠E＝∠CＣ．∠A＝∠CＤ．∠1＝∠24．如果两个三角形有两边和其中一边上的高对应相等，那么它们第三边所对的角的关系是（）A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补5．如图5，已知：∠1＝∠2，要证明△ABC≌△ADE，还需补充的条件是（）A．AB＝AD，AC＝AE B．AB＝AD，BC＝DEC．AC＝AE，BC＝DE D．以上都不对二、精心填一填，你会轻松（每题6分，共30分）6．△ABC和中，若，，则需要补充条件可得到△ABC≌．7．如图3所示，AB、CD相交于O，且AO＝OB，观察图形，明显有，只需补充条件，则有△AOC≌△（ASA）．8．如图5，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE的度数为．ＡＢＣabcba甲ＡＢＣabcba甲cb乙a丙10．如图3，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，则当AP＝时，才能使△ABC和△APQ全等．三、细心做一做，你会成功（共40分）11．如图，相交于点，你能找出两对全等的三角形吗？你能说明其中的道理吗？12．如图，给出五个等量关系：①、②、③、④、⑤．ABABCED已知：求证：证明： 13．如图，要测量河两岸相对的两点，的距离，可以在的垂线上取两点，使，再定出的垂线，使在一条直线上，这时测得的的长就是的长，为什么？综合创新14．飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，在一空地上发现有一个较大的圆形土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离，请你用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案．（1）画出测量方案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．15．小明、小敏两人一起做数学作业，小敏把题读到如图8（1）所示，CD⊥AB，BE⊥AC时，还没把题读完，就说：“这题一定是求证∠B＝∠C，也太容易了．”她的证法是：由CD⊥AB，BE⊥AC，得∠ADC＝∠AEB＝90°，公共角∠DAC＝∠BAE，所以△DAC≌△EAB．由全等三角形的对应角相等得∠B＝∠C．小明说：“小敏你错了，你未弄清本题的条件和结论，即使有CD⊥AB，BE⊥AC，公共角∠DAC＝∠BAE，你的推理也是错误的．看我画的图8（2），显然△DAC与△EAB是不全等的．再说本题不是要证明∠B＝∠C，而是要证明BE＝CD．”（1）根据小敏所读的题，判断“∠B＝∠C”对吗？她的推理对吗？若不对，请做出正确的推理．（2）根据小明说的，要证明BE＝CD，必然是小敏丢了题中条件，请你把小敏丢的条件找回来，并根据找出的条件，你做出判断BE＝CD的正确推理．（3）要判断三角形全等，从这个问题中你得到了什么启发？ＡDＡDFCBE16．（2007天津）下列判断中错误的是（）A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等17．（2006宿迁）如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点．则四边形的面积是．18．（2007福建泉州）已知：如图，是的中点，，．ABCDABCDE1219．（2007湖北武汉）你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点上下转动，立柱与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度，有何数量关系？为什么？AACBO20．（2007江西南昌）如图，在中，是上一点，交于点，，，与有什么位置关系？证明你的结论．AADBCFE参考答案夯实基础1．C2．D3．D4．D 5．C6．略（答案不惟一） 7．，8．9．乙和丙10．或11．事实上有四对全等的三角形．理由分别是：的理由：“角边角”，即的理由．“边角边”，即的理由：“边角边”．即的理由：“边角边”．即12．情况一：已知：求证：（或或）证明：在△和△中△△即．情况二：已知：求证：（或或）证明：在△和△中，△△．13．由，，可得，又由于直线与交于点，可知（对顶角相等），再加上条件，根据“”有，从而，即测得的长就是两点间的距离．综合创新14．（1）图略；（2）略；（3）理由略15．（1）小敏的推理不正确．正确推理略（2）条件为或．证明略．（3）要判断两个三角形全等，不可缺少的元素是边，至少要有一对边对应相等中考链接16．B17．1618．证明：是的中点在和中， 19．解：，理由如下： 是的中点．． 又， ． ．20．解：．证明：在和中，由，得．所以．故． 图11．如图1，分别求出∠B和∠DFE．图1_____________________________________________________________________________________________________．2．可以证明出△ABC和△EDF哪些元素对应相等？_________________________________________．3．讨论总结：用什么判定方法可以说明△ABC和△EDF全等？__________________________________________________________________________．答案：1．∠B＝180―∠A―∠ACB＝180―25―85＝70，∠DFE＝180―∠D―∠E＝180―70―25＝85．2．∠A＝∠E，∠B＝∠D，∠ACB＝∠EFD，AC＝EF．3．ASA、AAS图2探究二利用三角形全等证明角相等图2如图2，已知AB＝DC，AC＝DB．1．____________________________________________________．2．连结AD，你还能得到哪两个三角形全等？___________________________________________________．3．由此你能得到△ABE和△DCE哪些角相等？_________________________________________________________________________．4．讨论总结：怎样设计证明∠A＝∠D的思路？_________________________________________________________________________．答案：1．△ABC≌△DCB，SSS．2．△ABD≌△DCA．3．∠ABE＝∠DCE，∠BAE＝∠CDE，∠AEB＝∠DEC．4．要证∠A＝∠D，需要证明包含∠A、∠D的两个△ABC、△DCB全等．图3探究三利用三角形全等证明线段相等图3如图3，B是线段AC的中点，DB＝EB，∠EBA＝∠DBC．1．已知△ABD和△CBE中哪些对应元素相等？__________________________________________________．2．△ABD和△CBE中还有哪对元素相等？为什么？__________________________________________________．3．△ABD和△CBE全等吗？依据是什么？__________________________________________________．4．讨论总结：设计证明AD＝EB的思路．________________________________________________________________________．答案：1．AB＝CB，DB＝EB．2．∵∠EBA＝∠DBC，∴∠EBA＋∠EBD＝∠DBC＋∠EBD，即∠ABD＝∠CBE．3．△ABD≌△CBE，依据是SAS．4．要证明AD＝EB，需要证明包含AD、EB的两个△ABD、△CBE全等．探究四利用三角形全等证明两直线平行如图4，点B、E、C、F在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．图41．由AB∥DE可得△ABC和△DEF中哪对元素相等？怎么证明？图4___________________________________________________．2．由BE＝CF可得△ABC和△DEF中哪对元素相等？怎么证明？__________________________________________________．3．你能证明△ABC与△DEF全等吗？_________________________________________________________________________．4．讨论总结：请你说明AC∥DF的思路．_________________________________________________________________________．答案：1．∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF．2．∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF．3．∵AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF．4．要证AC∥DF，需证∠ACB＝∠F，进而要证明△ABC≌△DEF．图5探究五利用三角形全等证明两直线垂直图5如图5，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD．1．由AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED可以得到哪两个三角形全等，依据是什么？___________________________________________________．2．要证AF⊥CD，可以证明哪两个角相等？__________________________________________________________________________．3．要证2中的两个角相等，需要证明哪两个三角形全等？__________________________________________________________________________．4．如何证明3中的两个三角形全等？依据是什么？__________________________________________________________________________．5．讨论总结：请你说明如何利用三角形全等证明两线垂直．__________________________________________________________________________．答案：1．△ABC≌△AED，SAS．2．∠AFC＝∠AFD．3．△ACF≌△ADF．4．连结AC、AD，∵AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，∴△ABC≌△AED．∴AC＝AD．∵AF＝AF，CF＝DF，∴△ACF≌△ADF．SSS．5．可以证明两直线相交所成的两个角相等，进而证明这两个角所在的三角形全等．探究六网格中的全等三角形1．如图6，方格纸中△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点上，请你在图中再画一个顶点都在小正方形顶上的△DEF，使△DEF≌△ABC．图62．讨论总结：说说你画图的思路．__________________________________________________________________________．答案：1．如图7所示：图72．略．图8探究七全等三角形的实际应用图8如图8，某同学把一块三角形的玻璃不小打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么应该带哪些玻璃去呢？1．任意一个三角形都有六个元素，即三条边和三个角．如果带去三块到玻璃店，带去了三角形的几个元素？能不能配成一块完全一样的玻璃？_______________________________________________________________________．2．带去①②两块，带去了几个元素？能不能配成一块完全一样的玻璃？_______________________________________________________________________．3．带去①③两块，带去了几个元素？能不能配成一块完全一样的玻璃？_______________________________________________________________________．4．带去②③两块，带去了几个元素？能不能配成一块完全一样的玻璃？_______________________________________________________________________．5．分别带去①、②、③一块，都带去了几个元素？能不能配成一块完全一样的玻璃？_______________________________________________________________________．6．讨论总结：用数学理论解释上面的配玻璃事实．_______________________________________________________________________．答案：1．6，能．2．1，不能．3．3，能．4．3，能．5．带①带去了一个角，不能；带②带去了一个角，不能；带③带去了角边角三个元素，能．6．有两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等．探究八构造全等三角形——中线加倍构造法如图9，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围．图9图101．要想求AD的取值范围，联想到三角形三边关系定理，必须设法把AB、AC、AD或与之有数量关系的线段转移到同一个三角形中去．因此要作什么样的辅助线？__________________________________________________________________．2．讨论总结：AD的取值范围是什么？为什么？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．答案：1．如图10，延长AD到H，使DH＝AD，连结BH．2．2＜AD＜10．理由：∵BD＝CD，AD＝HD，∠CDA＝∠BDH，∴△ACD≌△HBD．∴AC＝BH＝8．在△ABH中，12－8＜AH＜12＋8，4＜2AD＜20，∴2＜AD＜10．探究九构造全等三角形——截长补短法如图11，AC＝BC，∠ACB＝90，AD平分∠CAB．求证：AC＋CD＝AB．图11图12图131．补短法：如图12，要证AC＋CD＝AB，可延长AC到E，使_____________，连结DE，设法证明_______________，从证明___________和___________全等入手．2．讨论总结：用补短法如何证明AC＋CD＝AB？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．3．截长法：如图13，本题也可以在AB上截取____________，设法证明____________，可能过证明__________和___________全等入手．4．讨论总结：用截长法如何证明AC＋CD＝AB？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．答案：1．CE＝CD，AB＝AE，△ADE，△ADB．2．延长AC到E，使CE＝CD，连结DE．∵∠ACB＝90，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45．又∵∠DCE＝180－90＝90，CE＝CD，∴∠E＝∠EDC＝45，∴∠E＝∠B．∵AD平分∠CAB，∴∠BAD＝∠EAD．∵AD＝AD，∴△ABD≌△AED．∴AB＝AE，而AE＝AC＋CE，CE＝CD，∴AC＋CD＝AB．3．AF＝AC，FB＝CD，△ACD，△AFD．4．在AB上截取AF＝AC，连结DF．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠FAD．∵AD＝AD，∴△ACD≌△AFD．∴CD＝DF．∵∠ACB＝90，BC＝AC，∴∠B＝∠BAC＝45．又∠AFD＝∠ACD＝90，∴∠FDB＝45，∴BF＝DF，而DF＝CD，∴BF＝CD，∴AB＝AF＋BF＝AC＋CD，即AC＋CD＝AB．随堂反馈1．如图，如果OA＝OC，OB＝OD，那么△AOB≌△COD，其全等的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL（第1题）（第2题）2．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DF C．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF3．如图，点D是△ABC边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若BD＝2，CF＝5，则AB的长为（）A．1 B．3 C．5 D．7（第3题）（第4题）（第5题）4